Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986) (1095423), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Для определения ср вернемся к исходному уравнению (10.17), из которого видно, что в точке ! =- х функция д (/) должна совершать скачок на величину 1/а, (х) (рис. 10.3). Только при этом условии первое слагаемое в уравнении (10.17), т. е. ат (/) с(д/а!й может образовать дельта-функцию 6 (/ — х).
Так как при (( х д (/, х) = О, то в момент / = х д((, х) (!.=,—- 1/ат(х). (1О. 2 1) Заменяя в выражении (!0.19) неопределенный интеграл определенным с переменным верхним пределом, получаем у((, х) =ср(х) ехр — ! Р(и) с(и = — ехр — ! — "|(и . (10.22) а,(.) о, (и) х х Г (/) '= Ге/( ! -1- |и 5|п ьас! (1О. 23) н с постоянной емкостью С„. Под 6 (/ — х) подразумевается импульс ЭДС, а в качестве определяемой функции д (/, х) выберем заряд конденсатора |7 (/). Тогда уравнение цепи в соответствии с (10.17) и (10.23) можно записать в форме |е |(Ч вЂ” + — |/ — 6 (/ — х). 1+я! |Нп Я! Ш С„ Подставляя в (10.22) а, (!) = Г,/(1 + т 5|п О/), ае (/) = ! /С„, получаем 1+ !и а|п Ы! !". 1-|- и Мп Яи ехр ди Г, „,Ся х 1+!па(пЯ( Г ! — х !и ехр ) — — '+ (со5 ьа( — соз ь)х) 1, Гк Ги Ое ГСе (! (1О. 26) Г/а к~~~ ! хт Рис.
|охй Пример простой параметри. яеской цепи Рис. 10.3. Импульсная характеристика цепи, описмиаемой урааиеиием (10.17) 311 Для ясности переменная интегрирования вместо / обозначена буквой и. Используем выражение (10.22) для цепи (рис. 10.4), представляющей собой последовательное соединение резистора с переменным сопротивлением г дйх) — 40 ав Оо йй а2 4П а г аа таг г* г ье а а/ 6) рис. !0.5. К определению импульсной характеристики цепи, представленной на рис.
10.4 Продифференцировав это выражение по 1, можно найти ток 1 (1). В момент 1 = к, когда д (1, х) образует скачок, равный ()г (1), ток будет (! 1г (1)) н мб (1 — х). Напряжение на емкости можно определить делением выражения ()0.25) на С,. Из выражения (!0.25) видно, как вариация сопротивления по закону ()0.23) влияет на характер разряда: в аргументе экспоненты кроме — (1 — х)1 г,С, (как и при постоянном сопротивлении г,) появляется периодическое слагаемое (т1гаСа й) (соз Ы вЂ” соз йх). Закон изменения г (1)уг, показан на рис. )0.5, а, график функции гаг1(1, х) прн гаСао = ! и т = 0,25 — на рис. !0.5, б. Штриховой линией показана зависимость ехр ( — (1 — к)1гаСа!, соответствующая импульсной характеристике при постоянном сопротивлении го(т=О) и х=О.
Для более сложных цепей, описываемых дифференциальным уравнением и-го порядка (и ) 2), задача определения импульсной характеристики усложняется. (0.4. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ЦЕПИ С ПЕРИОДИЧЕСКИ ИЗМЕНЯЮШИМСЯ ПАРАМЕТРОМ аа„,(1)= — 1 2п6(ю — ыа) К(1ы, 1) еиы дсо =К(1юа, 1) е™~, о откуда, опуская индекс нуль при со, находим ( )0.25) К (ио, 1) =- г„„„(1)1енм 312 Наряду с выражением ()0.)5) можно дать еще одно определение передаточной функции К (1со, 1), которое в некоторых задачах позволяет избежать обращения к импульсной характеристике. С этой целью используем выражение ()0.)4) для случая, когда входной сигнал является гармоническим колебанием э (1) = соз соа1, а соответствующий ему аналитический сигнал г (1)= == е'"'.
Спектральная плотность этого сигнала У. (го) = 2пб (со — соа) (см. (2.98) и (3.87)!. Подставляя Л (со) вместо 5 (со) в формулу ()О. )4), получаем Под г,„„(7) в данном выражении следует подразумевать аналитический сигнал на выходе цепи при гармоническом воздействии ес"' на входе. Определение (10.26) особенно эффективно, если передаточная функция К (св, 7) изменяется во времени по периодическому закону. При периоде Т = 2л:Й функцию К (св, 1) можно представить в виде ряда Фурье: К(соз, 1) = Ка(св)+К,(ио) соз(И вЂ” з,)-Р К,(йо) со (2И+$з) + ...,(10,27) где К, (св), К, (ссо),...,— не зависящие от времени коэффициенты, в общем случае комплексные, которые можно истолковать как передаточные функции некоторых четырехполюсников с лостоялльслси параметрами. Произведение К„(йв) соз (лИ + $„) можно рассматривать как передаточную функцию каскадного соединения двух четырехполюсников: одного с передаточной функцией Кн (йв) не зависящей от времени, и второго с передаточной функцией соз (лИн+ $н), изменяющейся но времени, но не зависящей от частоты в входного сигнала.
Основываясь на выражении (10.27), любую параметрическую цепь с периодически изменяющимися параметрами можно представить в виде эквивалентной схемы, изображенной на рис. !0.6. В соответствии с (10.26), при входном сигнале з (7) = соз вй г (с) — — есм', сигнал на выходе будет за их (1) =- К (ио, с) е с"' = К, (йо) е' с 7 К, (йо) ес "н соз (И + "„) + -1-Ка(йо) ес"'сон(2з)7+ йз) +-„, =К,(со) е'сис+ г с+К,(в) е' ' '+ч"> Х Х соз (И + йс) + К, (оз) ес с"'+ е и сон (2И + $з) +... (10. 28) Здесь срр, ср,, ср,,...— ФЧХ четырехполюсников Ка (йо), К, (св), К, (св), Переходя к вещественному сигналу на выходе, получаем заик (1) =- К еаа асз (1) == Ко (в) соз (в1+ сра) + Кс (в) сов (в( + срс) соз (И+ ьт) + -г Кз(со) сов (оз(+ срз) соз(2И+ йз)+ ..
= Ка (со) сон(в(+ сра) + + — ~~ К„(в) (соз [(в+лаз) 1-~-срн+ й„[+ сок [(в — лз)) 1+ ср„— 0„[). 2 ~ы н=! (! О. 29) Этот результат указывает на следующее свойство цепи с переменными параметрами: при изменении передаточной функции по любому сложному, но периодическому закону с основной частотой Й гармонический входной сигнал с частотой в образует на выходе цепи спектр, содержащий частоты в, в с- Й, со с- 2з) и т.
д. Рнс. 10.6. Схема замещения линейной цепи при периодическом изменении параметров Рпс. !0.7, К определению сигнала на выходе параметрической линии задержки -носзез е 313 Если на вход цепи подается сложный сигнал, то все сказанное выше относится к каждой частоте ы входного спектра. Само собой разумеется, что в линейной параметрической цепи никакого взаимодействия между отдельными компонентами входного спектра не существует (принцнп суперпозиции) и на выходе цепи не возникает частот вида пв, ~ пио,, где в, и гаа — различные частоты входного сигнала. Поясним применение формул (!0.25) †(!0.29) на примере передаточной функции линии задержки К(1вь 1) = е ""тяп! (!о.зо) при изменении т.„(1) по периодическому закону т,, (1) = т, + т„., з 1п Й1, Гз (( а, (!о.зП и прн входном сигнале з (1) = Е соз га! (соответственно г (1) -- Ее' '! (рис.
!0.7). Основываясь на (!0.26), определяем аналитический сигнал на выходе г,„„(1)= Евам К(1ы, 1) =Ее'"!' " ' """), (!0.32) откуда следует (!о.зз) з„„„(1) = Ре г, „„(1) = Е соз ! ы (1 — т) — ыт„з !п !11!. Получилось фазомодулированное колебание с индексом модуляции и = = ыт„, и со спектром, аналогичным выражению (З,З!). Таким образом, коэффициенты ряда Фурье для функции К (1гэ, 1) в данном примере совпадают с бесселевыми функциями /„(вт ) (см. З З.б).
!0.5. ПРИНЦИП ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО УСИЛЕН!!Я СИГНАЛОВ В з !О.! было показано, что по отношению к сигналу, малому по сравнению с управляющим колебанием, нелинейная емкость вместе с генератором накачки может быть замещена линейной, изменяющейся во времени емкостью. Отвлекаясь от способа осуществления модуляции емкости (или индуктнвности), можно говорить об обмене энергией между источником сигнала и энергоемким параметрическим элементом. Наглядным примером обмена энергией при изменении емкости является хорошо известная модель с механическим раздвижением пластин заряженного конденсатора. Пондеромоторная сила электрического поля конденсатора стремится сблизить пластины (независимо от полярности напряжения); следовательно, для их раздвижения, т.
е. для уменьшения емкости, необходимо произвести работу, которая увеличивает запас энергии конденсатора. При сближении пластин, наоборот, часть энергии поля конденсатора преобразуется в механическую энергию. Рассмотрим конденсатор (варикап), емкость которого С (1) с помощью управляющего напряжения изменяется по скачкообразному закону, представленному на рис. 10.8. Допустим, что подобный конденсатор включен в высокодобротный контур, возбуждаемый сигналом е (1) =: Е соз ы1, частота которого ы совпадает с резонансной частотой контура ыр — — !1УЕС, (С, — среднее значение С (1)1, а последняя вдвое меньше частоты изменения С (1).
Напряжение на конденсаторе ис (1), близкое к гармоническому, показано на нижней части рис. !0.8.Фаза изменения С (1) подобрана с таким расчетом, чтобы уменьшение емкости происходило в моменты перехода ис (1) 3!4 через амплитудные значения, а увеличение — в с моменты прохождении через нуль.
В моменты спада С (1) напряжение ис (!) получает прира- -- -- — с щение (см. рис. 10.8), поскольку заряд конденсатора не может мгновенно измениться. Это означает, что энергия электрического т е поля в конденсаторе периодически получает при- и ращение, а это эквивалентно увеличению средней мощности сигнала. Если прирост энергии, обусловленный одним скачком (вниз) емкости С (1), ие превы- о е шает расхода энергии за время Т, то параметрическая цепь устойчива, в противном случае возникает паРаметРическое возбУжление колеба- р рз В у ний.
Таким образом, регулируя относительную величину Л С!Св, т. е. глубину модУляЦий гнзрг!. денсаторе в моменты скачметра С, можно осуществить как параметри- кообразного уменьшения ческое усиление сигнала, так и параметрическую генерацию. Реализация скачкообразного изменения С (1) связана с техническими трудностями и в практике не применяется. Значительно проще модулировать емкость по гармоническому закону. Необходимо лишь соблюдать основной принцип: уменьшать емкость в области максимальных значений заряда (напряжения) конденсатора и увеличивать в области минимальных значений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
