Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986) (1095423), страница 95
Текст из файла (страница 95)
13.!О. ЦИФРОВОЙ СОГЛАСОВАННЫЙ ФИЛЬТР Рассмотренные выше принципы квадратурной обработки, а также соот- ношения между сигналами на входе и выходе аналогового фильтра полно- стью распространяются и на цифровую обработку. Однако собственно 42! А й)ссвУП7 Г ) — ~' 4-й А® — э~ 4-Ц~-и АВвапВЕ Пеоемна- йапбу ения ее Рис. 13.27.
Согласованная фильтрация цифрового сигнала с использованием БПФ 422 фильтр обычно синтезируется на основе спектрального подхода, с использованием БПФ. Поскольку согласованный фильтр должен выдавать на выходе сигнал, совпадающий по форме с корреляционной функцией входного сигнала, алгоритм фильтра можно построить по структурной схеме, представленной на рис. 13.27. На вход БПФ подается последовательность закодированных в цифру комплексных отсчетов (А (А)), А = 0,1, „., Ж вЂ” 1, а последовательность спектральных коэффициентов (Хл (и)), и = 0,1, ..., Аг — 1, с выхода БПФ поступает на набор перемножителей, осуществляющих умножение каждого из коэффициентов Хл (и) на комплексно-сопряженный коэффициент ХА (и), Полученная таким образом последовательность ()Х (л) |з, л = О, 1, ..., У вЂ” 1, подвергается обратному быстрому преобразованию Фурье, и тем самым формируется последовательность отсчетов выходного сигнала (с точностью до постоянного коэффициента).
Последующая обработка по устранению влияния начальной фазы сигнала повторяет (в дискретной форме) обработку, показанную на рис. 13.26. Сопоставление описанного цифрового согласованного фильтра с рассмотренными в 2 13.5 аналоговыми фильтрами указывает на главное преимущество цифровой обработки — возможность реализации устройств с любыми импульсными и частотными характеристиками в пределах полосы частот, обеспечиваемой быстродействием преобразования А — Ц и арифметических устройств.
Все сводится к выбору весовых коэффициентов. Факторы, характерные для аналоговых цепей: инерционность энергоемких элементов, влияние паразитных связей между отдельными узлами и их несогласованности и др,, при цифровой обработке полностью отсутствуют. Важным преимуществом цифровых устройств является возможность расширения динамического диапазона увеличением разрядности АЦП ( 6 дБ на один разряд, см. 2 12.9). Наконец, следует указать на высокую точность и стабильность характеристик цифровых фильтров, что особенно важно при сжатии сигналов с очень большой базой.
Все эти преимущества достигаются ценой усложнения структуры фильтра, но, как показывает практика, современная микроэлектроника успешно справляется с возникающими в этой области проблемами. Вместе с тем в ряде радиотехнических задач применение квадратурной обработки оказывается неприемлемым н более предпочтительно осуществлять согласованную фильтрацию в тракте высокой частоты.
Широко распространены аналоговые согласованные фильтры иа линиях акустической поверхностной волны, на дисперсионных линиях задержки. Осваиваются новые способы, основанные на различных физических явлениях, таких, например, как спиновое эхо. Г л а в а 14. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ НЕКОТОРЫМИ СПЕЦИАЛЬНЫМИ ФУНКЦИЯМИ 14.1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ В $ 2.2 отмечалось, что в зависимости от класса сигнала ортогональные системы специальных функций могут быть подобраны таким образом, чтобы требуемая точность представления обеспечивалась при минимуме членов р яда. Условия ортонормированности этих функций на заданном интервале (а, о) записываются в форме ~ ф„(х) ф,„(х) р (х) Их = ~ 1 1 при и =гп.
(14.1) с„= ! 1(х) ф„(х) р (х) Их, !!ф.Ур !!' ". (14.2) где !! ф„)/ р !! = ~ ф,', (х) р (х) Ых а (14.3) — квадрат нормы функции ф„(х)Ур (х). Для представления сигналов наиболее употребительны ортогональные полиномы н функции Лежандра, Чебышева, Лагерра, Эрмита, а также кусочно-постоянные функции Хаара, Радемахера и Уолша. Для представления непрерывных сигналов необходимо использовать систему непрерывных ортогональных функций, для представления дискретных (цифровых) сигналов — систему дискретных ортогональных функций, которые получаются из непрерывных функций путем дискретизации. Ортогональные полиномы и функции Лежандра, Чебышева, Лагерра и Эрмита (им посвящены 5 14.2 и 14.3) используются преимущественно для представления непрерывных сигналов, а функции Уолша чаще используются для представления дискретных сигналов.
Последние приобрели особо важное значение в связи с развитием вычислительной техники. Рассмотрению непрерывных функций Уолша посвящены 5 14.4, 14.5, а дискретных— — э 14.6. 423 От определения (2.4) это выражение отличается множителем р (х) под знаком интеграла, называемым в е с он о й фу н к ц и е й или ф у н к ц не й в е с а. Говорят, чтофункции ф„(х) и р (х)ортогональны свесом р (х). Это означает, что ортогональны не эти функции, а функции г'р (х) ф„(х). При определении коэффициентов обобщенного ряда Фурье, аппроксимирующего функцию 1 (х), следует исходить из формулы, аналогичной (2.9), но с учетом весовой функции р (х): 14.2. ОРТОГОНАЛЪНЪ|Е ПОЛИНОМЫ И ФУНКЦИИ НЕПРЕРЫВНОГО ТИПА Перечислим некоторые из наиболее часто применяемых полиномов и кратко рассмотрим их свойства.
1. П о л и н о м ы Л е ж а н д р а (первого рода), определяемые фор- мулой Н» Р (х) = — — (х — 1)" 2в «! Дх» (14.4) (14.7) ~в Т„(х) = ф' 1 — х' — (ф' 1 — хв) " (2л)1 вх» (14.9) Полиномы Чебышева низших степеней Т, (х) = 1, Т, (х) = х, Т, (х) = =2х' — 1, Т (х) = 4х' — Зх, Т (х) = =8х' — 8хв+1, Т, (х) = 16хв — 20хв+ + 5х. На рис. 14.2 представлены графики полиномов Т„(х) на интервале 0 (х< 1, а на рис. 14.3 — одного из них, в частности четвертого порядка, при 0 ( )х) < ~!4. При )х) 1 Т„(х) стремится к бесконечности как 2"-'х. Важной особенностью полиномов Чебышева является то, что из всех многочленов степени л со старшим коэффициентом, равным единице, они на- Рис. !4,1.
Графики полииомов Лежаид- ра 424 ортогональны с весом р (х) = 1 на интервале — 1( х ~ 1. При целых и ~ 0 полиномы Р„(х) содержат конечное число членов. Полиномы Лежандра низших степеней, графически представленные на рис. 14.1, определяются выражениями Р, (х) = 1, Р, (х) = х, Рв (х) = 'I, (Зх' — 1), Р, (х) = '!в (5хв — Зх), Р, (х) = = 'lв (35хе — ЗОх'+ 3).
/ (14.5) Квадрат нормы функции Р„(х) в соответствии с формулой (! 4.4) [32,33) ! () Р„(х) (!в = ( Р„' (х) с(х =— (14.6) 2и+ 1 — ! Выражение (2.9) для коэффициентов с„принимает при этом форму ! с„= — ~ ~ (х) Р„(х)дх, 2 — ! а ряд (2.8) ~ 1х1 = с, Р (х) + с, Р, (х):+ ...
+ с„ Р„ (х) + ... (14.8) 2..П о л и н о м ы Ч е б ы ш е в а (п е р в о г о р о д а) определяются как От йб йб 47 Рис. 14.2. Графики полииомов Чебышева (!4.10') (14.11) Поведение полиномов Чебышева в интервале — 1 ( х ( 1 в сочетании с неогра. ниченным возрастанием !Т„(х)! при (х!) 1 делает эти полиномы очень эффективными г -г' 2 г Рис. 14.3, График полииома Чебышева четвертого порядка 425 илгенее уклоияютсл от нуля на отрезке — 1( х«-' 1. Благодаря этому свойству полиномы Чебышева обеспечивают наименьшую максимальную ошибку равномерной аппроксимации на интервале — ! ( хс 1. Полиномы Чебышева не ортогональны, но после умножения на 1! У! — х' они образуют ортогональную в интервале — 1 ( х( ! систе- 4 му функций (1/У 1 — х') Т„(х). Иными словами, полииомы Т„(х) ортогональны с весом р (х) = 1г' Р'! — х': 1 0 при п~т, Т„(х) Тш (х) — = и (14.
10) )/'~ „— при л=т. Кроме того, при т = и = 0 1 1 п (х) п|(х) Таким образом, норма ((ТфрЦ! = Мйи !)Тпрр!! = 7л/2. При разложении функции Г (х) по полиномам Чебышева (с учетом Та (х) = 1) коэффициенты ряда 1(х) =се+ У ск Т„(х), — 1~ х с. 1, а=1 должны определяться в соответствии с (14.2) и (14.10), (14.!О') следующими выражениями: 1 1 (х) для аппроксимации АЧХ различных фильтров. Этот вопрос рассматривается в гл. 15. 3. П о л и н о м ы Л а г е р р а определяются формулой е» ди /.и (х) = — (х" е — "), х ) О.
и! гЬа (14,12) Первые четыре полинома: Е,а (х) = 1, 1,, (х) — х+ 1, Еа (х) = х'/2 — 2х+ 1, Ьа (х~ = — х'/б+ +'/а х' — 3х+ 1. Полиномы Лагерра ортогональны на полуоси О = х ( ео с весом р(х)= — е-» Так как полиномы Лагерра образуют систему расходящихся при х -~ ео функций, удобнее пользоваться ф у н к ц и я м и Л а г е р р а 1„=)/ р (х) /.„(х) =е-"/' Е„(х).
(14.13) При этом функции Лагерра 1„(х) ортогональны с единичным весом. На рис. 14.4 приведены функции Лагерра при л = — 1,2,.„, 5. Норма функции 1„(х) '2 1„~~ = ) 1'„(х) дх 1, а поэтому при разложении функции / (х) по функциям Лагерра коэффициенты ряда /(х) = ч', си 1„(х) и=а должны определяться по формуле Ю (14.! 4) с„= ~ ) (х) 1„(х) Нх. (14,15) -Щ,2 Рис.
14А. Функции Лагерра Рис. 14Д. Генератор функций Лагерра Хс»1„ п О Функции Лагерра получили широкое распространение в измерительной технике и в многоканальных системах связи, что в значительной степени объясняется простотой их генерирования. Дело в том, что функция 1„(() по форме совпадает с импульсной характеристикой физической цепи, составленной из каскадного соединения простых звеньев (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
