Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. Примеры и задачи (1989) (1095424), страница 17
Текст из файла (страница 17)
оо Для белого шума корреляционная функция Я,„(х, -хг)= = И' Ь (х, — х,), поэтому с учетом фильтрующего свойства 6-функции получим ! ! (т,„„(1)= Я(х,) Я(хг) Иоб(х! «г)!1!хг о о ! = Ио Я(«,)Я(х,)г1«!=Ио а'а "" с(«,=- Иоа(1 — а ~). 2. о о В установившемся режиме (1-+ос) о'г„„=5 10 Вг. о.,„гЮ Рис. 7.10 а) р! На рис. 7.10 изображены примерный внд реализаций выход ного процесса (а) и зависимости математического ожидания т,„„(1) и дисперсии ог„,(1) (б).
1!о 7.12. Л1=0,07 мс. 7.13. Дисперсия на выходе контура О",„х (1) = гт ' (! — Е гг)") = О г„х (! — Е где с)г„„определяется по методике, изложенной в примере 7.2: 2х )2 2 7Л4. Корреляционная функция выходного процесса Яв„„(т)=М(г,„„(1)г,„„(1 — т)) =М(!2.„(1)+г.„(1 — Т)] х х ~Я.„(1 — т) + Я,„(1 — т- т) ]) = 2Я,х (т) + Я,х (т — 7) + Я,х (т+ т). 7.15.
Используя определение отношен)!я сигнал))шум в виде отношения амплитуды сигнала к среднеквадратическому значению шума и учитывая, что модуль петт)сдаточной функции интегрирующей цепи к(ег)=11+(ше/Я)2] ", получаем для выходного процесса х...-х.„,г~„,-к)в)х.,)„2х))гхгг)=ггг, что в 2,7 раз больше отношения сигнал/шум на входе. 7.16. Выражая реакцию цепи на входное воздействие через интеграл Дюамеля, получаем по определению взаимной корреля- ! ционной функции !1, з 4.5) Я12вых (11 г 1г) = М 21 г! х1вх(Х1) Кгвх (Хг)Я (Х1 — 11) Д(Х2 — 12) 1!Хгт!Хг Поскольку в данном примере полоса шума на входе значительно шире, чем полоса пропускания каждой из цепей (й)=1/Я)С)=5 1О." с ', йгвв!))ЯгС2=2.10 с ', Лв»йгх Ле)»и„можно считать входйой шум практически некоррелированным.
Тогда (1! 12) вв ) ) И'оО (хг хг) К) (хг — 11) Кг (хг 12)'гхФхг = =!4г к (х — 1)яг(х — 1~)т!Ххв ' ' '~е "'"' "' — е '""'+""']. йг+йг Взаимная корреляционная функция в отличие от корреляционной в общем случае несимметрична (не является четной). В данном случае при 1,>1, Я 1 )И'ва йг хвг(ц- г). 12вых) 1г 2 а +а ах+ аг при 12 >11 1)1 12022» ( 1~ 2) + 1+ 1"2 При стационарном входном шуме г2 — 21 можно заменить на т (в установившемся режиме). Тогда окончательно получаем при т<0 й г 1 и0221022 «1 1 б, 10 — 5 0,5.101 В2. 12 „(т)вв Е =, Е О1+ а2 при т>0 Я (т)=~' ' ' '2'=),б 10 'е ' ', В 0 +222 7.17.
Для фильтров с прямоугольными АЧХ задачу удобно решать спектральным методом: Я120„„(т) вв — И'(а) К, (ко) К 2 (1а) е' йо = 02р2 — — И;КО соз [ат+ ф1 (а) — ф, (а)) Йо1 0101 28 28 где рр,(а)= — (а — ар,); ф2(а)= — (а — а„,) — ФЧХ фильтров. Тогда ОО2 Ц2„„„(т)=- И' Косоз ат — — (а — а„)+ — (а — а,) ~а= Рррр 0202 и ОАО ' н О~О ° (рвр2 Орр!) 2 (Орр2+ 02р1) 2 япат = — 2яп ' ' соз 82 лт г г мр1 — 8 = 2,54 10 — яп 10 От соз 1,05 10 "т, В '. т 7.18. 152„„=13,3 1О О В'. 7.19. Передаточная функция дифференцирующей цепи описывается выражением К (1а) = 1ато/(1+ 1ато). Поскольку входной 022 корреляционной функции Я,„(т)=е ' ' соответствует спектральная плотность мощности И'(а)= /к/м е " '~" [1, табл.
2.1), иг ширина спектра входного процесса имеет порядок !х, что позволяет пренебречь в знаменателе передаточной функции слагаемым лате, и тогда К(!та)=йле. Последнее выражение соответствует идеальному дифференцирующему устройству, корреляционная функция на выходе которого й,„„(т)= 6 — --,й„„(т) =т3(2пзо'е " "— 2п'т'е '"').
ст~ Отсюда !т„' „=Я,„„(0)=8 1О 4 В', 7.20. Спектральная плотность мошности шума на выходе разделительной цепи определяется выражением И'„(еэ)= Ио(!ай„с,)2Ф+(0)К,С„)21. Коэффициент передачи интегратора на операционном усилителе с обратной связью через емкость К„(с!) =11(!вЯ„С„) (при гат «1). Отсюда спектральная плотность мошности выходного процесса а'(л„с„)' (А„С„) (1+сэр С ) По теореме Винера--Хинчина зя Р Р = 10 ~ ехр ( — 5 ! 0 з ! т 1) В х 7.21, Выходной и входной процессы связаны интегралом Дюамеля: с .!,„„(!) = ).!,„(х) д (г — х) 4х. о Чтобы воспользоваться методом характеристических функций, заменим входной процесс совокупностью дискретных отсчетов, взятых в соответствии с теоремой Котельникова через интервал Лг=я!й=т„, где т„— интервал корреляции 18, с.
127), и представим интеграл Дюамеля в виде суммы: з,„,(!)= ~ з„(Кй!)Я вЂ” ~.Ь!)Ль х=1 Число слагаемых в сумме Ж определяется скоростью затухания импульсной реакции, и для заданных исходных данных можно считать Л!= Т/т„=4. При равномерном распределении входного процесса характеристическая функция !!3 Ю 1;„„! з1пач ! з1п2ч е,(~)=~ — 'ч = — — =- ) 2а 2а ат1 4 2Ч -а Поскольку отсчеты входного процесса, взятые через интервал корреляции, практически независимы, совместная плотность вероятности суммы слагаемых Ои (т)) = От (т)) Ог (11) ... Ои (г)) = (Ог (г)Ц Плотность вероятности выходного процесса определим, применив преобразование Фурье к характеристической функции [8, с. 32): ,", Г- (и На основе табличного значения интеграла косинус-преобразования! 1) 2-г ги„(( 1)-гиги-г+ + 2 ( — 1)" Г(2ал+а)~" '+((2ал — а))т (от+ л)! (т — л)! — сов игг11 = о и<2аги, О, и>2аггг, рассчитаны плотности вероятности для гз1=1, 2, 4, приведенные на рис.
7.11. Очевидно, что при зт'>4 происходит нормализация выходного процесса. У У Рис. 7Д1 7.22. Как известно, отклонение закона распределения от нормального характеризуется коэффициентами асимметрии к„и эксцесса и,. Для экспоненциального распределения р(х)=гге ", х>0, ' Дигкии В. А,, Прулиииов А. П.
Интегральные преобразования и операпионное исчисление, СМБ.—.Мз Физматгиз, !9б!, 114 Из о к,= —;-3= —, (х-т„)~ае '"Нх-3=6, о где о2=)(х — т„)2ае "'с1х=1/а2; о т,=)хае "Ых=1!а. о Такие большие значения 1с. и 1г, свидетельствуют о существенном отличии рассматриваемого распределения от нормального. Действительно, негауссовская плотность вероятности может быть представлена рядом Эджворта 18, с. 28б) р (х) Ф(1) ~ ~ (рои ~ т 1 ~ Фои где Фи11.) — 1с-я производная от интеграла вероятности, а при полученных значениях Й, и Й, роль второго и третьего членов ряда значительна. асс1Е1 Рис. 7.13 После прохождения через высокодобротный колебательный контур выходной процесс в любой момент времени будет являться суммой многих соизмеримых по величине составляющих.
В силу центральной предельной теоремы теории вероятностей распределение суммы станет весьма близким к нормальному (рис. 7.12, 7.13). Поэтому коэффициенты асимметрии и эксцесса выходного процесса будут близки к нулю. 115 Ряс. 744 7.23. Отклик интегрирующей цепи на обобщенный телеграфный сигнал при т =0,3/и приведен на рис. 7.14, а при т =3/и — на рис.
7.15. В соответствии с этими рисунками плотности вероятности выходных процессов, характеризующие частоту встречаемости различных мгновенных значений, приведены на рис. 7.16. Из рисунков видно, что при т >т„происходит нормализация процесса. и . 74» Рис. 746 7.24. Вследствие одинаковости наклона отрезков входного ах 0) процесса производная у=те — будет принимать только два Ж значения: +Ято, где т — постоянная времени дифференцирующего устройства, причем значения вероятности положительных и отрицательных знаков производной одинаковы и равны 1/2. Следовательно, плотность вероятности производной р (у) =(1/2)б (у — Ят )+(1/2)Ь (у+ Ят ).
Плотности вероятности входного р (х) и выходного р (у) процессов представлены на рис. 7.17. -ЗФа Р зги х,у Рис. 7Л7 В данном случае очевиден эффект денормализации случайного процесса на выходе линейной цепи, объясняемый тем„что при дифференцировании процесса подчеркиваются высокочастотные составляющие процесса и нарушаются условия центральной предельной теоремы теории вероятностей.
7.25. р(х)- е '" "' ~т', т=0,5; о=0,645. о '2л ыб 7.3. СОБСТВЕННЫЕ ШУМЪ| В РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЯХ 7.26. В коллекторной цепи транзисторного усилителя с нагрузкой в виде параллельно соединенных резистора Я=5 кОм и емкости С=20 пФ протекает ток с постоянной составляющей 1 =-1 мА. Определить напряжение шума, создаваемое дробовым эффектом, а также минимальное напряжение входного сигнала, при котором сигнал/шум на выходе не менее 1О дБ. Коэффициент усиления усилителя К„=50, 7.27.
Фотодатчик с сопротивлением Я„=! МОм, удельной чувствительностью 7=10з мкА/лм В, постоянной времени т=10 мс включен между источником постоянной ЭДС Е=10 В и нагрузочным резистором А=|00 кОм. Определить порог чувствительности датчика в данной схеме (минимальный световой поток, при котором отношение сигнал/шум равно 20 дБ), считая, что шум является тепловым, а измерение производится при комнатной температуре.
7.28. Параметры усилителя, схема замещения которого приведена на рис. 7.18: 1е= 2 мА, й;=10 кОм, С,=50 пФ, /1=100 кОм, С=10 нФ. Определить дисперсию дробового шума на выходе усилителя и найти его корреляционную функцию. Ряс. 7.18 7.29. Определить дисперсию напряжения на выходе цепи с импульсной характеристикой 8(1)=йяпй!/(й!), 0=10 рад/с, при воздействии белого шума со спектральной плотностью 1Р,=10-' В'/| ц. 7.30. Микровольтметр построен на основе гальванометра с постоянной времени т= ! с и усилителя со спектральной плотностью собственных шумов И'~=10 '~ В~/Гц. Каково минимальное значение напряжения, которое можно измерять этим микровольтметром с погрешностью не более 10%? 7.31. Определить корреляционную функцию дробового шума на выходе резонансного усилителя с сопротивлением коллектор- ного перехода 50 кОм и нагрузкой в виде колебательного контура с Д=20, /.=100 мкГн, С=100 пФ, коэффициентом включения контура в цепь коллектора р=0,33.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
