Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986) (1095423), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Положение нулей и полюсов на г-плоскости для: «) ге»Т1 Ь е «н е«»; б1»МТ) сов«ю»Т; в) «(»Т) Мп««»т Нуль г, = О, полюс г„ = а«т г =а т (г( ) е †"т. 4, Последовательность отсчетов из сигнала а(1) = соз сов», ! ) О. В этом случае а(иТ) = — е"'т + — е †""»т и 2 2 1 5(г) = У созсо ИТ.г — '= — У (е'"чтг — ')»+ 2 »=о »=о + — ~ (е """г — ')" —— 2 ~ г 2 ! е'«д'г-» »=е ! 1 +— 2 1 — е гимт г-» (12.24) г» (1 — е ~~' г-г)+(1 — еиМ г-г) г (г — соя ю» Т) 2 г' — 2г сов м» Т+! гг — 2г сог ю» Т+ 1 Нули г„=О, ген — — соя сов Т, полюсы г„,л — соя сов Т ~- !'з!п отоТ, !г ) =1; го=1, )г() 1. 5.
Последователыюсть отсчетов из сигнала а(!) = з»п сов 1, ! О. В этом случае а(иТ) = — е'""'т — — е-'™т и 21 21 $(г) = ~' з)по> ИТ.г — » = — ~' (е'"етг-г)»вЂ” Сы о 2! ««» »=о » о 1 ~н, »и т Ь» гин»О»Т — — т(е ° — )= 21 㻠— 2г сог ю» Т+ 1 »=о (12.25) Нуль гв = О, полюсы г„„г = соз ю»Т ~ 1 з!и сооТ;!г„! 1; го =1, )г!) 1. Положение нулей и полюсов для приведенных выше пяти сигналов показано на рис. !2.1!. Отыскание оригинала, т. е.
функции ат (!), по заданному изображению $(г) производится с помощью обратного г-преобразован и я, которое получается подстановкой ент = г в обратное преобразо- ванне Лапласа. Основываясь на выражении (2.127) и подставив в него Зг (р) = Я (2), еллг = г" и г(р = ЫТа, получим з("Т) =Т вЂ”. ~~ 8(а) а — = —. ~~ Я(г)гм — пдг, (12,26) 2ЛН Тх 2л~ гм ~~т Ум, Интегрирование ведется по окружности радиуса г = е'г, в которую преобразуется прямая о = с из плоскости р = о+ 1и. Постоянная с определяется из условия, что все полюсы подынтегральной функции на- ходятся внутри круга радиуса г = е'г.
Обход контура — в положитель- ном направлении (против часовой стрелки). Изменению частоты от — п)Т до пуТ соответствует один обход окружности. В рассмотренных выше примерах функций Я (а), обладающих полюсами на окружности единичного радиуса !при з (яТ) = 1, соз ы„йТ и з1п ы,йТ), постоянная с) 0 может быть сколь угодно малой. Поэтому контур интегри- рования можно свести к окружности радиуса г = 1 с обходом полюсов вне круга, подобно тому, как на плоскости р = о + йо интегрирование ведет- ся по оси 1ы с обходом полюсов, лежащих на этой оси, справа. С учетом этого условия выражение (12.26) можно записать в форме з (яТ) —. — $ (г) гм — 0 Йг.
(12.27) 2л! м)=! Интегрирование по окружности г ) ! из дальнейшего рассмотрения ис- ключается, поскольку положение полюсов функции Б (г) вне круга г = 1 соответствует неограниченно возрастающим временным последовательно- стям, не имеющим физического смысла. Заметим, что при интегрировании по окружности !г! = 1 имеет место равенство г = е' г, что позволяет с помощью соотношения дг = ~Те™ до привести выражение (12.27) к виду Л з(йТ) = — ! Ь(е'"'г) е'"'ы Й(иТ), (12.28) 2л,! Сопоставим г-преобразование с ДПФ для последовательности х (йТ), А = О,1, ..., У вЂ” 1. Для этого воспользуемся выражением (12.20) для зна- 2ЛЛ чений функции 3 (г) в точках г = е'лл"'г = е м: 2Л 2Л 6 л! — ~ — ля Л $(е /= э' эйТ)е, п=0,1,..., йг — 1.
(12.29) Л=О Правая часть этого выражения полностью совпадает с выражением (12.14), из чего следует, что спектральные коэффициенты $ (и), т. е. ДПФ последовательности (з (й)), й = 0,1, ..., й! — 1, равны значениям г-пре- образования этой последовательности в У точках, равномерно распределен- ных по единичной окружности. Поскольку при использовании метода г-преобразования имеется в виду однократный обход единичной окружности, то обратное г-преобразование по формуле (12.28) обеспечивает однозначное определение элементов конеч- ной последовательности (з (А)), й = 0,1, ..., йг — ! . Напомним, что обратное ДПФ по формуле (12.15) приводит к периоди- ческой последовательности (з (Й)) с периодом йг даже при конечной исход- ной последовательности (з (й)) 12.7.
з-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ ДИСКРЕТНЫХ ЦЕПЕЙ Применим г-преобразование к передаточной функции дискретной цепи. Подстановка еег . г в выражение (12.11) дает и Ъ а»г звых (г)»=0 З(г) ! х,х — »г (12.30] иг Фиг +., —,ин и н-1 К (г)= ьх г' — Ь, г —.... — Ьм (12 31) Разделив числитель и знаменатель на Ь„гм, приведем это выражение к виду + . 7 ~м и и и, и-м-~ ан м .гьх ь„ ь„ К 17)— ь~ л! ь 1 — — г-' —... — — г ь„ ь„ Если Н ) М, то первое слагаемое в числителе (с положительной степенью г) образует в уравнении (12.4) слагаемое вида (а,!Ь») в 1(т + й)Т1, где !г = Н вЂ” М -> О, соответствующее импульсу з (т + й), опережающему во времени входной импульс з (т), что, конечно, невозможно.
Отсюда следует, что фильтр осуществим при условии, что степень знаменателя в (12.31) больиге или равна сгпепени числителя. С учетом этих замечаний запишем передаточную функцию в следующих эквивалентных формах (при Ь„= 1): !х „— П ах+а»7 ~а 7" 4 ...+Очг К (г)— 1 —,г- - Ь„г' —...— Ьмг г — ч г (ь»г та, г —.ихг —...4 ам) м и и и-~ н-г (! 2.321 — ь,г - — ьх: —...— ьм м м ~ м-г (г — гм) (г — г»х) (г — г»н) К(г)=а,гм —" (г — г„,) (г — г„)... (г — г„, ) (! 2.33) Из этого выражения видно, что передаточная функция дискретного фильтра является дробно-рациональной.
По заданному выражению (!2,30) легко составить разностное уравнение вида (12.4), определяющее алгоритм преобразования входной импульсной последовательности в выходную. Для этого каждому из слагаемых вида з((пг — й) Т1 в уравнении (!2.4) достаточно приписать коэффициент а, при степени г —" в числителе, а слагаемым вида з, „((т — й) Т1 — коэффициент Ь» при степени г — » в знаменателе выражения (! 2.30). Соответственно по заданному разностному уравнению можно составить выражение (12.30). Следует, однако, отметить, что не всякая дробно-рациональная функция может быть реализована в виде передаточной функции фильтра.
Пусть, например, передаточная функция задана в виде отношения полиномов по положительным степеням — ~е à — ееи ее+а, е ' +и„е Кг ((о») =. — н т + ин е ме » — »мне (е 'он) (е' — е,ц) (е — 2»е! = а»г" (е' Ни) (е' ' гее) (12.34) (е'"т — „н) Для определения АЧХ цепи в диапазоне (О, 2 п(Т) следует вычислить модуль выражения (12.34) при изменении о»Т от 0 до 2 п, т. е. при одном обходе окружности единичного радиуса на г-плоскости. При последующих обходах окружности АЧХ периодически повторяется. Модули разностей е"'г — г,„ и е'"" — г„„ являются расстояниями от точки на окружности, соответствующей углу о»Т, до нуля г„или полюса г„„.
Обозначив эти расстояния через й„„и й„„, получаем для АЧХ формулу ион К г (о») =- ио ~~п1 йп ~е»1 (12.35) удобную для графических вычислений. Вычисления особенно упрощакпся при построении АЧХ в логарифмическом масштабе; н ч Кг(о»)»в=20 (Дав+ ~' 1нйы 'Ч' 1ййок » ! »=! (12.36! Если заданы нули и полюсы передаточной функции, то коэффициенты а, и Ь» легко определяются с помощью известных из алгебры соотношений. Значительно более сложной (при М ) 2) задачей является определение нулей и полюсов по заданным коэффициентам и, и Ь».
Передаточная функция К (г) и импульсная характеристика и (ЬТ) связаны между собой парой г-преобразований, вытекающих непосредственно из выражений (12 30) и (12 27) при замене в них з (ИТ) на а (ЬТ) и $ (г) иа К (г): К(г) = ~' д(ЙТ! г — ", ». о (1 2.37! и (ЬТ! = — (~1 К (7) г» ~ »(г. 2я! и(=.
~ (12.38! В выражении (!2.32) коэффициенты и» и Ь„следует подставлять с теми же знаками, с которыми они входят в (12.4). В выражении (12.33) ㄄— нули, а г„о — полюсы передаточной функции; гоо и г„,могут быть либо действительными, либо комплексными числами. В первом случае они расположены на действительной оси, а во втором образуют комплексно-сопряженные пары. Нули могут быть расположены в любой точке плоскости г, полюсы же — только внутри круга единичного радиуса. Зто условие вытекает из требования устойчивости цепи; при рассмотрении поведения передаточной функции на плоскости р условие устойчивости требует расположения полюсов в левой полуплоскости. Как отмечалось выше, левая полуплоскость р отображается внутрь единичного круга на плоскости г.
Для перехода от функции К (г) к функции К» ((»о) следует, как это вытекает из (12.18), приравнять г = е'иг (о = 0). Таким образом, На окружности единичного радиуса (г =- е!"т), выражение (12.37) пере- ходит в — ! выт тл К(е "т)=Кт((соТ)= ч ПЯТ)е (12.39) !2.8. ПРИМЕРЫ АНАЛИЗА ЦИФРОВЫХ ФИЛЪТРОВ 1. ТРАНСВЕРСАЛЬНЫП ФИЛЬТР ПЕРВОГО ПОРЯДКА (рис. 12.12) Разиостное уравнение подобного фильтра в соответствии с выражениями (!2.1) имеет вид ааы„(тТ) =и„з(тТ) — и, з((т — 1) Т), а импульсная характеристика представляет собой пару импульсов: д, (!) = а (О) б (!) + а (Т) б (! — Т) = =- и„б (!) + и, 6 (! — Т). (12. 40) (12.41) Передаточная функция в соответствии с (!2.9) принимает вид Кт (р) =- ио+ а, е — ат (12.42) а при представлении на г-плоскости К (г) = и, — ' и, г — ' = (ив г — и,) !г. (12,42') а(с) Ю 2тт а> ар пят Рис.
!2.!3. Расположение нулей передаточной функции (а) н АЧХ (6) фильтра, представленно. го на рис. !2.!2, при положительных коэффипнентах о1 Рис. 12.12. Трансверсальный фильтр первого порядка А!асштабный коэффициент ив можно без ограничения общности приравнять единице.' На г-плоскости функция К (г) обращается в нуль в точке г, — и, (рнс, !2.!3, и). Для определения АЧХ фильтра подставим в (12.42) г — ' = е "т = = соя ыТ вЂ” 1 з!и ыТ и найдем модуль функции К (е'"т): АЧХ =~К(еввт)~ =!1 —, и,е-тнт(=!1+и,гозсоТ вЂ” !а, я!псоТ(= = )т) - и', ! 2и, сов ыТ. (12.43) Результаты вычислений АЧ Х для и, = 0,5 и 1 представлены графически на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
