Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986) (1095423), страница 98
Текст из файла (страница 98)
е. ! А ((+ !) ! ( (А (()!. В этом смысле наилучшим упорядочением при представлении отрезка синусоиды, как это следует из рис. 14.15, является упорядочение Пали, а наихудшим — Адамара. Восстановление исходного сигнала (см. рис. !4.!4, а) шестнадцатью функциями Уолша представлено на рис. 14.16 (двенадцать спектральных коэффициентов обращаются в нуль), От способа упорядочения функций это построение, разумеется, не зависит, Очевидно, что для более удовлетворительной аппроксимации синусоидального колебания в базисе Уолша требуется существенное увеличение числа спектральных компонентов. Вие интервала 10,1) ряд (14.27), как отмечалось в З 14. 4, описывает периодическое продолжение а, (О), в данном примере гармоническую функцию. 437 2.
Спектр гармонического колебания о (1) = соэ (со(+ О,) (рис. 14.17) в базисе функций Уолша. Как и в предыдущем примере, рассматривается один цикл гармонического колебания с периодом Т = 2Ыго. Переходя к безразмерному времени 0 = !(Т. записываем колебание о (г) в форме э, (0) = соэ (2лО + 8,) = созО,соэ 2лΠ— яп О, яп 2л8 = =А соз 2лΠ—  — яп 2лО. Спектр Уолша функции яп 2лО определен в примере 1. Совершенно ана- логично определение спектра функции соэ 2лО на интервале !0,1). Необходи- мо лишь функции за! (1, 8) заменить функциями са! (1', 0). Легко проверить, что при упорядочении по Уолшу новые коэффициенты А~ в ряде (! 4.27) будут А(2), А (6), А (10) и А (! 4) вместо А (1), А (5), А (9) и А (13).
При этом зна- чения коэффициентов остаются прежними. Таким образом, ряд (14.27) для рассматриваемого колебания можно за- писать в форме э, (8) = соаО, соз 2лΠ— яш О, яп 2лО =- соз О !А (2) тча1 (2 О) + -1-А (6)тча! (6, 6)+А(10) тча! (10, О)'+А(!4) тча! (!4, 0)! — яп 9 [А (1)х х тча1 (1,0)+А (5) тча! (5, 0) +А (9) тча! (9, 0) + А (13) тча! (!3, О)1. Итак, при сдвиге гармонического колебания по фазе спектр Уолша содержит четные и нечетные функции са! (1, 0) и эа1 (!', 6), 3. Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов (рис, !4.!8) в базисе функций Уолша. Определим колебание я (г) на интерва- ле !О, Т„) выражением э (1) = 1, 0 ( 1( ти, и соответственно (14.30) ( 0 при 9 ) т„!Те.
Структура спектра Уолша заданного колебания сильно зависит от со- отношения между т„ и Т,. Временная база Т, является дополнительным и произвольно выбираемым параметром функций Уолша. Действительно, при 4О Рис. 14.17. Одни период гармонического колебания иа интервале 0(6<1 оА о' г„г -о,а , о гя/го уо Рис.
14.18. Аппроксимация синусоиды функ- циями Уплата Рис. 14.18. Один цикл периодической импульсной последовательности при т~lуе 112 2 ш и) д г 2 и б/ Рис, 14.19. Спектры последовательносяа прямоугольных импульсов в базисе функций Уолша: а! ари т (г !; б! при ти/гю-!!2! о! ари т /г =-!И! !ч !о т„/Т, = — 1 спектр содержит лишь одну функцию тча! (О, О) с коэффициентом А (О) = 1.
При т„/Т, = !/о колебание (14.30) полностью определяется двумя функциями вга1(0, О) и чча! (1, О) с коэффициентами А (О) =А (1) =т/а Далее, при ти/Т, = 1/4 использование формулы (14.28) 2/3 ~/з улуг буг Рис. 14.21, Аппроксимация прямоугольного импульса 16 функциямн Уолша при т~/То=1/3, 1Ч 16 Рис. 14.20. Спектр последовательности прямоугольных импульсов в базисе функций Уолша при т~/Тр=!/3; /у=16 439 ! ! /4 А(гп) = ~ з(О) тча1(гп, О) г(О= ) зча1(гп, О) с(О о о дает следующие коэффициенты: А (О) = А (1) = А (2) = А (3) = 1/4. Найденные спектры представлены на рис. 14.19.
Этот результат легко обобщается для последовательности прямоугольных импульсов с отношением т„/То = 1/2а, где й — целое положительное число. Очевидно, что спектр Уолша такого колебания состоит из 2" компонентов с одинаковыми амплитудами, равными !/2аг Очень важно, что этот спектр содержит конечное число составляющих; разложение того же колебания (14.30) по гармоническим функциям является бесконечным. Рассмотрим теперь случай, когда ти/Т, Ф '/,», например, т„/Т, = г/3. Ограничиваясь первыми 16-ю функциями Уолша (в упорядочении Уолша) и опуская промежуточные выкладки, получаем А (О) = А (1) = =1/3,— А (4) = — А (5) =А (6) =А (7) = '/„, А (8) = А (9) = — А (10) = — — — А (11) = — А (13) = А (14) = А (15) = 1/24.
Найденный спектр представлен парис. 14.20. При переходе к упорядочению по Пэли структура спектра сохраняется (по модулям). Итак, при т„/Т, ~ 1!2а спектр Уолша периодической последовательности прямоугольных импульсов содержит бесконечно большое число составляющих. Суммирование первых 16 функций дает импульс, показанный на рис.
14.21. 4. Влияние сдвига импульсной периодической последовательности на спектр Уолша. Рассмотрим этот вопрос на примере импульсной последо- шп1 Ю л1 024баФт214-х шат(1,л) га т„б т„ 2 2 1 б У б г Т Рис. 14.22. Олин цикл периодической послелонательности импульсов на ннтернале 0,5~(0<1 А ша!(тб б бб йа б' Рнс. !4.28.
Влнание сдвига импульсной харак. Рнс. 14.24. Пример лискретнмх функтернстнкн на спектр Уолша (ср. с рнс. 14.19,а) цнй Уолша при йГ 8 вательности при т„!То = 'I, (рис 14.22), смещенной на т„!2 относительно аналогичной последовательности (см. пример 3). Используя функции Уолша (в упорядочении Уолша), определенные на интеРвале — Ча ( 6 ( г1а (см. Рис. 14.11), запишем выРажение длЯ коэффициентов Уолша ~1а А(гп) = ~ тма! (гп, 6) г!6, -Па откуда получаются следующие ненулевые коэффициенты: А (О) = А (2) = А (4) = А (6) = т(,. Полученный спектр (рис. 14.23) вдвое шире спектра, представленного на рис. 14.19, в. Таким образом, сдвиг импульсной последовательности иа времййт„/2 привел к изменению спектра.
Зависимость структуры спектра от сдвига!колебания з (!) на оси времени является особенностью анализа в базисе функций Уолша. Эта особенность связана с непериодичностью функций Уолша на единичном интервале их определения. Напомним, что при разложении по гармоническим функциям сдвиг сигнала во времени влияет лишь иа ФЧХ спектра (см. 9 2.7, п.1). 14.6. ДИСКРЕТНЫЕ ФУНКЦИИ УОЛША Для цифровых методов спектрального анализа и обработки сигналов наибольший интерес представляют дискретные функции Уолша.
Эти функции являются отсчетами непрерывных функций Уолша. Каждый отсчет расположен в середине связанного с ним элемента непрерывной функции. Длительность элемента равна 1/Дг от интервала 16,1). В качестве примера на рис. 14.24 показаны первые две и последняя (М вЂ” 1)-я дискретные функции Уолша при й! = 8. В качестве аргумента дискретной функции Уолша принят номер отсчета х = 0,1..., 1т' — 1 (см. ось абсцисс на верхней части рис. 14.24). Основываясь на (14.21) и (14.22), можно получить общее выражение для дискретной функции Уолша л ла (ми-а4.1Шмп-а)~д ша1(гп, х) =( — 1) 440 где хз=О или 1 естьй й разряд в представлении номера отсчета х в двоичной системе счисления: х= У х„2" — '=(хь х...
хз)з з=! (14.32) Пусть, например, рассматривается система функций Уолша размером А! = 16, и = 1онз М = 4. Тогда 4 С х= '~~ хз2з-з=х, 2з+х, 2 +хз 2 +хз 2з, з=- ! (14.33) 4 [шз з4,!гааз „)зз чза1(6, х) =( — 1) =' Напомним, что в соответствии с (14.21) при п = 4 и = 6 = в 2з -!- вз'2з+ вз'2з+ вз 24 откуда следуют равенства в, = О, в, = 1, в, = 1 и вз — — О. Далее находим значения в, „, и и сумму из — зхз9из — з при л = 1...
4: А=1: из з+з — — из=О, из-з=из=1, из-з.-з9вз-з =09! =1; А=2: вз з+,— — в,=1, из „=в,=!, в, +,9и, „=!91=0; й 3 из з+з из 1 из з вз 0 190 1 А=4: вз з4з=в,=О, из з=-в =О, 090=0. Значения хз (нуль или единица) находим из выражения (14.32), прирайг пиная номер отсчета х последовательно значениям О, 1, 2, ..., 15. При х = 0 все разряды х„х,, х„х, равны нулю и, следовательно, по формуле (14.31) ва1 (6, 0) = + 1. При х = 1 соответственно х, = О, х, = О, хз = 0 и х =- 1; при этом показатель степени в (14.3!) при й = 4 равен 0 хз — — 0 и ига! (6, 1) .--- + ! .
При х=2 х,=О, х, =О, х,=1, х =0 показатель степени в (14.31) при й = 3 равен 1 х, = 1, откуда получаем !ча! (6,2) = — 1. Вычисленные трн отсчета в точках х = 0,1 и 2 согласуются с ходом непрерывной функции зча! (6,6) на риС. 14.13. Продолжая расчет для х = 3,4, ..., 15, находим все отсчеты функции чза! (6, х). Другой формой представления дискретных функций Уолша являются матрицы Адамара, приведенные в з 14.4. Номера столбцов матрицы Адамара соответствуют номерам дискретных значений функций Уолша, а номера строк — номерам функций Уолша. Строки матрицы Адамара могут бы гь упорядочены по Пэли, по Уолшу и собственно по Адамару, Перечисленные в 5 14.3 свойства непрерывных функций Уолша записываются для дискретных функций следующим образом.
Ортогональиость Ф вЂ ! ~~ ва! (1, х)ва!(1, х) =. (14.34) 1 0 при 1~!. 44! Определим одну из функций системы, например шестую (и = 6). По модулю все отсчеты функции Уолша равны единице и требуется определить лишь знак. Обратимся для этого к формуле (14.31), в которую подставим и=б и п=4: Дискретные функции Уолша не нормиров аны; норма равна й! независимо от номера функции.
Мультипликативность !ча! (1, х) !ча! (й х) = 2ча! (!' ОТО 1, х). (14.35) Пусть сигнал я (Г) (вещественная функция) представлен совокупностью своих эквидистантных отсчетов я (й), й = 0,1, 2, ..., М вЂ” 1. Тогда преобразования и — ! Я(п) = "~' я(й)!ча1(п, й), О=О (14.36) и — ! я (й) = ~Р 5 (и) !ча! (и, й) Л' О=О (14. 37! образуют пару дискретных преобразований Уолша (ДПУ). Выражения (1 4.36), (14,37) аналогичны паре ДПФ в базисе гармонических функций [см.
(12 ! 4), (12. 15)! . Как и ДПФ (см. 2 2.17), ДПУ обладают свойством периодичности Я (и) = Я (и + т!ч'), я (й) = я (й + т!ч'), (14.38) где т — целое число. .Имеются, однако, и существенные особенности ДПУ. Это относится к теореме запаздывания. Напомним, что в случае спектрального анализа в базисе гармонических функций умножение ДПФ 8 (и) на базисную функцию .
2л е и эквивалентно сдвигу во времени последовательностия (й), й = 0,1, 2, ..., й! — 1, на и интервалов. Действительно, вводя под знак суммы в правой части (2.127) множитель е 2!, получаем 2л 2л М вЂ” ! ! — лт ! ль 1 М и — 8(п) е е 1Ч и — ! ! — (й -)- и1] 2л 1 Ю вЂ” л;~ 8(п) е = Я (й+ л2), !ч и=О и=О л=О и-! — 5 (п) ча1(п, й®т) = я (йР,гп). (14.39) !ч л- О Здесь использовано свойство мультипликативности функций Уолша. Как видим, при заданном значении т сдвиг й-го отсчета я (й) будет равен (й В т) — й интервалов (а не просто т интервалов). Переход от я (й) и я (й ф т) означает диадный сдвиг на т интервалов последовательности отсчетов я (й), й = О, 1, 2, ..., й! — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
