Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986) (1095423), страница 80
Текст из файла (страница 80)
(12.! ) Коэффициенты а, (»весовые коэффициенты» фильтра) — действительные постоянные числа; Н вЂ” максимальное число запоминаемых чисел. Начиная с момента 1 = 0 выходные числа в моменты 1 = О, Т, 2Т, ... будут определяться выражениями з,м„(0) = арз(0), »',м,(Т) = а»э(Т)+а,з(0), з,и„(2Т) =-а, з(2Т)+ а, з(Т)+а,з(0), з,„„(тТ) =аеэ(тТ)+а,з[(т — 1) Т)+а» з [(т — 2) Т)+ ... + -[- ан з Ит — Н) Т), Приведенные соотношения обобщаются выражением з»„„(тТ) = ~, а» з [(т — Й) Т), т (Н, (12.2) Алгоритм (12.2) реализуется схемой, представленной на рис. 12.2, на котором Т означает элемент памяти, иногда для краткости называемый задержкой. Величина задержки совпадает с темпом поступления отсчетов сигнала.
Из общего описания цифрового фильтра, приведенного в предыдущем параграфе, ясно, что эффект задержки достигается вводом и выводом чисел из двоичных элементов (триггеров) синхронно с работой электронного ключа. Непосредственно из схемы на рис. 12.2 вытекает, что при подаче на вход фильтра отсчета з (0) = 1 (единичный импульс) на выходе сумматора возникает последовательность чисел, имеющая смысл импульсной характеристики цифрового фильтра (рис. !2,3). В дальнейшем импульсная характеристика будет обозначаться через д (йТ).
!2 за». !3»6 Рис. 12.2. дискретный фильтр Рис. !2.3. Импульсная характеристика дискретного фильтра у(«/ аа ая а г гт йт нт т «,„х(тТ вЂ” МТ). (1 2.4) Принципиальное различие между трансверсальным н рекурсивным фильтрами заключается в „Ю свойствах их импульсных характеристик.
В первом случае импульсная характеристика содержит конечное число отсчетов (не превышающее Н), а во втором благодаря обратной связи число отсчетов теоретически бесконечно велико, В связи с этим трансверсальные фильтры иногда называют КИХ-фильтрами, а рекурсивные— Цифровой фильтр с обратиымн БИХ-фильтрами. 3 Рис. 12.4 связями Для схемы на рнс. 12.2 числа д (ЬТ) совпадают с весовыми коэффициентами фильтра аа. Запишем выражение (12.2) в форме «,„,(тТ) = з «[(и — Ь)7[у(ЙТ) =- ~; «(мТ)у[(лг — Ф)Т[, (12.3) в=е а=о Выражение (12.3) является дискретным эквивалентом интегральной свертки (см.
2 6.3), используемой прн анализе прохождения континуальных сигналов в аналоговых цепях. Представленную на рнс. 12.3 импульсную характеристику уг (!) можно трактовать как результат дискретизации с шагом Т континуальной импульсной характеристики соответствующего аналогового фильтра.
Сигнал, выделяемый на выходе синтезирующего фильтра в схеме на рнс. 12.2, совпадает с сигналом на выходе указанного аналогового фильтра. Представленный на рнс. 12.2 фильтр иногда называют трансверсальным (поперечным). Возможности фильтра значительно расширяются при введении цепей обратной связи (рис. 12.4). При наличии обратных связей значение сигнала на выходе сумматора в любой момент времени тТ зависит не только от Н отсчетов входного сигнала, но и от некоторого количества отсчетов выходного сигнала в предшестеуюм4ие моменагм. Подобные фильтры называются р е к у р с и в н ы м и. Для такого фильтра разностное уравнение (12.1) следует заменить более общим уравнением, учитывающим обратные связи с весовыми коэффициентами Ь„ Ь„..., Ь,: « „(тТ) =-а «(тТ)+аз«(тТ вЂ” 7)+ав«(т7 — 2Т)+ „,+ +агг «(агТ вЂ” НТ)+ Ьз«вых (птТ вЂ” Т)+Ьв«вых (гпТ вЂ” 27)+ ...
+ +Ьм 12.3. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ЦИФРОВОГО ФИЛЬТРА Дискретный сигнал, действующий на входе цифрового фильтра, удобно представлять в форме, аналогичной (2.!22), но с учетом начального условия з (йТ) = О при й - О: О зт(Г) = '~', з(йТ) 6(à — йТ). о-о Соответственно изображение, по Лапласу будет [см. (2.125)) Г. [зт (Г)) = ч~г~ з (йТ) е — вот. (12.5) Нетрудно составить аналогичное выражение для дискретного сигнала на выходе фильтра. В случае трансверсального фильтра результирующий сигнал на выходе сумматора можно записать в виде суммы зт (Г) =аозт(Г)+агат(à — Т!+ .. + анзт(à — НТ). Применив к этому выражению преобразование Лапласа, с учетом теоремы смещения получим Г.
[отвыв! =- 8твых (Р) = 8т (Р) ~ч', ад е- "т. Передаточную функцию цифрового фильтра в общем виде определим отношением Кт (р) = 8т.. (р)!8т(р). (12.6) Для трансверсального фильтра это отношение будет К т (р) = а о+ а, е — Рт+ аг е — вот+,. + аи е-Рнт (12.7) Заметим, что выражение (12.7) можно также получить, применив преобразование Лапласа непосредственно к импульсной характеристике и (йТ), представив ее в форме йт(!) =- ~чг~ а„б(г — йТ).
Действительно, 7 [ат(Г)[=по+а,е в~+ах е-вот+ ..+ане вит =Кт(Р). (12 8) Итак, импульсная характеристика и передаточная функция цифрового фильтра, как и в случае аналогового фильтра, связаны между собой преобразованиями Лапласа и Фурье. Подставив в (12.7) р = Гог, получим передаточную функцию на осн частот н Кт(йо) = ~ а„е — и т (12,9) о=о Сопоставление выражений (12.9) и (2 !24) показывает, что передаточная функция цифрового фильтра Кт (Гог), как н спектры 8т (ог), 8т,„, (ог), имеют периодическую структуру с периодом (на оси частот), равным 2пГТ. 12в вгГаг! -аама х г )" к агт т Рис, !р.об, Амплитудно-частотная хррактеристика дискретного фильтра Следовательно, передаточную функцию дискретного фильтра наряду с с (12.9) можно записать также в форме (12.10) где К,„(1го) — передаточная функция аналогового фильтра, обладающего импульсной характеристикой д (1), которая соответствует дискретной характеРистике дг (1) (см.
замечание в конЦе пРеДыДУЩего паРагРафа). Выражение (12.10) аналогично выражению (2.!23). Если шаг Т мал по сравнению с протяженностью функции аг (1) или, что то же самое, частота повторения н, =- 2и~Т больше полосы прозрачности фильтра, то частотные характеристики, соответствующие разным значениям и, не перекрываются. В этом случае на центральном участке — от,12 ( го ( нг12, т. е. при п = О, характеристики Кт (1го) и Каи (1го) полностью совпадают. Это иллюстрируется рис. 12.5. для дискретного фильтра нижних частот при воздействии гармонического колебания э (1) = Ар соз отр! со спектральной плотностью пАр [б (ат — отр) + 6 (от + гор)1 1см. (2.98)).
Сплошными линиями показан спектр до дискретизации, а штриховыми — периодическое продолжение этого спектра. Амплитудно-частотная характеристика фильтра в центральном интервале показана также сплошной линией. После обратного преобразования дискретного сигнала ьг,м, (1) в континуальный сигнал э„ы„(1) (с помощью СФ, см. рис. 12.2) только этот частотный интервал и определяет спектральный состав выходного сигнала.
Следует подчеркнуть важность этого заключения. По существу оио означает, что определение передаточной функции дискретного фильтра как отношения Ьт,„х (го)18г (го) можно распространить и на отношение 8 (Т,м,(от)1 !$ (ат). Иньгми словами, выражение (12.8) можно трактовать как передаточную функцию дискретного фильтра в целом с учетом как процесса дискретизации сигнала э (1) на входе, так и восстановления континуальной формы з,„, (1) на выходе устройства. Определим теперь передаточную функцию рекурсивного цифрового фильтра. Повторяя рассуждения, приведшие к формуле (12.7), и учитывая разностное уравнение (12А), приходим к следующему уравнению: Бг ык (1) = а, эт (1) + а, эг (1 — Т ! + аа эг (! — 2Т) + ... + +анэг1,1 — НТ)+Ьтэг,„к(1 — Т)+Ьтвр,,(1 — 2Т)+ ..
+ + Ьм агами (! — МТ), Применив к этому уравнению преобразование Лапласа, получим Ятем,(р) =Ът(Р) (а,-„а, е — рт+аее-и'7+ ...+ане-Рнт) +атем, (р)(Ь, е — лг-)-Ьее гггт г +Ьм е рмт) откуда следует, что е — От+и е — Огг, ! 77 е — Рнт Кт(Р)— Рт 7г е — Р2т Š— Рмт — — л,е (12.1! ) н ест (Р) = ~' а, е -л«" «Р и второго с передаточной функцией .и .7 ((т(Р) = 1 — ~ Ь«е-7'«7~ «=) Таким образом, Кт (Р) от (Р) (!т (Р). Перейдя от переменной Р к Ло, запишем передаточную функцию рекурсивного фильтра и — гнггт гг«е Кт (7(о) = «=-е = и Т ( 77 71 () т (го 7) Лг — ь«е «=~ (! 2.12) Такому представлению соответствует каноническая схема иа рис. 12.6.
Каждый элемент памяти Т а этой схеме используется как для цепи прямой связи (с весовым коэффициентом а,), так и для цепи обратной связи (с весовым коэффициентом /7„). Поэтому общее число элементов памяти Т вдвое меньше, чем в схеме на рис. 12.4. Легко убедиться, что разностные уравнения (12.4) справедливы и для канонической схемы. гетра а(ту Рис.
12.6. Каноническая схема цифрового рекурсивного фильтра 357 Здесь Н вЂ” число суммируемых предшествующих вкодногк, а М— предшествующих выходных отсчетов, Полученную функцию можно трактовать как передаточную функцию каскадного соединения двух фильтров: одного с передаточной функцией 12.4. ХАРАКТЕРИСТИКИ ЦИФРОВЫХ СИ!'НАЛОВ В ~ 2.17 было показано, что спектральная плотность Ьт (ог) дискретизованного по времени сигнала э (!) имеет периодическую структуру с периодом на оси частот ы, = 2п!Т (рис.
12.7, б). Как и спектр Я (от) исходного (континуального) сигнала (рис. 12,7, а), $7 (ог) — сплошной спектр. Между тем для осуществления цифровой обработки требуется дискретизация сигнала не только во временнбй, но и в частотной области. Это означает, что сплошной спектр Ът (от) должен быть представлен совокупностью своих значений Вг (аЛот) на дискретных частотах о! = пЛог. Подобный спектр, показанный на рис. !2.7, в, получается из сплошного спектра Вг (ог) при периодическом повторении последовательности (з (ЙТ)) с периодом Тс = = !«)Т. В соответствии с й 2.7 интервал между соседними спектральными линиями Лог = 2п! Те = 2пу)г)Т. Обращаясь к выражению (2.124) Вг (ы) ° ~' в (йТ! е-'о'«' «=о и подставляя ы =, пЛог, получаем следующее соотношение: ги а..! ! — г' — н« Ь Вг(пЛгп) = ~' э(йТ) е ы"нны = к' э(ЙТ) е, и=О, +-1... 7-7«',2 «.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
