Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986) (1095423), страница 81
Текст из файла (страница 81)
о «=о (при четном Л7). Полученное выражение называется д и с к р е т и ы и и р е о б р азова н нем Фурье(ДПФ). Аргументы пЛо«и лТ обычно обозначаются просто и и 77. Поэтому ДПФ' можно записывать в форме ти — п7г л и ! и = О, ~ 1,..., *й7 2. 112.13) Ь(л) = ~' э(л) е «=а О Тс а м, си (7Т «Т гг7Т йг2о гг Рпс. !2.7.
Дискретилаиин сигнала ио времени и по сиектрти е! коптннтлльнмй сигнал кп! н его спектр Э(кг7! б! лнсьршнкоааннмй сигнал а .(!! и его спектр г шплошной7; и! перналнкескан послелоаателшшсгь 7гг«и с периолпм и и дггш 1$(п!! 358 Выражение (12.!3) можно трактовать как алгоритм вычисления спектральных коэффициентов (8 (и)) по заданным временным отсчетам (з (й)). При четном Ф и действительном а(й) 8(У!2+!) =8*(А! 2 — !), 1=0, 1,..., А!Г2, где 8 (и) — величина, компе лексно-сопряженная 8 (и).
Действительно, подставляя в 8 (и) и = А!72+ ! и учиты- вая, что А! является периодом, получаем 2 8 О Т 6 7 8 л (-Ф(-Э(-2)(-б (Ф Рис. !2.8. Нумерация спектральных коэффици- ентов при четном У ан Л вЂ” ! 8 ( — + !) = ~' х (й) о=о ал к о — ! з(й)е ' =$*( — ' — !), 1=0,1, „, )у 2, ~, 2 о (12.14) н о что и требовалось доказать. Из последнего равенства, в частности, следует, что при ! = 0 Ь (Л!72) =— = 8' (М!2), т. е.
что 8 (У'2) — всегда действительное число. Это справедливо н для 8 (0). На основе доказанных свойств ДПФ картину образования периодической структуры спектра можно пояснить построением, показанным на рис. 12.8 (для 7у' = 8). Амплитудный спектр исходного континуального сигнала представлен на рис. 12.8, а. Весь диапазон разбит на У равных интервалов Лсо. Отсчетные точки на оси частиг расположены в середине каждого из интервалов. На рис.
12.8, б представлено периодическое продолжение спектра. В точке и =- У!2 = 4 5 (4) = 3 ( — 4) — действительное число, в точке и = 5 = М72 + 1 спектральная плотность 8 (5) = 8* (3), а по модулю (8 (5Ц = !5" (3)) и т. д. При и = 8 = !т' начинается новый период последовательности 8 (п), Очевидно, что в пределах одного периода выражение (12.13) можно записывать в форме ен — а — ае ч ! Ю 8(п)= ~' з(й) е и = О, 1,..., л! — 1 . « - о Именно в такой форме в дальнейшем будет записываться ДПФ последовательности А! временных отсчетов. Введем понятие обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ). Используя дуальность прямого и обратного преобразований Фурье, можно, основываясь на выражении (12.14), записать а — еч к — ! Л а(й) чнС ч" Б(п)е, й=0,1,, А! — !.
Для определения постоянного коэффициента С подставим в последнее выражение Я (п) из (12.14): 2л . 2л — ) — пт ') 2 — и« н м (й)=С у ~ ~' 2(л))е ~е и= О т.— а 2л 2 — л!« — «п и — ) и — 1 у С~о(т)~е т == 0 л=. О При л) == и внутренняя сумма обращается в Л), а при любом другом значении т — в нуль (как сумма векторов, концы которых делят окружность единичного радиуса на равные дуги). Следовательно, в правой части остается одно слагаемое Сз (й) Л), нз чего вытекает равенство С = 1)Л). Таким образом, ОДПФ принимает следующую форму: 2л ~ — «и з (й) = — ~' 5 (и) е, 72 = О, 1...., Л) - — 1, ))) лл (12 151 «=о (12.16] р(ш7)= Ч (( — й)т)й(ЛТ), Л >Л„+Л(,.
При Л) (Л)„+ Л)о получается так называемая круговая свертка, Вывод выражения (12.16) аналогичен выводу (2.64) (см. также (!2.3)1. Вне интервала 0((2 ( Л) — ! ОДПФ определяет периодическое продол- жение исходной последовательности 2 (й), показанное на рис. !2.7, в (левая часть). Итак, дискретизованному сигналу (2 (ЛТ)), )2 = 0,1, ..., Л' — 1, соответствует сплошной спектр Ьг (о)) с периодической структурой (рис. !2.7, б). Дискретизованному же спектру Ь (и) соответствует периодическая последовательность сигналов (2 (!ОТ)), повторяемых с периодом Л' (рис. !2.7, в).
Некоторые из свойств непрерывных преобразований Фурье. рассмот. ренных в З 2.8, нетрудно сформулировать также и для ДПФ. 1. Линейность преобразования. Спектр суммы (разности) дискретных сигналов равен сумме (разности) их спектров. 2. Сдвиг дискретного сигнала во времени. Повторяя рассуждения, при- ведшие к выражению (2.57), нетрудно показать, что если сигналу 2 (1), представленному совокупностью отсчетов х (лТ), й = 0,1, ..., Л) — 1.
соответствует ДПФ Ь (пЛО)), то сигналу з (1 — тТ), где т — целое число, соответствует ДПФ е и Ь (л Ло)). Иными словами, сдвиг последователь- ности отсчетов на т интервалов приводит лишь к изменению фазо-частотной 2л характеристики ДПФ на величину —, лл) (теорема запаздывания). 3. Теорема свертки. Если ДПФ Ь (пЛО)) соответствует дискретному сига, налу зг (() = 2', з (лТ) 6 (! — ЛТ), а ДПФ С (пЛО)) — сигналу йг (() .= «=о н — ) = ~' й (лТ)6 (( — ЙТ), то произведению Я (пЛО)) С (пЛо)) соответствует сиг«=- о пал (линейная свертка) 12,5. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА 2-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ АНАЛИЗА ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ И ЦЕПЕЙ При математическом описании дискретных последовательностей, а также дискретных цепей большую роль играет функция еат. Изображении по Лапласу временных процессов, а также передаточные функции цепей, в в которые входит елг, оказываются трансцендентными функциями р, что существенно затрудняет анализ.
Его можно упростить при переходе к новой переменной г, связанной с р соотношением г=спг, р= — 1пг. ! т (!2.17) При такой замене указанные функции от р преобразуются в рациональные функции от переменной г, благодаря чему упрощается представление их на плоскости г.
Преобразование плоскости р = о + мп в плоскость г = х + 1у можно осуществлять с помощью следующих соотношений, связывающих координаты ам оз, какой-либо точки р, на плоскости р с координатами х„у, соответствуюшей точки г, на плоскости г (рис. 12.9): г, =х, + 1у, =- е<о*+ '"' 1г, х, = е' т соз шт Т, у, = е" т з)п от, Т, (! 2.18) В полярных координатах на плоскости г г,=)г,)=)lх~+У',=е"*т, ~й„=агнгт=ш,Т+т2п, (! 2.19) где пт — любое целое число.
На рис, 12.10 представлены отображения некоторых характерных точек и областей "из р-плоскости на г-плоскость. Точка р =- 0 переходит в точку г = 1 на вещественной оси г-плоскости. При движении точки р-плоскости вдоль оси !от (т. е. при и = О) соответствующая ей точка г-плоскости описывает окружность единичного радиуса. Один полный л-11 оборот радиуса-вектора соответствует й изменению частоты ш в интервале гэ шт ( от ( ш, + 2и)Т. т г При движении точки р, вдоль оси йо в пределах от — )оо до 1'о й Т точка г, описывает бесконечно большое число окружностей.
Таким образом, взаимно-однозначное отображение р на г существует только для '7 Гтп ду гу .я о' т'тот йу г 1 о я, а р х, х Рис. 12хк Соотионтеине между координатаии точки на р.плоскости (а) н г-плоскости (б) Рис. 12.10. Отображение точек и об. ластей из р-плоскости иа г-плоскость полосы р-плоскости между ~- и!Т.
Внутри этой полосы левая полуплоскость отображается внутрь единичного круга, Все параллельные полосы такой же ширины соответствуют этому же кругу. Правая полуплоскость р преобразуется во всю г-плоскость, исключая единичный круг. 12.6. г-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ ФУНКЦИИ Основываясь на приведенном в З 2.17 преобразования Лапласадискрет- ного сигнала (см. (2.125)1 и полагая е«т = г, получаем выражение Ь(г)=$т(р)~ 1 = ~ э(й7)г-«, 1о- — 3 « — -- о (12.20) т называемое прямым г-преобразованием (односторонним), Комплексная функция $ (г) определена только для области г, в которой степенной ряд (12.20) сходится.
Условие сходимости: 1з (й))( сг«при любых я ) О, где с) 0 — по- стоянное действительное число, а г, - 0 также действительное число, яв- ляющееся р ад и у сом с х од и м о с т и, зависящим от свойств по- следовательности (з (я)), Й = 0,1, ..., ео. Поскольку (12.20) определяет ряд по отрицательным степеням г, область сходимости включает в себя всю г-плоскость, за исключением круга радиуса г, т. е. данный ряд сходится при г ( )г)«ео.
В случае ограниченной последовательности (з (й)), й = 0,1, ..., У вЂ” 1, в которой только конечное число членов отлично от нуля, для сходи- мости ряда требуется, чтобы 1г (я)1 ( ео, 0 ( /г Лг — 1. При этом г может принимать все значения за исключением г = О. Найдем функцию $ (г) и радиус сходимости для некоторых простых вре- менных функций э; (1). 1. Последовательность отсчетов из сигнала з (1) = 1, 1=» О. В этом случае з (АТ) = 1, й = 0,1, 2, ..., ео, и в соответствии с (12.20) О $(г)= т 5(яТ)г =Ъ г «= = ° (12.21) ам -с- -1 г-~ — г 1 «=о «=о Нуль функции 3 (г) в точке г, = О, полюс в точке г„= 1. Радиус сходимо- сти т, = 1; функция сходится при (г~ ') 1. 2.
Последовательность отсчетов из сигнала з (1) =- е "', 1 > О. В этом случае з ((гТ) = е '«т и тм-тт' "' '-то " '«=в ,еаза 1 — е ат г-' «-о «-о (! 2.22) г — е Нульг =О, полюсг„=е "т; т,=е т, 1г~)е "т. 3. Последовательность отсчетов из сигнала з(Г) = а ', 1.) О, а < 1. В этом случае з (яТ) = а"т и О> 8(г)= ~~' а"'тг — '= ~~ (а"тг — «)«= = †. (12.23) от «, чт «=о «=о а»г а> а(»Т) о«»г 6 Ф Рис. 12.! 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
