Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986) (1095423), страница 100
Текст из файла (страница 100)
15.4, а. Свойства этой цепи обусловлены применением операционного усилителя К, и обратной связи. Усилитель в рассматриваемой схеме должен обеспечить небольшое усиление (не более нескольких единиц). Основные требования к усилителю — очень большое входное и близкое к нулю выходное сопротивления, а также отсутствие обратной реакции.
При выполнении этих требований усилитель можно рассматривать как идеальный источник напряжения (управляемый напряжением), что позволяет при определении токов и напряжений в схеме на рис. 15.4, а считать точки а и б разомкнутыми, а напряжение на выходе приравнивать величине Ке()с„где ()с, — напряжение на конденсаторе С,. Эти допущения приводят к эквивалентной схеме на рис. 15.4, б, на которой усилитель К, опущен, а его влияние учтено тем, что напряжение на конденсаторе С, связано с выходным напряжением соотношением 0с, = Ее)Ко Применяя общие уравнения четырехполюсннка (5.4) к схеме, представленной на рис.
15.4, б, и учитывая добавочное условие Е, = — К, (1, + +!е))Сзр, получаем Е,, = Л„1, + 3„,1„Е, = Л„1, —, Л„1, = К, (1, + 1,)УС,р. (15.11) Здесь Ем = )с, + )те+ НС,р; Л)а = )се+ 1)Сар; Лез = )са+ ))Сзр г„= Л,+ Нс,р+ 1(с,р. Еа ау Рис. )5.4. Активная РЕ-цепь второго порядка (а) а схе)ла замещения (б) 447 Исключив ток 7о из первого уравнения (15.11) после несложных преобразований получим следующее выражение для передаточной функции четырехполюсника: Ко К(р) Во Со Е, Г Р, С, й, Со )(~ 1 1 С, К, р +( 1+ =-+ — — К, — ~ р+— йо Сойо С Во СВ, КоУС, С, К, Во (15.12) ро-(-(!/С А'„+!ус, йо-!-1/Со)(о — Ко(С, Во) р+1/Со Со Ко йо Дальнейшая задача синтеза сводится к подбору резисторов, конденсаторов и Ко, обеспечивающих требуемые значения коэффициентов Ь, н (оо поли- нома (15.6): / 1 1 1 Ко ь, / — + — + — — '),ь,= ~Я,С, Я С, Ьос ((ос ! К Рос,с Из первого равенства можно получить следующее выражение для требуемого коэффициента усиления: (15.14) Ко = 1-г- Со!С, + КоСо)К,С, — ВЯоСо.
Полученные соотношения будут проиллюстрированы в 2 15.6. 15.4. ОСОБЕННОСТИ СИНТЕЗА ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА ПО ЗАДАННОЙ АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНОИ ХАРАКТЕРИСТИКЕ Прн синтезе фильтров нижних частот (ФНЧ), фильтров верхних частот (ФВЧ), полосовых фильтров и т. д. к ФЧХ обычно не предъявляется каких- либо специфических требований. Предполагается, что обеспечение удовлетворительной равномерности АЧХ минимально-фазового четырехполюсника в заданной полосе частот одновременно обеспечивает также и линейность ФЧХ в этой полосе.
Представим комплексную передаточную функцию К (1оо) в форме К(1 ) = К(р) = Р (р) !2 (р) р ой (15.15) после чего перейдем к квадрату модуля (15.16) Ко (ао) = К ((оо) К ( — ио) = Я(р) Я( — р) р=й тем самым исключая из рассмотрения ФЧХ четырехполюсннка. Модуль передаточной функции, четный относительно частоты, можно рассматривать как функцию а!о. То же относится к модулям )Р (!о!)) н !Я (йо)). Поэтому выражение (15.16) можно записать в форме )К(1 И =К(р)К( — р)),=;„= — "'"'=" Р*) ~ (15. 17) В(ооо) В( — р) (р йо где А ( — р') = Р(р)Р ( — р); В ( — р') = Я (р) Я ( — р). Рис.
15.6. Квадрантная симметрия волю- сов Рис. 15.5. Простой четырекволюсник с двумя полюсами ' Здесь опущен индекс евэ в обоэначенид волюса р„е. 449 15 зак !асв Переходя от мнимой оси /а к любой точке р-плоскости, получаем сле- дующее выражение: к (р) к ( — р) = А ( р )/В ( р). (!5.18)' Полюсы и нули функции А ( — р')/В ( — р') расположены в квадрантной симметрии: каждой комплексно-сопряженной паре в левой р-полуплоскости соответствует зеркальная пара в правой полуплоскости. Поясним зто положение на примере простейшего четырехполюсника (рнс.
15.5) с передаточной функцией 1/иоС 1 ! /ЕС аЕ+г+1//аС ра+ рг/Е+1/ЕС Комплексно-сопряженной функции К ( — 1а) соответствуют выражения 1/( — но С) 1/еС К( — 1'со) =, К( — р) = — /аЕ+г+ 1/( — (аС) рв — рг/Е+1/ЕС Следовательно, (1/ЕС)т (1/ЕС) т (ат — !/ЕС)в+(г/Еа)' В ( — р)' ~в( — вв (1/ЕС)* (1/ЕС)в к(р) к( — р)— (рт+ рг/Е+ 1/ЕС) (рт — рг// + 1/ЕС) В ( — ра) Полюсы функции (1/ЕС)е/В ( — р)', являющиеся корнями уравнения В ( — р') = О, расположены в точках (рис.
15.б)' р,л -— — г/2Е -(- Е )Г) /ЕС вЂ” (г/2Е)' = — сс +. мог ю ра е —— +г/2Е ~-1)Г1/ЕС вЂ” (г/2Е)' = +се -(-(го„, К передаточной функции К (р) относятся полюсы, расположенные толь- ко в левой р-полуплоскости (в данном примере р, и р,). То же относится к нулям передаточной функции, т. е.
к корням уравнения А ( — р') = О, если передаточная функция К (р) соответствует минимально-фазовой цепи. В про- тивном случае нули могут быть расположены и в правой р-полуплоскости (в данном примере нули отсутствуют). Следует также указать, что полюсы, расположенные на мнимой оси, мо- гут быть только кратными (с кратностью 2). Одна половина из них должна быть отнесена к К (р), а другая —. к К ( — р).
Из перечисленных свойств функции /(в (а) вытекает, что для аппрокси- мации заданной АЧХ четырехполюсника можно использовать функции, за- висящие от а', а при переходе к переменному р = — о + Еа — функции, соот- ветствующие указанному выше расположению полюсов и нулей на р-плоско- сти. 15.5. СИНТЕЗ ФИЛЬТРА НИЖНИХ ЧАСТОТ. ФИЛЬТР БАТТЕРВОРТА Амплитудно-частотная характеристика идеального ФНЧ представлена на рис. 15.7. При аппроксимации АЧХ на оси абсцисс обычно откладывается безразмерная (нормированная) частота х = го/го„где го, — частота среза, а по оси ординат — нормированное значение К (го/го,) = К (х). Аппроксимирующую функцию для идеальной АЧХ фильтра, показанной на рис.
15,7, задают в виде К(х) = 1/)/ 1+ ге(х), (15.19) причем накладывают условие, чтобы функция г" (х) по модулю была минимальна в полосе 0 < х < ! и максимальна при х > 1. Простейшей функцией, отвечающей этому требованию, является функция г (х) х" = (го/го,,)". При этом Кт (х) =! К (!х) !'.= 1/!1+ ра (х)) = 1/(!+ хан), (15.
20) Графики функции (15,19) при нескольких значениях и показаны на рис. 15.8. Определяемая выражением (15.20) аппроксимирующая функция получила название ф у н к ц и и Б а т т е р в о р т а, а фильтры, синтезированные на основе этой функции, называются ф и л ь т р а м и Б а т т е рв о р т а. При частоте среза х = 1 (го = го,) функции Баттерворта любого порядка и равны 1/2, что соответствует ослаблению АЧХ 1/У2 (на 3 дБ). Аппроксимацию по Баттерворту часто называют максимально плоской. При исчислении К (х) в децибелах (15.19) приводится к виду К (х)да = 20 1ц К (х) = — 10 !ц (1 + Ра (х)1 = — 10 1п (! + хх") .
Если безразмерную частоту х представить в виде степени числа 2, т. е. х = 2а, где у — число октав, то К(х)дв= — 1018(1+хил) = — 101П(1+2т"а). (15.21) График зависимости К в децибелах от у показан на рис. 15.9. На частоте среза (х = 1, у = О) затухание равно 3 дБ независимо от порядка и. Вне полосы прозрачности фильтра, при хап )) ! (9) 1), выражение (15.21) определяет прямую линию 1/Кдв ж 10 1п 2в"а = 20пу 1н 2 = бпу.
(! 5.22) Таким образом, ослабление АЧХ равно бпдв на одну октаву (т. е. при изменении частоты х вдвое, а у на одну единицу). Для удовлетворительной аппроксимации прямоугольной характеристики (см. рис.15.7) с помощью функции Баттерворта требуются относительно (а йг 0 д д йд 2,у о/гас о ~гас и Рис.
15.8. Аппроксимирующие функции Баттерворта Рис. 15.7. Амплитудно-частотная характеристика идеального фильтра нижних частот / / г) / 3 лтЗ Рис. 15.10. Расположение полгосов переда- точной функции фильтра Баттерворта тре- тьего и четвертого порядков Рис. 1о.9. Затухание в фильтре Бат- терворта в зависимости от числа ок- тав высокие значения и. Так, если необходимо, чтобы при е) = Зо), (х = 3) ослабление (затухание) АЧХ было не менее 40 дВ, то и) 40)бу.
В данном случае у = !дал=!523 = 1,58 и, следовательно, а ) 4,25, т. е. требуется п = 5. Следующим шагом после определения и является нахождение полюсов передаточной функции. Для этого выразим (15.20) в форме (15.17), для чего в (15.20) приравниваем !х = Р, х' = — рз их'" = ( — 1)»рзл: 11». (!х) ~ =1((Р) 1(( Р)1р=!л= 1+( 11» 2» ~ и 1 ра) Рассматривая теперь поведение функции 1)В ( — ра) на р-плоскости, находим полюсы как корни уравнения В( — р~) =1+( — 1) рх»=0 или р2» )у( ! у! ( 1) — <л-1) (! 5.23) С помощью соотношений ( 1» — Š— !л ( !)л 1, Š— !л(л — 1) Š— !22» 1 где Й вЂ” любое целое число, получаем для й-го корня уравнения (!5.23) следующее выражение: р Е!»1!л — 1) +221)2» (15.24) причем число корней равно степени уравнения (15.23).
Модули всех полюсов ра равны единице, а аргументы )рд — — и (и + (2й — !))!)2п, (15.25) причем разность аргументов любых двух соседних корней равна п)п. Следовательно, все полюсы функции 1!В ( — р') лежат на окружности единичного радиуса и делят эту окружность на равные дуги и!и.
Аргумент первого полюса гр, = и (и + 1))2п, а последнего)рз„= и (5 и — 1))2п. Расположение полюсов на окружности единичного радиуса для фильтра Баттерворта третьего и четвертого порядков показано на рис. 15.10, В соответствии с 2 15.4 к передаточной функции синтезируемого фильтра относятся только полюсы, расположенные в левой полуплоскости. Эти полюсы !2й — 1 т . )22 — 11 ра= — з(п~ — п~+)сок| — ~п, й=1,2,..., п. 2 ~ ~ 2 (15.26) 1о» где Р „— нУли; Р,о — полюсы, полУчим пеРедаточнУю фУнкцию фильтРа Баттерворта.
Приведем эти выражения для и = 2, 3, 4. При л = 2 полюсы р,, = — !!'и'2 )- !7Р'2 и по формулам (15.2) и (15.6) находим К (Р)— (15.28) (р — Р,) (р р,) р.+з,2Р+, р*+Ь, р+Ь, ' При л= 3 полюсы р,= — 0,5+!УЗ/2, р,= — 1, р,= — 0,5 — АЗ!2 = =Р! ° Передаточная функция К(р) 1 1 (Р РВ (Р Ро) (Р Ро) (Р Ро) (Р Рй (Р Ро) р 1 (15.29) (р+ 1) (ро+ р+ 1) ро+Ь, ро+ Ьо р+Ьо При и = 4 передаточная функция приводится к виду К (Р) (ро+0,768р+!),(р'+1,848р+ 1) (15.30) р +Ь р +Ь р +Ь„р+Ь, Коэффициенты полиномов в знаменателе передаточной функции Баттерворта приводится во многих пособиях по расчету фильтров.
Последним этапом синтеза ФН Ч является подбор элементов для типовых звеньев второго порядка, а при нечетных и — дополнительно для одного звена первого порядка. (15.6. ПРИМЕР СИНТЕЗА ФИЛЬТРА БАТТЕРВОРТА ВТОРОГО ПОРЯДКА В основу расчета положим выражение (15.28) К(р) = ', Ь„=Р'2, 5,=1. р'+ ~/2 р+ 1 Переходя в выражении (15.12) к нормированной частотной переменной р = (о + !оь)!Ьо,!как и в (15.28)), приводим его к виду 482 Следует помнить, что формулы (15.23), (!5.24) определяют значения нормированных переменных р, т. е.
р = (а+ (оо)(оо,. (15. 27) Все полюсы образуют комплексно-сопряженные пары, кроме одного полюса на вещественной оси при нечетном и. Этому единственному полюсу соответствует й = (и + 1)12. Подставив р„по формуле (15.24) в общее выражениее для передаточной функции К (Р) †а(Р— Рой (Р— Роо)". (Р— Роо) Ьо (Р Рш) (Р Роо) (Р Рот) Ко г,гас,с, К (р)— ы /й,с,, с, ! ео Рот ~ + — + ! — Ко )Р+ л,с,(йс, с, % к,г,с,с, Ко ис К1 Ко Со Со (15.31) /г,с, с, ! , + — ~ — + — +!-К.~я+ мои.С, '(К,С, С, ы, К,/1,С,С Приравнивая знаменатели в выражениях (15.28) и (15.31), получаем следующие условия для определения параметров схемы: — ''+ — '+' — Ко) =Ь1=)~'2, .,р,с, л,с, с, ! — 52 .;г,л,с,с, (15.32) 15.7. ФИЛЬТР ЧЕБЫШЕВА (НИЖНИХ ЧАСТОТ) Для улучшения аппроксимации идеальной прямоугольной характеристики ФНЧ (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
