Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986) (1095423), страница 76
Текст из файла (страница 76)
11.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СПЕКТРА СЛУЧАИНОГО ПРОЦЕССА В БЕЗЫНЕРЦИОННОМ НЕЛИНЕИНОМ ЭЛЕМЕНТЕ Прямое определение энергетического спектра выходного процесса по известному спектру на входе нелинейного элемента не представляется возможным. Единственный путь — это определение корреляционной функции с последующим применением преобразования Фурье. 332 Рнс. 11тй Платность вероятностн случайного процесса на входе (а) н выходе (б) однополупернадного детектора Рнс. 11.7. Плотность вероятностн случайного процесса на входе (а) н выходе (б) ограничителя К„(т) =М(у! у!+,) =М (1(х,) ~«ха+ )), (11.9) где х, и х,+, — значениях (1) в моменты времени ! и!+ т;у, ну,+, — соответствующие им значения у иа выходе нелинейного элемента, Для усреднения произведения )' (х,) ! (х...) должна быть известна двумерная плотность вероятности входного процесса р (хп х...). Если эта плотность вероятности известна, то ковариационную функцию можно представить в виде следующего выражения: Кн (т) = ( ( г (х,) г (хД р (х„х,) Нха а(ха, «1!.!0) где для удобства записи через х, и х, обозначены соответственно хп х,+,, Этот интеграл удается вычислить далеко не во всех практически важных задачах.
В связи с этим часто приходится прибегать к различным обходным способам, один из которых будет приведен далее. В качестве примера задачи, достаточно интересной для практики и доступной для решения прямым методом, рассмотрим воздействие стационарного гауссовского процесса х (!) на нелинейный элемент с квадратичной характеристикой у = пах' (см. З !1.2, п.1). Двумерная плотность вероятности процесса х (!) равна ' ! ! х', +хаа — 2гх, ка1 р(х„х,)=,, ехр 2ло„' )г ! — г ~ 2оа «! — га) «11.11) где г — коэффициент корреляции величин х, и х„т. е.
г = г, (т). Подставив выражение (11.! 1), а также )' (х) = паха в (11.10), получим Ю О ааа Г Р а а ~ к';+Х',— 2гх,Ха1 К„(т) =- ', З! ) х! ха ехР— ' ', а(х,а(ха = 2лоа )г ! — га 2оа «1 — га) а с 2ло' 1г' 1 — га д ~ 2о, '«! — га) ( Ю ха — 2гх, ха 1 Н "г~ ' ае)а,. 2оа «! — га) ~ (! !.!2) Интеграл в фигурных скобках легко вычислить, дополнив выражение х3 — 2гх,х, до квадрата разности х, '— 2гх,ха = (х, — гх,)' — г'х; и заменив переменную х, — гх, = г: ~ 2о„«! — г) ~ = ехр "' Ц' 2л о,'(1 — г )'/а+ 0-)- 1/2л о„)/1 — г' г' х!1, 2оа «! — г'! ) а См., напрнмер, 1!3, !41 ЗЗЗ Если на входе нелинейного элемента с характеристикой у = ~ (х) действует стационарный процесс х (1), то ковариационная функция на выходе может быть представлена в форме Подставляя этот результат в (11.12), получаем ая Кэ(т)= '* и,'(! — г') ~ х[е "/""Их,+ 2П Ох М Далее определяем -",/тах,[х, )/.2п з ~ [ е-",/2ак,(х, [/.2 †„ 3 ь Таким образом, Кэ (т) =- а3 и'„[(! — гз) + Згт[ = а $ и, '+ 2а 3 и,' г„' (т) = = а$ и„'+ 2а3 К (т), (1! .13) Здесь использовано известное соотношение г„(т) = /т„(т)/и„' [при М (х) =О[, Особый интерес представляет воздействие узкополосного случайного процесса на нелинейный элемент (задача детектирования).
Представляя корреляционную функцию узкополосного процесса в форме (4.76) и учитывая, что й',(т) =а[ го(т) ['/з+'/асоз 2ы т), где г, — огибающая корреляционной функции узкополосного процесса, записываем выражение (1.13) в окончательном виде К„(т) = а3 п1 + аз а„' гз (т) + а3 о, г3 (т) соз 2ы, т. (11.15) Применяя затем преобразование Фурье, получаем общее выражение для спекз ра процесса на выходе квадратичного элемента (при гауссовском процессе на входе) [Уэ(ы) =а$ и„" 2иб (ь) +а[ а,' ) г3 (т) е — '""пт+ -1-афп4 $ г1(т)соз(2ы т)е — 'я'дт=%'„,(о>)+[[г„„(а)+%',„(со), (!1.!б) Первое слагаемое (дискретное) соответствует постоянной составляющей выходного колебания, второе — низкочастотной флуктуационной составляющей (спектр которой примыкаег к нулевой частоте) и третье — высокочастотной флуктуационной составляющей со спектром, группирующимся вблизи частоты 2ы,.
1!.4. ВОЗДЕИСТВИЕ УЗКОПОЛОСНОГО ШУМА НА АМПЛИТУДНЫЙ ДЕТЕКТОР Амплитудный детектор, содержащий диод и фильтр нижних частот (/тС-цепь), представляет собой сочетание безынерционного нелинейного элемента с инерционной линейной цепью. (!!.17) По формулам (4.71), (4.72) находим: среднее значение! (постоянная составляющая) шумового напряжения У, = М [и,„«(!)) =-М [А (Г)! — — ~/ т~~2 и„= 1,26п„, средний квадрат напряжения М [и,'„„(Г)) = 2о„'. (11.18) (11.19) Отсюда следует, что дисперсия шума на выходе линейного детектора о,'„„= М (и,' „) — У> = 2о,' — — о,' = 0,43а„'-'. 2 (! !.26) Итак„основные параметры шума иа выходе — постоянная составляющая У, и дисперсия а,',„„— просто выражаются через дисперсию а« высокочастотного шума, действующего на входе детектора. Корреляционную функцию и энергетический спектр выходного шума нетрудно вычислить по формулам (4.77), (4.78).
В качестве примера рассмотрим воздействие на линейный детектор шума х (Г), спектр которого определяется выражением [р' («>) — йг [е — а и« вЂ” йв)'+ е — «(и.~-ил') (11.21) 335 Расчленим рассматриваемое устройство на две самостоятельные части: 1) нелинейный элемент; 2) фильтр нижних частот. Изложенные в предыдущих параграфах методы, а также некоторые другие специальные приемы позволяют в принципе найти закон распределения и корреляционную функцию шума сначала на выходе нелинейного элемента (диода), а затем и на выходе фильтра. В общем случае эти исследования требуют весьма громоздких вычислений.
Задачу можно значительно облегчить, если использовать некоторые упрощения, вытекающие из принципа работы реальных устройств. Рассмотрим сначала «линейное> детектирование, т, е. детектирование высокочастотного колебания с достаточно большими амплитудами. В данном случае под таким колебанием подразумевается гауссовский шум (в отсутствие сигнала), сформированный избирательными цепями на входе детектора. Как и при детектировании полезного амплитудно-модулированного колебания можно считать, что напряжение на выходе линейного детектора воспроизводит огибающую амплитуд высокочастотного колебания, в данном случае огибающую шума. Поэтому при линейном детектировании нет необходимосзи рассматривать отдельно статистические характеристики тока диода и напряжения на выходе 1«С-цепи.
Напряжение и„„(!), развиваемое на этой цепи, можно приравнять огибающей шума на входе детектора У (г) (т. е. считать, что коэффициент передачи детектора равен единице). При таком подходе статистические характеристики шума на выходе детектора полностью совпадают с приведенными в 3 4.6 характеристиками огибающей А (г). Таким образом приходим к выводу, что напряжение шума иа выходе линейного детектора обладает рэлеевским распределением а корреляционная функция в соответствии с (4.39) и с учетом [31, см,формулы (3.896.3) и (3.898.4)) ао и (е-и,— 1 .— — "-ш + 1 *- г» .-н 1= е2и ~Ю вЂ” Е-т94" СОЗ О2 т =Ох Š— т*l'" СОЗ Е т.
)у и О к О Тогда Г,(т)=Е тче" (11.22) (11.23) и в соответствии с (4.78) иа„' à — т~ 2 )г'иых (11) = —" 2цб (11)+ — ~ е — тнт" е — птах 4 = — 12пб (й)+ — р'2тих е — "п92). 2 4 (11.24) Слагаемое с дельта-функцией соответствует постоянной составляющей напряжения на выходе детектора. График %',ых (Я) изображен на рис. 11.8, б. Ширина этого спектра в )У2 раз больше ширины спектра )й"„(о2) на входе детектора (рис. 11.8, а). Линейный амплитудный детектор воспроизводит огибающую узкополосного колебания независимо от особенностей структуры его спектра. Полученный результат свидетельствует о том, что огибающая каждой из реализаций рассматриваемого шума (на входе детектора) обладает спектром более широким, чем частотная полоса самой реализации.
На первый взгляд это может показаться странным, поскольку известно, что для модулированного колебания ширина спектра огибающей либо совпадает с шириной спектра самого колебания (при АМ), либо уже его (при ЧМ). Это кажущееся противоречие легко устраняется, если принять во внимание полную корреляцию между колебаниями нижних и верхних боковых частот при модуляции. Достаточно нарушить, например, симметрию амплитуд или фаз боковых частот при АМ, чтобы сумма трех колебаний с частотами е2„гоа + й и о2е — х) представляла собой колебание, огибающая которого содержит помимо частаты аа еще и частоты 2 й, Зй и т.
д. В этом случае амплитудный детектор выделит на выходе колебание, спектр которого будет шире, чем полоса частот высокочастотного колебания на входе. В 14гх спектре же шума нет никакой корреляции ! 1 ц2 (и тем более симметрии) между спектральными составляющими, частоты которых 1 расположены слева и справа от централь-го д а го е2 ной частоты го . Естественно, что огибаюд ее щая каждой из реализаций шума обладает спектром более широким, чем модулироггв'и 2 Э ванное колебание с той же шириной спектра.
Соответственно увеличивается и средняя ширина спектра огибающей шума, а т. е. спектр огибающей. Рассмотрим теперь воздействие гаусрис. 1КЗ. Эиергетический совского шума на квадратичный детектор. входе (а) и выходе (б) ампли- В данном случае напряжение на выходе тудиого детектора детектора с учетом отфильтровывания вы- 336 сокочастотной составляющей шума по аналогии с выражением (8.55) можно представить в форме ивыв 1/) = КА' (1)/2, (11.25) где К вЂ” коэффициент, учитывающий параметр вольт-амперной характеристики диода ав н сопротивление нагрузки на выходе детектора.
Применяя формулу (11,3), в которой под р (х) следует подразумевать плотность вероятности огибающей А (/), находим закон распределения шумового напряжения на выходе квадратичного детектора Р!и ) — р/К ! — — е '' к — е вых/ А' ! р (А) А — л*/авкв ! — и /кв„'в ~ ~"вим~ ок ДА /~акв аА (!!.26) Итак, при воздействии на квадратичный детектор с фильтром нижних частот узкополосного гауссовского процесса шум на выходе всего устройства имеет экспоненциальное распределение. Вычислим среднее значение выходного напряжения Ю М [и„„(1)) =~ и,„„р (и,„,) Ни,„„= о — и „, е ' "ди „,=Ко„ вых к о (11.27) а также средний квадрат напряжения М [и,'ык (/)) = ] и;„„р (ивы,) дивы, = о Ю о (11,28) Отсюда следует, что дисперсия шума на выходе и,'„„= М [ив„„(/)) — (М [ивы, (1)))в = 2К' и,' — К' о,' = К и,'. (11.29) Для полного описания свойств шума на выходе квадратичного детектора остается вычислить его корреляционную функцию и энергетический спектр.
Это можно выполнить с помощью формул (! 1.15), (1! .16). Второе слагаемое в выражении (11.15) определяет искомую корреляционную функцию, а второе слагаемое в выражении (!! .! 6) — соответствующий этой функции спектр. При г, (т) = е-'*/'" (см. предыдущий пример) получаем Ю г вы, (и~ -. — В„, (О~.~ В„ ~и~ 4 Ф [2 6 |и> ~. ! ' "' х СЮ х е — 'и' дт = а] и„' ]2иб (11) + ]~ 2аи е "и /~1.
Графики функций %'„(а) и [Р', в (11) по форме совпадают с графиками на рис. 1!.8. Они отличаются только масштабом по оси ординат из-за различия в постоянных коэффициентах [а[о,' вместо ппв/2 перед квадратными скобками в (11.24) и единица вместо 1/4 перед вторым слагаемым!. 11.5. СОВМЕСТНОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ ГАРМОНИЧЕСКОГО СИГНАЛА И ГАУССОВСКОГО ШУМА НА АМПЛИТУДНЫЙ ДЕТЕКТОР При наложении узкополосного шума х (1) = А (/) соз [ого/+ О (/)1 на сигнал з (1) = Е соз ого1 суммарное колебание и (1) = з (1) + х (г) = Е соз ого1+ А (/) соз [ого(+ О (1)! = = [Е + А (1) соз О! соз ог, 1 — А (/) з!и О (1) з!п ог,/ = У (1) соз [ог, 1+ + $ (1)!. (1!.3!) Огибающая У (1) и фаза $ (1) по аналогии с (8.43) и (8.44) определяются вы- ражениями (11.34) Ю У,-И(У)=~ Ур(У) йУ = — ' е- "" ! У'е-'"' 1,~ — ' — "'[йУ. ао г ах ох/ о о и средний квадрат напряжения М [У'(/)! =-~ Уо р (У) г(У = — е / « ~ Уое — гг /~ Х ао о о х 1,( — ' — ")йУ, После вычисления интегралов [16! получаем следующие выражения: Уо —— а„)/ и/2 (1о (Е'/4а":,)+ Ео/2а, '[1о (Е'/4ао)+ 1, (Ео/4а',)!) е в /о'-" =.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
