Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986) (1095423), страница 89
Текст из файла (страница 89)
В основе алгоритма этой операции, представленного иа рис. 12.43, лежит теорема свертки, сформулированная для дискретных сигналов в п.в. 4 12.4. В соответствии патой теоремой 3 (и) = Х (и) у (п), причем под М, каки ранее, следует подразумевать 7«г + А«з. После обратного БПФ получается последовательность з [я)), /г = 0,1, „йг — 1, являющаяся сверткой последовательностей (х (д)) и у (д) .
аким образом, вместо прямого вычисления свертки двух сигналов по формуле (12.73) сначала эти сигналы с помощью БПФ переводятся в спектральную область, а затем после перемножения спектров и ОБПФ приводятся к требуемому результату. При достаточно длинных последовательностях (х (й)) и (у (й)) суммарное число арифметических операций оказывается значительное меньшим, чем прн алгоритме (12.73). Подобную более экономную обработку иногда называют «скоростной сверткойж (э(ус)] „Ф (атп)) (131п1)') пбутр Рнс.
12.44. Вычисление корреляционной функции сигнала с помощью БПФ 393 012 и-( "2-гог 2 Рис. 12.45, К вычислению корреляционной функции сигнала по алгоритму рис. 12.44 Рассмотрим еще важный для практики вопрос об использовании БПФ при вычислении корреляционной функции дискретного сигнала. На основе выражений гл гл е — 'ьл — г — ль и — ! и и — ! У В,(й)= чч )3(л))'е, ) 5(л))е= ~', В,(д)е л а «=а являющихся дискретными эквивалентами интегральных преобразований (2.136), (2.137), можно наметить структурную схему, представленную на рис. 12.44.
При входной последовательности из )т' отсчетов устройство БПФ рассчитывается на удвоенное число отсчетов (половина входов резервируется для обратного преобразо. ванна). Число отсчетов корреляционной функции В, (и) равно 25!. Связь между последовательностями (В(й)) и (В(Д)) иллюстрируется рис. 12.45. Вследствие периодичности ОДПФ (с периодом 2)т) последовательность (В, (д)), и = 0,1,..., 2 т' — 1, эквивалентна четной относительно и последовательности, изображенной в нижней части рис.
12.45. Гл а в а 13. ПРИНЦИПЫ ОПТИМАЛЬНОИ ЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ СИГНАЛА НА ФОНЕ ПОМЕХ 13.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Центральной проблемой радиотехники была и остается проблема помехоустойчивости связи. Система связи должна быть спроектированной так, чтобы она обладала способностью наилучшим образом противостоять мешающему действию помех. Проблема помехоустойчивости радиосвязи включает в себя большое число других проблем, охватывающих все разделы радиотехники: генерирование мощных колебаний, освоение и выбор волн, обеспечивающий благоприятные условия распространения, использование антенн направленного дей- 395 Рнс.
13.1, Воздействие сигнала н помехи на лннейный четырехполюсннк ствия, поиски новых видов радиосигналов и новых способов их обработки на фоне помех и т, д. Для теории радиотехнических цепей и сигналов особый интерес представляет возможность ослабления вредного действия помехи с помощью линейной фильтрации, основанной на использовании линейных частотных фильтров. На протяжении длительного периода развития радиотехники к подобным частотным фильтрам предъявлялось требование возможно более равномерного пропускания спектра сигнала и возможно более полного подавления частот вне этого спектра.
Идеальным считался фильтр с прямоугольной П-образной АЧХ. С развитием теории информации и статистической теории обнаружения сигналов трактовка функций линейного фильтра, а также подход к его построению существенно изменились. Стало очевидным, что указанная выше трактовка имеет следующие недостатки: 1) не учитывается форма сигнала (которая может быть различной при одной и той же ширине спектра сигнала); 2) не учитываются статистические свойства помехи. Поэтому фильтр с П-образной АЧХ не является оптимальным в тех случаях, когда имеется априорная информация о форме сигнала и характеристиках помехи.
Коренной перелом в теории и практике линейной фильтрации связан с появлением работ Н. Винера, А. Н. Колмогорова, В. А, Котельникова и других ученых, которые поставили и решили задачу синтеза фильтра, оптимального в определенном смысле для приема заданного сигнала, действующего на фоне помехи с заданными статистическими характеристиками. В зависимости от решаемой задачи — обнаружение сигнала, измерение его параметров или разрешение (различение) сигналов — критерии оптимальности могут быть разными.
Для задачи обнаружения сигналов в шумах наибольшее распространение получил критерий максимума отношения сигнал-помеха на выходе фильтра. В настоящей главе рассматриваются только такие фильтры. Требования к фильтру, максимизирующему отношение сигнал-помеха, можно сформулировать следующим образом. На вход линейного четырехполюсника с постоянными параметрами и передаточной функцией К (1ы) подается аддитивная смесь сигнала э (г) и шума л (г) (рис. 13.1). Сигнал полностью известен; это означает, что заданы его форма и положение на оси времени. Шум представляет собой случайный процесс с заданными статистическими характеристиками.
Требуется синтезировать фильтр, обеспечивающий получение на выходе наибольшего возможного отношения пикового значения сигнала к среднеквадратическому значению шума. При этом не ставится условие сохранения формы сигнала, так как для обнаружения его в шумах форма значения не имеет. ! 3.2. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ОПТИМАЛЬНОГО ФИЛЬТРА Под синтезом фильтра будем подразумевать отыскание передаточной функции физически осуи1жтвимого фильтра, обеспечивающего упомянутую выше максимизацию отношения сигнал-помеха.
Передаточную функцию будем представлять в форме К (1<о) = К (оз) е~оз' '. 397 з,„„(!,) = — ~ 3(ы) К(!ы) е™" вайо= ! — ( я (а!) К (ы) е'(ээ!'~)+чь!э!+~И) 2п (1ЗА) а среднеквадратическое значение помехи — выражением /' ! /2 и, „= — ( Ф'(а!) К'(ы)йо = — ' 1 К'(ы)йа . (13.2) 2я 2я,) В выражении (13Л) Я (а) = 5 (ч!) е '"' — спектральная плотность заданного входного сигнала з (/), а под /,подразумевается момент времени (пока еще не определенный), соответствующий максимуму (пику) сигнала иа выходе фильтра. Смысл и минимально возможное значение /, подробнее рассматриваются в следующем параграфе, однако из простых представлений очевидно, что для образования пика требуется использование всей энергии сигнала, а это возможно не ранее окончания действия входного сигнала.
Иными словами, /, не может быть раньше момента окончания сигнала. Составим теперь отношение 2п !выл (!о) (1З.З) эвых ~и' ыг Воспользуемся известным неравенством Шварца ! ь !3 Ь Ь ~ Р,(х)рз(х) !(х~ ( ~) Р!(х)('!(х~ )Г,(х)('-дх, а а а (13А) где Р! (х) и /', (х) — в общем случае комплексные функции. Это неравенство обращается в равенство только при выполнении усло- вия Р, (х) = Аг ! (х), (13.5) т. е. когда функция Е, (х) пропорциональна функции, комплексно-сопряженной Р! (х) (А — произвольный постоянный коэффициент).
398 Таким образом, задача сводится к отысканию АЧХ К (а!) и ФЧХ й!„(!а) оптимального фильтра. Наиболее просто эта задача решается для сигнала, действующего на фоне белого !лдма с равномерным спектром (Р' (а!) = )Р', = = сопз1. Для отыскания оптимальной (в указанном смысле) передаточной функции К (!!э) составим выражения для сигнала и шума на выходе фильтра сначала порознь, а затем в виде их отношения. Сигнал в фиксированный момент времени /„ определяем общим выраже- нием Приравнивая в (134) гх(х)=8(ао)е!~а!а! и Р,(х)=К(о!)е'(оа!о!+ "1, записываем неравенство (13.4) в форме — 3(ао) К(со) е (о'! >+охи)+ !)а(ао ( 2л !/2 ( — ( 8в (ао) Йо — ( !(х (о!) Йо (ь 2л,! 2л,! Тогда выражение (13.3) позволяет составить следующее неравенство: Хввах ((а) Овых ( )"'[Х"-Г О !/2 ) ов(м!а(!о ° — ~ Кв (м)йо 2л,) 2л С ! !!2 5х (!») Йо 2л ( ( — ') ~ ! к'~ ~а.,| (1 3,6) Учитывая, что выражение в квадратных скобках правой части этого неравенства есть не что иное,, как полная энергия 3 входного сигнала !см.
(2.66)), приходим к следующему результату: эв (! )й, ()/39((а' . (13.7) Наконец, из выражения (!3.5) следует, что это неравенство обращается в равенство при выполнении условия К (ао) е' (~а !во+ ' ! = АЯ' (м) = А 8 (ао) е или, что то же, 1(((о!) = 7((о>) еоа<Ы = А8а (ао) е "а'= АЧ(ао) е '(о' '+ '!. (!3.8) Б„, (г )/о„„,=р Э/%',. (13.9) Из соотношения (13.8) вытекают следующие два требования к согласованному фильтру: 399 Полученное соотношение полностью определяет передаточную функцию фильтра, максимизирующего отношение сигнал-помеха на выходе (при входной помехе типа белого шума).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
