Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986) (1095423), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Схема замещения рассматриваемого фильтра показана на рис. 12.25,а. Для построения развернутой схемы исходим из разностного уравнения (см. !2.8, п. 2) ь,ых(лг) = з(>п)+Ь, зв„„(гл — !). ПодставлЯЯ Ь, = Ьв — !Ьв и з (т) = з, (лг) + !з, (лг), пРиходим к алгоритму зс вы» (гн) + 'з» вы>,'и) =за (г") — Ьх зг вых (гн 1) — Ьв з» вы» ("' — 1) + + г'(з„(т)+Ьнх,„,.(т — !)+Ь»з„в„,(гп — 1)). Зтот алгоритм реализуется схемой, представленной на рис. !2.25;.б. Обратимся теперь к выражению (12.61) и подставим г = е'"г, а также гн = ге " .
В результате получим 1 1 К (егыг)— 1 — ге " е >ы г 1 — ге — г(ы — в)г откуда следует простое выражение для АЧХ фильтра ~К(е'ы") ~ =1/) 1+ге в— 2г сок(га — о>н! Т !ср. с (12 48)). Максимальное значение АЧХ = !/(1 — г) соответствует частоте м = = н>„. Существенно, что при заданном г значение максимума АЧХ не зависит от резонансной частоты а>вТ.
Заныв(аа авнв>хР>Г! бг Рнс. !2.25. Рекурснннан схема керного карнака с ы>манексным весовым коаффннненгом а> !7 иу,Г уг 2!г-ю,Г2и' йл Нис. !2.26. Положение полюса фуилиии К (еол ! и АЧХ фильтра, поиазаииого иа рис. !2.25 ал К(г! =!+а, (12.62) имеет нуль в точке г, — = а,, а разностное уравнение в„и „(т) = в (т) + а, в (т — 1).
Подставив з(т) = в, (т) + !з, (т) и а, = а„+ !аи, придем к следующему результату: вс „„„(т)+ !з„„и„(т) =зс(!п!+а„з„(т — 1) — аи хи(т — 1) + ! [в,(т)+ + аи ви (т — 1) + а„з„(т — ! К. Соответствующая этому алгоритму развернутая схема представлена на рис. 12.27, б. Лля определения АЧХ фильтра подставим в (12.62) г = е'иг и а, = = аи '- !аи =- — е!и*г, где ю, — частота, на которой должно обеспечиваться подавление колебания. Иными словами, нуль передаточной функции ге должен находиться на окружности [г[ =- 1. Зто График АЧХ при показанном на рис.
12.26, а положении полюса г„, соответствующем со-> О, представлен на рис. 12.26, б. При изменении знака перед Ь„, т. е. при положении полюса ниже оси х, полоса прозрачности фильтра будет в диапазоне со ( О или, что то же самое, в диапазоне и ( соТ~ ( 2п (на рис. 12.26, б АЧХ обозначена штриховой линией).
Итак, однополюсный резонатор, т. е. рекурсивный фильтр первого порядка с комплексным коэффициентом Ь,, позволяет осуществить фильтр, реагирующий либо только на положительную, либо только на отрицательную частоту. С понятием колебания отрицательной частоты как с физическим процессом мы встретимся в ч 13.9 при рассмотрении квадратурной обработки сигнала. Обратимся к рассмотрению цифрового трансверсального фильтра первого порядка с комплексным весовым коэффициентом. В п.
1 2 12.8 было показано, что трансверсальный фильтр первого порядка (см. рис. 12.12) с действительным весовым коэффициентом а, позволяет осуществить режекцию (подавление) колебаний на' частотах соТ = О и ыТ = 2п(при а, = — 1, см. рис. 12.14, б) или на частоте соТ = п(при а, =1, см. рис. 12.13, б). Найдем характеристики аналогичного фильтра при комплексном весовом коэффициенте а, = а„4- еа„(рис. 12.27, а). Передаточная функция фильтра Рис. 12.27. Трансверсальный фильтр первого порядка с компленсннм кпзффнпнен.
том б, Тогда К(е'"г) =1 — еь ге-"т =1 — сов(оз — отв) Т вЂ” гз!и (оз — ~ое) Т и АЧХ фильтра (К(егит) ) 2 ~ н(п ( ") ( 2 Задавая весовые коэффициенты соотношениями а, = — сов оза Т, па =- = — з(п гоаТ, можно перемещать нуль АЧХ во всем частотном диапазоне от 0 до 2п. 12.10. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АНАЛОà — ЦИФРА. ШУМЫ КВАНТОВАНИЯ В предыдуших параграфах при изучении дискретных фильтров вопрос о неизбежной погрешности преобразования входного сигнала из аналоговой формы в цифровую не рассматривался. Погрешность возникает при квантовании сигнала на конечное, ограниченное число уровней. Чтобы выявить характер этой погрешности, вернемся к Р.
структурной схеме на рис. 12.1 и выдеи, гге лнм из нее два устройства: АЦП и ЦАП. Рассмотрим сначала совместную работу этих устройств, без учета цифрового па ар фильтра при подаче на вход АЦП постоянного напряжения различного уровня и, (рис. 12.28, а). Основным параметром АЦП является число разрядов, используемых для кодирования входного напряжения.
При двоичном коде число разрядов определяется числом двоичных элементов (например, триггеров), каждый из которых может находиться Э ся "т в одном из двух состояний: с нулевым или ненулевым напряжением на выходе. г7 Одному из этих состояний условно при- Э и писывается нуль, а другому — единица. При числе двоичных элементов г на выходе АЦП получается комбинация (кодовое число) из г символов, каждый Рис.
!2.28. Преобразование А — И и (1 — А (а), характеристика квантования (б) н ошибка йвзнтовапня (в! из которых может принимать одно из двух значений (нуль или единица). Как указывалось в 912.1, число возможных различных комбинаций Г. = 2' и определяет число дискретных уровней, на которое может быть разбит диапазон изменения входного напряжения. В ЦАГ! осуществляется обратное преобразование. Каждой комбинации нулей и единиц, поступающих на вход ЦАП, соответствует определенный дискретный уровень выходного напряжения. В результате при равномерном шаге квантования Л зависимость иа от и, приобретает вид ломаной линии, показанной на рис.
!2.28, б. Устройство, представленное на рис. 12.28, а и обладающее подобной характеристикой, должно рассматриваться как нелинейное, а разность и,— — и, = г) — как ошибка, погрешность квантования. Видно, что наибольшая ошибка, по абсолютной величине не превышающая Л!2, с возрастанием их остается неизменной (рис. 12.28, в).
Продолжим это рассмотрениедля гармонического входного колебания з (1) (рис. 12.29, а). Колебание з„ых (() приобретает ступенчатую форму, отличающуюся от входного колебания з (Г) (на рис. 12.29, б, показанного тон. кой линией), а ошибка квантования принимает вид функции д(1) =х„ых(() — з(1), представленной на рис. 12.29, в. При изменении в широких пределах амплитуды и частоты гармонического колебания з(() изменяется только частота следования зубцов: форма их остается близкой к треугольной при неизменной амплитуде Л)2.
Функцию г) (Г) можно назвать помехой или ш у м ом к в а н то в а н и я. Нетрудно вычислить среднюю мощность шума квантования. При допущении треугольной формы зубцов (рис. 12.29, в) с амплитудой Л)2 средняя за длительность одного зубца мощность равна (1/3) (Л/2)х = Лх(12. Так как эта величина не Рнс. 12.29. Сигнал на входе (а) н выходе (о) квантуюгнего устройства; помеха квантованнн (в) 377 зависит от длительности зубца. можно считать, что средняя мощность шума. квантования Р» = Ьа/12, (12.63) Этот результат, выведенный для гармонического сигнала, можно распространить и на любой другой сигнал, в том числе и случайный.
Отличие лишь в том, что функция д (/) будет случайным процессом из-за случайной длительности зубцов. Нетрудно вычислить и отношение сигнал -помеха при квантовании. При высоте ступени Л и общем числе ступеней, укладывающихся в пределах характеристики АЦП, равном 1., амплитуда гармонического сигнала не должна превышать величины Ы/2, а средняя мощность сигнала — величины 1/2х х(/.А/2)а (во избежание ограничения сигнала). Следовательно, отношение сигнал-помеха при квантовании гармонического колебания Р,/Р, ( 31,з/2. Так как число уровней Ь связано с числом двоичных разрядов г соотношением Л = 2', то последнее выражение можно представить в форме Р,/Р, =(3/2) 2 .
(12.64) Это соотношение можно рассматривать как частный случай общего выражения Ра/Ро = 3'2 '/КаФ (12. 6 5) где К„а — пик фактор сигнала, т. е. отношение максимального значения к среднеквадратическому, При гармоническом колебании К,ф — — )'2, что и приводит к выражению (12.64); при случайном сигнале с нормальным законом распределения К„ может быть принят 2,5 — 3 (см. 34.2, п.З); В этом случае Р,/Р„ж 2а'/3, а среднеквадратическое напряжение сигнала не должно превышать — (.Л/6. Физический смысл выражения (12.65) очевиден: с увеличением числа разрядов г очень быстро возрастает число дискретных уровней, приходящихся на заданный диапазон изменения з (/), и, следовательно, снижается перепад Л двух соседних уровней. При грубой оценке превып!ения сигнала над шумом квантования исходят из соотношения Р,/Ро = 2" или, в децибелах, Бди (Ра/Рд)дв 10 1я 2 — !0 2г 1я 2 бг.
(!2.66) В современных АЦП число разрядов достигает десяти и более. При этом величина О о, характеризующая динамический дапазон АЦП, равна примерно 60 дБ (6 дВ на один разряд) '. Другой важной характеристикой шума квантования является его спектральная характеристика. При гармоническом колебании на входе АЦП помеха квантования является периодической функцией времени. Спектр ее является линейчатым, содержащим только частоты, кратные частоте входного колебания. Из-за зубчатой формы функции д (/) (см.
рис. 12.29, в) спектр шума богат высшими гармониками. При входном воздействии типа случайного процесса с дисперсией и,' и со среднеквадратической шириной спектра /„„статистические характеристика шума квантования зависят не только от характеристик исходного процесса з (/), но и от соотношения между и, и Л. В частности, при о, )) Ь ' При пикфакторе Кое = 3 1(см. !2.55)! Р уменьшается до 5,5 дБ на один разряд. 378 ширина /,„спектра шума квантования Ю'ц (ш) во много раз аЖ больше шйрины /„„спектра ! процесса з (/).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
