Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986) (1095423), страница 83
Текст из файла (страница 83)
!2.!3, б, Аналогичные построения для и, 0 представлены иа рис. 12.14. Рис. 12.14. То же, ято на рис. 12.13, прн отрицательных коэфициентах а~ Ю 2гг .) бд ФТ Фазо-частотная характеристика фильтра <р(гоТ) = — агс1д 1 1-~-о~ соэ ФТ (12.44) (12. 44') ~р (гоТ) = и!2 — оэТг2, О ( отТ ( 2п. 2. РЕКУРСИВНЪ|И ФИЛЬТР ПЕРВОГО ПОРЯДКА (рис 12.151 Разностное уравнение в данном случае имеет вид хв,х (тТ) = з (тТ) + Ь, х„„)(т — 1) Т), (12. 45) а импульсная характеристика йг(Г)=б(1) )-Ь! 6(1 — Т)-ь Ь', б(1 — 2Т) — ' = ~" Ь,б(Г -ЬТ), д(ЬТ)=Ь,".
(12.46) а(ту Ю Т 2Т ЮТ 4ТбТ 1 Рис. 12,15. Рекурсивный фильтр первого порядка Рис. 12.!6. Импульсная характеристика рекурсивного фильтра первого порядка при положительном (а) н отрицательном (б) коэффициентах Ь, Вне частотного интервала О к-' ФТ ( 2п характеристики должны быть продолжены периодически. Из рис. ! 2.13, б и 12.14, б видно, что прн а,= 1 фильтр можно использовать для подавления колебаний с частотами, близкими к гоТ = и, а при а, = — 1 — близкими к гоТ =- О и 2л. Подобные фильтры часто называют гребенчатыми режекторными фильтрами. Заметим, что при а, = — 1 фазо-частотная характеристика линейна: Рис. !2,!7. Анилитуано.частот. Iгг нме характеристики рекур- т0 сивното фильтра (рис.
рви з) 8 0,т 02 08 00 00 00 07 08 вт/и, Это выражение получается последовательным обходом кольца обратной связи. Импульсная характеристика при Ь, ) О показана на рис. 12.16, а, при Ь, к Π— на рнс. 12.16, б. При любом знаке Ь, для устойчивости цепи должно выполняться условие ( Ь, ((! (см. пояснения к (12.33)1. Передаточная функция определяется по формуле (12.30): ! е К (г) = ! — Ь|а т г — Ь~ (! 2.47) Эту же функцию можно представить в форме геометрической прогрессии К(г)аа 1+ Ь,г-т+Ь(г-е+ .. (12.47') ОГ(()еа в' Е ""тб(à — йТ) = Е о' ~~ б(7 — 'НТ), е=о а=о (!2,50) Но это выражение есть не что иное, как результат дискретизации экспоненты е "г с шагом Т (см.
(2.!22)1. Таким образом, приходим к заключению, что збн которую можно также получить, применив преобразование Лапласа к выражению (12.46) с последующей подстановкой е — '"ат = г ". На г-плоскости функция К (г) имеет один полюс в точке гв = Ь,, Амплитудно-частотная характеристика рассматриваемого фильтра !' ! — Ь, е ' !! — Ь, (со~ о~Т - ~ и!иь1Т) ! (12,48) 1/1, Ь;- — 2Ь, соь иТ существенно зависит от знака весового коэффициента Ь,.
Форма АЧХ при нескольких значениях (Ь,! показана на рис. 12,!7. При Ь, -. О получается гребенчатый фильтр, выделяющий частоты <оТ =. О, 2л'Т, 4п)Т, ..., а при Ь, ~ Π— частоты соТ = и, Зп, 5п и т.д. С приближением !Ь,~ к единице полоса прозрачности фильтра уменьшается, а усиление резко возрастает. Фазо-частотная характеристика рассматриваемого фильтра в( «оТ) - -агс(и Ь, кщмТ (12.49) ! — Ь, соь мТ Сопоставим выражение (12.47) с (!2.22). Видно, что (12.47) есть гпреобразованне экспоненты, отвечающей условию е " = Ь,.
Следовательно, выражение (!2.46) можно записать в форме !7 !т/2 я 3!т/2 Ф Г Рис, !2.!3. Амплитудно-частотные характеристики пнфровой [сплошная линия) н аиа. до~овей (тптриховая) Ггйчсепей при йС/Т 3 дискретная импульсная характеристика йт (!) цепи, представленной иа рис. 12.15, совпадает с последовательностью отсчетов импульсной характеристики д (1) аналоговой цепи (например РС-пепи), постоянная времени которой !7а = РС отвечает условию — г б -туяс „и РС ТГГ, (! иб ! При атом, однако, АЧХ цепей сушественно различны. Для дискретной цепи АЧХ определяется формулой (12.48). а для аналоговой РС-цепи — выражением ! ! К яс (о>РС)— 1/Г+Оа!7С)т 1/ ! и-(Лсст)'! ТР ' На рис.
12.18 АЧХ дискретной цепи (нормированная по максимальному значению) сравнивается с АЧХ аналоговой РС-цепи при РОТ = 5 (чему соответствует б, = 0,83). На участке 0 ( ФТ «- и обе кривые почти совпадают (при РС г Т), а на участке л =' !оТ( 2п хоа АЧХ Кг обусловлен периодической структурой дискретного фильтра. 3. ТРАНСВЕРСАЛЪНЫРГ ФИЛЬТР ВТОРОГО НОРЯДКА (рис.
!2.Г9) Разностное уравнение фильтра [см. (12.1)1 имеет вид з,„,(тТ) =паз(тТ)+паз((т — 1) Т) а з((т = 2) Т1, а импульсная характеристика ят (1) =- пвб (1) + а18 (! — Т) -!- ая б (1 — 2Т). Передаточная функция в соответствии с (12.9) К(г) =па 4 а,г-' — 'ияг — '= (пег' Р а, г ' ае)!гт. (12.51) Как и в предыдуших примерах, положим аа = 1. Функция К (г) имеет нули в точках е ! / ! го .и = — и! '+' 1/ 17/ 4 Двухкратный полюс, расположенный в точке г„= О, не влияет на поведение передаточной функции на г-плоскости. 370 8Ф Рис.
12.!9, Трансаерсальнмй фильтр нторого поракка !о) и положение нулей на а.плос- кости !61 Особый интерес представляет случай аа = 1 н ) а, ) = 2, когда Г Г т 11~ ' ! т о~ и, Модуль этого выражения равен единице, так что комплексно-сопряженные нули га, и гаа лежат на окружности единичного радиуса (рис. 12.19, б). Амплитудно-частотная характеристика подобного фильтра легко определяется нз выражения (12,51) при подстановке а„= а, = 1 и г — ' = е '": ~ К(еамт) ~ ) ! 1 а е. !мт ~„,е-!тот! (12,521 Домножив правую часть этого выражения на )е! 7) = 1, получим АЧХ = !е™+а, 1-е — олт) = ! 2соз!оТ+а,).
(12.52') Изменением коэффициента а, можно перемещать нули кот и гаа по окружности единичного радиуса, что равносильно перемещению. нулей на оси частот. В частности, при а, = — 2 получается двухкратный нуль в точке г =- 1. При этом АЧХ принимает следующий вид: АЧХ =- 2)соз оаТ вЂ” Ц = 4 з!па (тоТ!2) (12.53) График этой функции, представленный на рис. 12.20 сплошной линией, соответствует широко распространенному в практике режекторному фильтру второго порядка с бесконечно большим затуханием на частоте еТ = 0 (е™т~1), г!повит-г)- При а, = — $'2 нули г=(1/)Г2) м ~ (1~ !)=ел !""т от Т = 45' (см. рис.
l 12.19. б). Соответствующая АЧХ изображена на рис. 12.20 (штрнховая линия). Сопоставим выражение (12.52) в част- т /2(соааат- — 71ч, ном случае а, = — 2 / ! К (етмг) ! ) ! 2е — мг4 е — !ты! а!г с аналогичным выражением (12.43) при Рис. !2,20. Амплитулно-частот.
т пан характеристика фильтра 1 1 (рис, 12.19, о) при а,=1, 1К (е!ь'а) ! = ) 1 — е — !ь'!.! от=1 н п~= — 2 ада Ф 2 371 4. РекуРсиВныЙ Филь! Р ВТОРОГО ИОРядкл !Рис. !2 2!) Передаточную функцию запишем сначала в форме К(г) 1/ — (!Ь„г ' — Ьаг е)=га((г' — Ь,г — Ь)= — ге/(г — г„)(г — г»е), (12.54) соответствующей случаю а„= 1, а! = О, а, = О, когда нули передаточной функции (в данном саучае двухкратный нуль) имеются только в точке г = О, т. е.
в центре окружности единичного радиуса, Корни уравнения г' — Ь,г — Ь, = О (полюсы) гпие = 5!/2 -!- 1' Ьт/4+ Ье. (12.55) При Ь, ( О и, кроме того, !Ьа~ ) Ь|/4 полюсы гги и гпе — комплексно-сопряженные числа: гги =Ь,/2 +1 )г )Ь,) — Ь,'(4, гв,=г„"!. В этом случае (г — г»,) (г — г„,) = ге — 2 Ке (г„. е) г + (г„е !а, откуда вытекают следующие соотношения между коэффициентами полинома в (12.54) и полюсами: Ь! =2 ое(гп!.а) ба = !гака! . Представив гп,л в форме и пг * ме» г„ал — (гиа,~е ''и =ге (!2.56! где г .= !гв!..) — расстояние полюса от начала координат, а азимут полюса (рис.
12.22), получим Ь, = 2г соь'«г»7'. Ье= — ге. и» = с,!»7— ( ! 2. 57) в (!2.54) Для определения АЧ Х рассматриваемой пепи подставим г — е"'г и возьмем модуль ~ К !е"'г) ~ =К! («н = 1,1(еввг — ге'к'» '! (епег — ге "'" ) (. (12.58) а/г) Рис. !2.2!. Рекурсивный иифроиой фильтр второго порядка Рис. 12.22. 1!оложение полюсов иифрового фнльт. ра на а.плоскости Очевидна, что режекторный фильтр второго порядка можно реализовать каскадным соединением двух фильтров первого порядка. Очевидно также, что ФЧХ подобного фильтра линейна и может быть получена удвоением правой части формулы (12.44').
Рис. ) 2.23. Амплитулно-частот- ЛГ иые характеристики рекурсии. ного фильтра второго порялка (рис. )2.2)) при аз= ). а, О и а,=п Д/2 гг . 2п При заданном положении полюсов (т. е. при заданных г и гоп Т) АЧХ удобно строить по формуле (12.38), измеряя гс„! и )с„з по чертежу. В данном случае для упрощения вычислений используем формулу (12.58) для частного случая а>пТ = 90"'. При этом выражение (12.58) легко приводится к виду (! 2.59) Кг (<о) = 1,') 1 -, '2га соч 2гпТ+ г'. Графики фуниции Кт (го) для г =- 0,75; 0,875 и 0,9375 представлены иа рис. 12.23. С приближением г к единице рассматриваемая пепь приближается к резонатору с весьма высокой добротностью.
При этом, однако, возникает опасность потери устойчивости. Рассмотрим передаточную функцию второго порядка более общего вида, соответствую!цую схеме иа рис. 12.2): на+ага +от~ ! лн) ( — ~яя) ( ) () ! ) (12 50) ) — Ь 7 Ьвг (1 т, )(3 —.зм] Как указывалось в 212 5 !см. формулу (12.12) и пояснение к ней!, фильтр с передаточной функцией (12.60) можно трактовать как каскадное соединение нерекурсивного фильтра (с передаточной функцией иг (г)) и рекурсивного (с передаточной функцией ))т (г)).
Такое сочетание можно использовать, в частности, в режекторном фильтре, рассмотренном в п.! и дополненном обратными связями для выравнивания АЧХ в полосе прозрачности фильтра. На рис. 12.24 показаны график функции (пг (озТ)(, перенесенный с рис. 12.20 (при ов = аа = 1, а! = — 2), график функции $т (озТ)( при коэффициентах (з, = 0.2!875 и Ьз 0,4375, а также результирующая АЧХ. Рис. )2.24.
Амплнтулно.частотные характеристики рекурсивного звена с прямыми связямн (Ц, звенв с обратными связя. ми (!!) и инфрового фильтра н ае.том )) Зуэ 12.9. ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬ'!'РЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ВЕСОВЫМИ КОЭФФИЦИЕНТА>МИ Переход от действительных весовых коэффициентов к комплексным придает фильтрам новые свойства, важные для обработки ксвнплекгных сигналов.
Для выяснения сути дела обратимся к простому рекурсивному фильтру первого порядка с передаточной функцией (12.47) и подставим в это выраже- н» 'г. ние вместо Ь, комплексный коэффициент Ь, = Ь, н- >Ьв вв ге К(г)=.11(1 — Ь, г->) =1>(1 — гвг-') = г (2 — гн), (12.61) где г„=- Ь, = гегы — единственный полюс, который может быть расположен в любой точке внутри единичного круга г(! (условие устойчивости). Угол н>„Т может быть любым в интервале от — и до хс Сигнал на входе фильтра зададим в виде последовательности отсчетов (з (и)), взятых из соответствующего комплексного контииуального сигнала з (() = з, (г) + гз, (().
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
