Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986) (1095423), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Функция К (х!о), отвечающая условию (13.8), согласована со спектральными характеристиками сигнала — амплитудной и фазовой. В связи с этим рассматриваемый оптимальный фильтр часто называют согласованным фильтром. Итак, отношение пика сигнала к среднеквадратическому значению помехи на выходе согласованного фильтра определяется равенством Кгеых М =к ь>ие г а1 а ы бу И аэ Рис. 1Зак Соотношение между фазовыми характеристиками спектра сигнала на входе и выходе согласованного фильтра Рис. 1З.З.
Спектральная плотность сигнала и АЧХ согласованного фильтра (а) и энергетические спектры на входе и выходе фильтра (б) 400 ФЧХ фильтра должна отвечать условию рк (со) = — [О, (го) + оз1е); (!330) АЧХ должна отвечать условию К (ш) = А3 (го). (13,11) В тех случаях, когда под комплексной передаточной функцией подразумевается безразмерная величина (иапример, отношение комплексных амплитуд напряжения иа выходе и входе), постоянный коэффициент А должен иметь размерность, обратную размерности спектральной плотности сигнала. Соотношения (13.10), (13.1!) имеют глубокий физический смысл. Первое из иих можно назвать условием компенсации начальных фаз в спектре сигнала, поскольку фазовый сдвиг в фильтре — О, (го) равен по величине и обратен по знаку начальной фазе соответствующей составляющей спектра 3 (ш) входного сигнала.
В результате прохождеиия сигнала через фильтр с фазовой характеристикой грк (го) сложение всех компонентов спектра, скорректированиых по фазе, образует пик выходного сигнала. Слагаемое фазовой характеристики <рк (го), равное — гоге, указывает иа то, что пик задержан относительно начала сигнала з (г) иа время 1е. Связь между ФЧХ О, (ьт) входного спектра, компенсирующей ее характеристикой фильтра — О, (ш) и полной ФЧХ фильтра фя (го) = = — (О, (га) + вэба) поясняется рис, 13.2.
После прохождения через фильтр спектр выходного сигнала будет иметь фазовую характеристику Озаык (ш) =Оа(оэ) + грк (со) = Оз(ш) +1 Оз (оз) от!о) = го!а (!3 !2) коказаииую прямой линией иа том же рисунке. Соотношение (13.11), устанавливающее, что АЧХ фильтра К (ш) долж. иа по своей форме совпадать с амплитудным спектром сигнала Я (оз), также легко поддается физическому истолкованию. При АЧХ К (го), отвечающей условию (13.11), фильтр пропускает спектральные составляющие шума иеравномерно, с тем ббльшим ослаблеинем, чем меньше модуль 5 (со).
Это приводит к существенному уменьшению мощности шума иа выходе фильтра. На рис. 13.3, б зта мощность определяется площадью (заштриховаииой) под кривой )к', (го) = К' (ш) йра. (Для наглядности характеристики иа рис. 13.3 построены в предположении, что АЯ (О) = 1.) Ослабление сигнала из-за неравномерности характеристики К (ш) выражено в меньшей степени, чем ослабление шума, поскольку уменьшение К (го) имеет место для спектральных составляющих, вклад которых в пико- вое значение сигнала сравнительно мал.
В результате получается ослабле- ние шума относительно сигнала. В сочетании с устранением фазовых сдви- гов между спектральными составляющими сигнала это и приводит к макси- лгизации отношения сигнал-помеха на выходе фильтра. 13.3. ИМПУЛЬСНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА СОГЛАСОВАННОГО ФИЛЬТРА. ФИЗИЧЕСКАЯ ОСУЩЕСТВИМОСТЬ Тот факт, что коэффициент передачи согласованного фильтра К ((ш) является функцией, сопряженной по отношению к спектру сигнала 8 (ш), указывает на существование тесной связи также и между временными харак- теристиками фильтра и сигнала. Для выявления этой связи найдем импульс- ную характеристику согласованного фильтра. Применяя выражение (5.39) и учитывая формулу (13.8), получаем д(1)= — ) К((ш) ег""сйо=А — ~ 8*(ш)егм1'-"1с(со.
(1313) 2л Учитывая, что 8* (ш) = 8 ( — ш) и переходя к новой переменной ы,= — ш, переписываем выражение (13.13) следующим образом: о(1) = — — 8( ) е — ги (! — и1с( А 2и +с =А — ~ 3(ш,) е'" 1'-'1 йо,, 1 2и Правая часть этого выражения есть не что иное, как функция Ав (1в — 1). Следовательно, если задан сигнал в (1), то импульсная характеристика согла- сованного (оптимального) фильтра а (1) определяется как функция й (г) = Ав (го — г) (13.15) (13.14) т. е. импульсная характеристика по своей форме должна совпадать с зеркальным отражением сигнала.
Построение графика функции в (гв — г) показано на рис, 13.4 Кривая . э ( — 1) является зеркальным отражением заданного сигнала в (1) с осью ординат в качестве оси симметрии, Функция же в (1о — 1), сдвинутая относительно в ( — г) на время гв вправо, также зеркальна по отношению к исходному сигналу в (1), но с осью симметрии, проходящей через точку Гв(2 на осн абсцисс. На рис.
13.5 показано аналогичное построение для случая, когда отсчет времени ведется от начала сигнала. Поскольку импульсная характеристика физической цепи не может начинаться при 1 ( 0 (отклик фильтра не может опережать воздействие 6 (1)1, Гс/2 Рис. 13.5. Построение импульсной характеристики согласованного фильтра Рис. 13.4. Построение функции, зеркаль- ной во отношению к сигналу 40! то очевидно, что задержка („ фигурирующая в выражении (13.8), не может быть меньше Т,.
Только при 1, = Т, может быть использована вся энергия сигнала для создания наибольшего возможного пика в точке г' = га. Ясно, что увеличение гс сверх Т, не влияет на пиковое значение выходного сигнала, а просто сдвигает его вправо (в сторону запаздывания). Кроме того, условие га )» Т, накладывает на сигнал з (>) требование, чтобы длительность его Т, была койечна; только в этом случае при конечной задержке гп можно реалйзовать пик сигнала.
Иными'словами, применение согласованной фильтрации для максимизации отношения сигнал-помеха в описанном выше смысле возможно при импульсном сигнале (а также ограниченной по продолжительности пачке импульсов). Обратимся к вопросу о физической осуществимости согласованного фильтра. Пусть задан произвольный сигнал з (г), которому соответствуют импульсная характеристика согласованного фильтра у (г) и преобразование Фурье от этой функции К ((ь>), определяемые соответственно выражениями (13.15) и (!3.18). Возникает вопрос, при каких условиях К (Гп>) может являться передаточной функцией физически осуи(еапвия>ого четырехполюсника.
Ответ на этот вопрос дает критерий осуществимости Пэли — Винера, согласно которому неравенство ' Ю аь>< со (13. 16) 1+а>з является необходимым условием, чтобы положительная функция К (ы) могла быть модулем передаточной функции электрической цепи. Хотя критерий Пали — Винера оставляет открытым вопрос о структуре цепи, из него вытекают некоторые полезные следствия о свойствах электрических цепей. В частности, из него следует, что АЧХ К (и>) должна быть интегрируемой в квадрате, т.
е. ) К' (ь>) с(ь> ( оо. Только при этом условии числитель !!п К (ь>)! растет с увеличением а> медленнее, чем знаменатель ! + а>з, и условие (13.16) выполняется. Например, передаточная функция К (ь>) = = К,е — с', ь> О, реализуема, так как 11пК, (ь>)! = )1пК, — аь>! растет медленнее, чем 1+ ь>а.
Гауссовский фильтр с передаточной функцией К (ез) = = К,е — '" * не реализуется, так как !1п К (а>) ! = 11пК, — ап>а! растет с увеличением и> с такой же скоростью, что и знаменатель ! + п>з. Далее, АЧХ К (и>) может быть равной нулю только на некоторых дискретных частотах, но не в конечной или бесконечно большой полосе частот.
Действительно, если в полосе частот а>> ( ез ( ь>з функция К (а>) = О, то ! 1п К (ез) ! обращается в бесконечность и интеграл в (13.15) расходится. Аналогично рассуждая, можно прийти к выводу, что фильтры с П-образной АЧХ нереализуемы, хотя практически можно получить характеристики, близкие к идеальным. Так как в рассматриваемой задаче синтеза согласованного фильтра задано равенство К (а>) = АЗ (ь>) 1см. (13.11)), то условие (13.16) можно записать в виде 11п 5 (ь>11 !+п>з с и все приведенные выше ограничения на К (а>) можно распространить на модуль спектральной плотности сигнала Б (и>).
' Здесь под м подразумевается безразмерная нормированная величина. 402 13А. СИГНАЛ И ПОМЕХА НА ВЫХОДЕ СОГЛАСОВАННОГО ФИЛЬТРА Для определения формы сигнала на выходе используем общее выраже- ние .и (!)= — ' ~ 8( )К(1 )Е'м'й . Подставив в него соотношение (13.8), получим ва „(!) =А — ~ 8(а) Вз(а) е-1""еенмйа= 1 (13.! 7) (13,18) ' Обратим внимание на то, что символом Вз (т) обозначена корреляционная функция детерминированного сигнала з (1). Использованные в гл. 4, 5 н 11 обозначения К„(т), дз (т) и г„регламентированы (по ГОСТ) лля статистики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
