Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986) (1095423), страница 91
Текст из файла (страница 91)
з Различие в знаках показателя степени е'ет не имеет значения ввиду четности функции Вз(а). 403 = А — ~ Вз (а) е'"1'- 'е! Йо, 1 2л Сопоставим это выражение с (2.!36). Нетрудно видеть, что интеграл в правой части выражения (13.17) есть не что иное, как корреляционная функ- ция входного сигнала ' В, (т), в которой аргумент т заменен' на ! — (о. Та- ким образом, приходим к важному выводу, что заых(!) АВ~(~ ~о) и соответственно з,„,((о+т) =АВ,(т). (13.!9) Итак, сигнал на выходе согласованного фильтра с точностью до постоян- ного коэффициента А совпадает с корреляционной функцией входного сигнала.
Для построения графика функции за „(!) по заданной функции В, (т) достаточно в последней т заменить на ! — г, (и учесть коэффициент А). При ! = г„ т. е. при т = О, величина В, (О) равна энергии сигнала. Следователь- но, пиковое значение сигнала еаых (1о) АВз (0) (13.20) Рассмотрим теперь параметры и статистические характеристики шума на выходе согласованного фильтра. При действии белого шума с нормаль- ным законом распределения (именно такой шум и представляет основной ин- терес для практики) распределение шума на выходе линейного фильтра ос- тается нормальным. Спектр шума на выходе, как это ясно из (7.2) и рис. 13.3, Р',„„(а) = К' (а) Ж'о.
Следовательно, корреляционная функция шума иа выходе согласованного фильтра )7,„,(т)= — ( Ф',ы (а)ез 'аа=* — ' ~ Кз(а)е™йа, (13,21) 2я 2п и Подставляя К (а) = АВ (а) и учитывая выражение (2.136), получаем йзых(т) =А' В'о — ~ Яз!а) е'" да = А' уй о В. (т). (13.22) В 0 ВВВВ = ~ з,'„„(!) й= АВ ~ В,' (т) дт. (13.24) Приравнивая Э,„, величине 3, получаем условие нормирования коэффициента А 1/2 А -(В,101~ ! В111А (13,25) Подставив этот результат в (13.20), находим пик сжатого сигнала АВ 1/2 .„„ВА-АВ,111=1В,1211 ~ ~( !' 21В1А. (13.26) Отсюда следует, что корреляционная функция шума на выходе согласо'- ванного фильтра по форме совпадает с корреляционной функцией входного сигнала (н, следовательно, с самим выходным сигналом).
Приравнивая т = О, находим дисперсию (среднюю мощность) шума на выходе о.' „=ИВ„,(0) =А' Ю'ВВ,(0) =А' 1уАВЗ, (13.23) Составим отношение пикового значения сигнала э,„„(Г) к среднеквадратическому значению шума о,„„. В соответствии с формулами (13.!9) и (13.23) приходим к результату (! 3.9): 2„1„(!В)/и,„, = (ЭЛ122)1~2. Итак, при белом шуме отношение сигнал-шум не выхода фильтра, согласованного с сигналом, зависит только от энергии сигнала и энергетического спектра шума Ю'В. Из этого заключения следует, что при заданных энергии и ширине спектра сигналу можно придавать различную форму, выгодную для решения конкретной задачи.
Так, для повышения скрытности передачи целесообразно удлинять сигнал при соответствующем уменьшении амплитуды (АВТВ = сопз1). Это приводит к уменьшению отношения сигнал-помеха на входах любых радиоприемных устройств, что затрудняет извлечение информации из смеси сигнал + + шум. Лишь в приемнике с фильтром, согласованным с данным сигналом, восстанавливается наибольшее возможное при заданной энергии отношение сигнал-помеха. Следует, конечно, обеспечить неизменную ширину спектра при удлинении сигнала.
Это можно осуществить, введя внутриимпульсную модуляцию, например частотную. Пример подобного сигнала — импульса с линейной ЧМ (ЛЧМ импульс) был рассмотрен в 5 3.7, п. 3. Удлинение радиоимпульса, дополняемое внутриимпульсной модуляцией, позволяет также снизить пиковую мощность генератора в передатчике при заданной энергии сигнала и при сохранении разрешающей способности сигнала (после сжатия в согласованном фильтре). Это преимущество более подробно рассматривается в 5 13.5, и.
2. Уточним смысл коэффициента А, фигурирующего во многих предыдущих выражениях. При определении отношения сигнал-помеха (см. (13.9)] в уточнении нет необходимости, однако при рассмотрении сигнала и помехи порознь, как, например, в выражениях (13.20) и (13.22), необходимо учитывать, что А — размерный коэффициент. Удобно нормировать А так, чтобы энергии входного и выходного сигналов были одинаковы, тем самым исключая из анализа усиление сигнала по энергии. Энергия входного сигнала В =В, (О), а выходного Таким образом, пик сжатого сигнала (в отсутствие усиления) выражен через корреляционную функцию исходного сигнала з ()).
Применение выражения (13.26) иллюстрируется примерами, приведенными в следующем параграфе. 13.5. ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ СОГЛАСОВАННЫХ ФИЛЬТРОВ !. ПРЯМОУГОЛЬНЪ|й ВИДЕОИМПУЛЪС Зададим сигнал следующей функцией времени: ( Е при О() (Та ) 0 при)(0и) Т,. (13. 27) Спектральная плотность такого сигнала, как известно, ~~" ~~| ~ $(а) =Š— (1 — е '" ), (13. 28) По формуле (13.8), в которой 1, приравниваем длительности импульса Та находим передаточную функцию согласованного фильтра — |иго К(|а)=ЕА — (1 — е'"го)е ' г =-ЕА (13.29) ( — )а) |а Рассматриваемый пример характерен тем, что К ((а) отличается от спектра сигнала 8 (а) лишь постоянным коэффициентом.
Ясно, что и импульсная характеристика фильтра я (1) совпадает по форме с самим сигналом з((); действительно, из соотношения (13.15) следует, что и()) А (Т,) АЕ рн 0((~Т„(1330) 0 прн 1(0 и 1- Т,. График д (!)/А (рис. 13.6) по форме полностью совпадает с входным импуль:ом з (г). Дальнейшая задача сводится к отысканию структуры физической цепи, обладающей импульсной характеристикой, изображенной на рис.
13.6, и передаточной функцией, определяемой формулой (13.29). Простейший сигнал (13.27) удобен для иллюстрации основных положений синтеза четырехполюсннка по заданной импульсной характеристике я (В = = Аз (1, — 1) нли, что то же, по комплексной передаточной функции К (|о>), являющейся преобразованием Фурье от я (1). Прежде всего отметим, что интеграл р 1|и5 (а) ) ( (' ) |и) 2 о|и(аго/2)) — )иа ) ( | +<оо,) )+ао о о т. е. интеграл сходится, так что в рассматриваемом примере функция К (а) = АЕ (а) не противоречит критерию Пэли — Винера (13.16). Показанную на рис. 13.7 структурную схему фильтра можно наметить непосредственно по передаточной функции (13.29).
Входящий в эту функцию множитель 1Да реализуется интегрирующим звеном, а второй множитель (1 — е ™го) — устройством вычитания, к которому сигнал попадает без задержки и с задержкой Т,. Передаточная функция идеальной линии задержки (без пагерь) равна е '"го. р®,л -(ь: Гегз га Рис. 13,6. Импульсная характеристика фильтра, согласованного с прямоугольным импульсом О бу 1е Рис. 13.8. Формирование импульсной ха- рактеристики в идеальном (а) и физиче- ском (б) фильтрах Рис.
13.7. Структурная схема фильтра, согласованного с прямоугольным им- пульсом АЕ'(2Т,— 1) при Т (1(2Тс. Максимальное значение выходного сигнала, равное АЕ'Т„достигается в момент 1 = Т„т. е. к концу действия входного сигнала (рис. ! 3.9). Отношение сигнал-помеха в соответствии с (13.9) звых (Тс) го~~* = Е)' Тсг)г''е. (13.32) Определим теперь пик сжатого сигнала по форму)ге (13.28). В данном примере В, (О) = Е' Т„а тс г, тс Та В,' (т) г(т = 2 ~ В,' (т) с(т = 2 ~ Е' т' г(т = 2Е' — ' — г, е е 406 Объяснить работу этой схемы можно также на основании временных представлений: при подаче на вход единичного импульса ЭДС (дельта-функции б (1)) на выходе идеального интегратора появляется скачок напряжения в момент 1 = О. На выходе устройства получается напряжение в виде разности двух единичных скачков, сдвинутых относительно друг друга на время Т, (рис.
13.8, а). Реализация изображенного на рис. 13.7 устройства, которое обеспечивало бы точное интегрирование, а также задержку входного сигнала без искажения его формы (в пределах бесконечно широкого спектра единичного импульса), практически неосуществима. Можно, однако, получить достаточно хорошее приближение при использовании реальной интегрирующей )тС-цепи, если обеспечить постоянную времени этой цепи, достаточно большую по сравнению с Т,. При этом на выходе вычитающего устройства импульс напряжения, являющийся разностью двух экспонент (рис.
13.8, б), может быть реализован достаточно близким к прямоугольному. Найдем напряжение на выходе фильтра. Применяя формулу (13.18) и учитывая, что корреляционная функция прямоугольного импульса имеет вид равнобедренного треугольника с основанием 2Т, и высотой, равной энергии импульса Е'Т„получаем Следовательно, заых (Гз) = [В,(0)1 тз Езт з!з ( с) = )Уз/2 Е, тс 1Ыз 2 Ез з1з Г Вз( 1п, ЪГ2/ЗЕзт, с Таким образом, зз (1,)7Е =)т 372. Как будет видно из дальнейших примеров, пик выходного сигнала намного превышает амплитуду входного при согласованной фильтрации сложных сигналов (с большой базой).
2. РАДИОИМПУЛЬС С ЧАСТОТНО-МОДУЛИРОВАННЪ|М ЗАПОЛНЕНИЕМ Рассмотрим сигнал, изображенный на рис. 13.!О, а. Огибающая этого сигнала имеет прямоугольную форму, а частота заполнения нарастает по линейному закону (рис. 13.10, б) со скоростью =2отд(Т, =2 2п(д/Т, (13.33) от(1) =етс+(1г', — Тс!2(1(Тс72 (13.34) а мгновенное значение сигнала в интервале от — Тс/2 до Т,72 определяется выражением з (() —.—. Е, соз (етз 1+ ))Р!2) . (13.35) Спектральная плотность подобного импульса была определена в гл.3. Было установлсно, что модуль и фаза спектральной плотности определяются соответственно формулами (3.50) и (3.51).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
