Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986) (1095423), страница 88
Текст из файла (страница 88)
3! ° ->, !г((и ев 1> з)«!> йхг нй 00 56 1тт 1>1Т' Нх«нхг. нхг«ихгг ЙР«>.14>592/еьол~(их~) Оа 49 Н«)~нхг Аас«ееоьт(н !>»ЙР и«СНРЕХ(соз(АЙС)131 ° 5!й(АЙС>1 ОО 46 НХ«НХ>ЙЙ,ЙХ >1«НХ-НХ»н зг«з)+йхг т«х(з>> х(зг) хс>1!«хсз>)ьх(>21 х(зг>«т.н СОНТ1НРЕ Йг«йнхг И)»ЙЙ З«1 оо 65 1.1>й 1 19((,СЕрЗ) СР ТО 55 т«хсз> ХСЗ>«Х(1> ХС1)«Т К ЙЙХ2 !ЕСК,СЕ ° 3) СО ТО 45 з"з к К«хгг со то ь>( з«з к (е с)й ев4 1.) со то 75 оо то 1 (,ни х(!>«Х(1>ЛРЕРАТ(йй) СОН!(йоЕ яетыяи ЕЙО ния. Ранее было показано, что при прямом вычислении ДПФ по выражению (12.73) требуется У' умножений. Следовательно, алгоритм БПФ уменьшает число операций в У»7У !од»У.
При У = 1024 (г = 10) !оя« У = 10 и УЛоя» У 100. Столь большое сокращение числа операций резко уменьшает объем аппаратуры и повышает быстродействие цифровых устройсгв. Из рассмотрения графа следует, что экономия достигается благодаря объединению всех слагаемых, подлежащих умножению на однаковые множители. К обоснованию алгоритма БПФ можно также прийти, используя метод факторизации матрицы, описывающей дискретное преобразование (12.73) (2! ]. Для большей наглядности все предыдущее рассмотрение проводилось в предположении действительного (вещественного) сигнала. Однако результаты можно распространить и на комплексный сигнал.
На с. 390 приведена программа вычисления прямого и обратного преобразований Фурье как для действительного, так и крмплексного сигнала с базой до 512. Существует большое разнообразие вариантов построения схем БПФ. 12.15. СПЕКТРАЛЬНЪ|й АНАЛИЗ НА БАЗЕ БЫСТРОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ Обратимся к выражению (12.13) для ДПФ 2»» — !»« л — ! Ю $(п! = ~чр„ э (й) е , и = О, + 1, ~ 2,..., -Ь У!2, и к рис. 12.40, иллюстрирующему преобразование исходного сигнала э (!), начиная с его дискретизации с шагом Т до выделения спектральных коэффициентов $ (и) на выходе устройства, осуществляющего ДПФ. Это устройство обозначено на рис.
12.40 в виде«черного ящика» ДПФ (БПФ) без раскрытия его внутренней структуры. Если шаг Т выбран достаточно малым для сохранения содержащейся в сигнале э (!) информации, то и совокупность У спектральных коэффициентов $ (и) дает полную информацию о всем спектре 3(!э) континуального сигнала э (!). На рис. 12.40 функция 3 (ь») обозначена штриховой линией в виде огибающей дискретного спектра 3 (и) в пределах центрального участка диапазона частот от «! = — л(Т до а! =- и(Т или, что то же, от э»Т = 0 до а»Т = = 2п (соответственно от и = 0 до и =- У вЂ” 1, см.
нижнюю часть рис. !2.40). С этой точки зрения устройство, осуществляющее ДПФ, можно трактовать как а н а л и з а т о р с п е к т р а, представляющий собой набор из У узкополосных фильтров, каждый из которых пропускает одну дискретную частоту лбы. Поскольку в образовании любого из спектральных коэффициентов $ (л) учоапауют все эре»«ениые отсчппы э (й), то информацию о спектре сигнала э (!) можно получить не ранее чем после ввода в устройство БПФ всех У отсчетов э (й). В этом смысле ДПФ не отличается от обычного преобразования Фурье, определяемого выражением г« 3(«!) =1 э(!) е — !е!»((, ! -»Т, о Нетрудно выявить АЧХ любого из У упомянутых выше фильтров, образующих анализатор спектра. С этой целью зададим испытательный сиг- 391 заев) Зйр «ВГл1) -п,т,...,,г-г Ми-о ЛО"2 ГГ-Г и Рнс.
12.40. К определению ДПФ сигнала о (1! нал на входе анализатора в виде гармонического колебания с частотой ю, не превышающей и!Т, что вытекает из теоремы отсчетов (см. 2 2.16). Для упрощения выкладок удобно исходить из комплексного испытательного сигнала, заданного в одной из двух форм (при — оо < (< оо): (12.81) в (1) = соз юг+ ! з! п ю1 = е"", в (1) =- сов М вЂ” !' э!и ю1 = е — '"". (12.82) Поддерживая неизменной амплитуду (1 В) входного сигнала, проследим за изменением спектрального коэффициента 8 (и) в зависимости от ю.
После дискретизации в (1) с шагом Т получим временнйе отсчеты вида !лт ь,О1 й! в ((е) = е — ' ог, /г = О, 1,, У вЂ” 1, где У = Т,(Т. Рассмотрим сначала случай з (1) = е'"", когда выражение (12.13) принимает форму — ! — по „я! аг — л) Ян l оп и†! и л! — ' '! и $(п, о!Т)= ~ч', е!"оге = У е о-а о=о п=-0,1,..., У/2, О(ФТ(я. (12.83) При отрицательных значениях п коэффициенты8 (и, юТ) равны нулю, поскольку спектральная плотновть аналитического сигнала е™ отлична от нуля только в области частот ю О (см.
2 3.10 и формулу (3.87)). Новое обозначение Я (и, юТ) имеет тот же смысл, что и 8 (и), т. е. это спектральный коэффициент на фиксированной частоте и Лю, однако модуль и аргумент этого комплексного коэффициента зависят от частоты го исходного сигнала з ((), из которого взяты У временных отсчетов. 2п Введем обозначение х = юТ вЂ” — и и запишем (12.83) в форме У !о- ! !о — ! !о — ! Б(п, юТ) = о; е!о"= ~ч!', сових+Е '~Р з!пйх. о=о о=о о=о а) )у 2л 22)г 2)т г)/ Ф () т )у 2)т 2п 2п я 2п 2п 2П 2я гу аг дг Ф Ф // О7 Рис. 12.41. Частотные характеристики устройства БПФ: )пя о) прн входном енгнепее, О < мт си; б) то же прн — л<мт< О: е) то же прп О <лт < ал Используя известные формулы для суммы косинусов или синусов кратных дуг (йг — 1) х гт'х )е — ) ми — в'ив -т 2 2 з(п йх яп х/2 О=О приведем (12.83) к виду 8(п, )ОТ) = Ранее отмечалось, что информация о Ь (и, О) Т) получается к моменту / = Т, = (У вЂ” !) Т, когда входной сигнал з (() принимает значение Е'л 1" — ))Т.
ПОЭтОМу ПЕрЕдатОЧНуЮ фуНКциЮ П-ГО ЧаетатНОГО КаНаЛа аиаЛИЗатора спектра логично трактовать как отношение ))/ / 2п 1 )х) — )) ) ал а)п — 1 геТ вЂ” — п~ -) —, (мт+ — и) $(п ыТ) 2 (, йг е цн-))лт 1 / 2л в)п — ( мТ вЂ” — и) 2 (, М (12.85) О(О)Т~п, п 0,1,..., Ф/2. ззз (й~ — 1) х, Мх н — ) соа 5)п 2 2 соз Ах = М Мп х/2 О 1/ 2л п)и ~ ыТ вЂ” — л) 2 (х йг 0 й//2, п ( Лг — 1. (12.84) При задании испытательного сигнала в форме з (1) =е — '"' передаточная функция определяется выражением, комплексно-сопряженным по отношению к (12.85): гу г2 р О О гт О гз а йг Р Р Р !! П в(зз т тей й зФ-зьнт ыТ 'у' 2л гт ЗТ (йг-бт е - (УТ') зХР--' выл Лт о р з о а о л о О О р О гт и и га 1 згаз-з' е 52 ги Кггх 8тх тй ггз м Т-Йг-пав з(в1-в!"т аТ 4— 2л йг мп(а ф у") свай ~~у~ в!п(о ф Т! сов о Рис. 12.42.
Отклик анализатора спектра на комплексный сигнал при различных значе- ниях гог=пйл(Т, и О, 1, 4 и В: - — — действительна», — — — — мнимая части сигналов У 1' 2л 1,1дг !1г 51п — отТ = и) г — гог+ — н) $ (и, ыТ) Лг ! й е — Ггн — г1мт 1 2л 51п — ~го Т вЂ” — и) 2 ~ гтг — л(сзТ(0, л =О, — 1,..., — У22, (12,86) Графики передаточных функций, построенные по формулам (12.85), (12.86) для У = 8 (без учета фазовых множителей), представлены на рис.
12 41, а и б. Поскольку вне интервала характеристики повторяются, эти графики м ажно объединить, как это показано на рис. 12.41, в. (Представлены только главные лепестки). Итак, на комплексный сигнал епм откликаются только частотные ка- налы анализатора с номерами 0 ~ п ( ЛЧ2, а на сигнал е-' ' — только каналы с номерами Уг2 ' л ( У вЂ” 1. Это означает, что при анализе спект- ра комплексных сигналов с помощью БПФ можно определить не только аб- солютное значение ы, но и знак частоты. Это важное свойство будет проил- люстровано в 2 !3.9 иа примере квадратурной обработки сигналов. При подаче на вход БПФ последовательности (в (1г)), л = 0,1. ..
У вЂ” 1, взятой из сигнала в виде постоянного напряжения (нз =. 0), на выходе БПФ спектральный коэффициент 8 (0,0) равен У, а все остальные равны нулю; при частоте исходного (комплексного) сигнала оз = — —, одни-единственный 2л 1 У Т' "лх коэффициент 3 ~1, — ) равен У, а все остальные равны нулю и т. д. Соотношение между входными и выходными сигналами длн БПФ-8 ил- люстрируются рис. 12.42, Рис.
12.43. Алгоритм вычисления свертки двух сигналов, основанный на использовании БПФ 13 (и) обозначает произведение Х (п) у (п)1 Основываясь на выражении (12.83), а также (12.85), (12.86), нетрудно найти отклик рассматриваемого устройства на испытательный сигнал з (()= = соз шг, — оо ( ( ( со. Представив этот сигнал в виде суммы двух комплексных сигналов н(г) =х!зе'"'+тузе — '"", придем к выходному сигналу в виде двух комплексно-сопряженных спектральных коэффициентов 8 (и, шТ) и $ (Аг — п, 2п — иТ), расположенных симметрично относительно точки ц на оси юТ, 12.16.
ПРИМЕНЕНИЕ БЫСТРОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ В УСТРОЙСТВАХ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ Вернемся к структурной схеме цифровой фильтрации сигнала, представленной на рис. 12,33. В 4 12.13 отмечалось, что осуществление подобной обработки при длинных последовательностях з(й) стало эффективным лишь при использовании алгоритма БПФ— как для прямого, так и обратного дискретного преобразования (ОБПФ). По существу, в данной схеме иа первом этапе проводится спектральный анализ входного сигнала с помощью БПФ, затем осуществляется собственно фильтрацкя с помощью цифрового фильтра Кг («а), после чего профильтрованный сигнал с помощью ОБПФ преобразуется в выходной сигнал в виде функции времени. В современной практике как БПФ, так и ОБПФ осуществляются в одном и том же устройстве. Обратимся к рассмотрению другой задачи — вычислению дискретной свертки двух функций времени к (г) и у (1), представленных последовательностями (х (й)), д = 1,о, ..., А«г — 1, и (у (д)), й = О,1,..., У« — 1, с использованием БПФ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
