Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986) (1095423), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Этому требованию отвечает б и л и н е й н о е (дробно-рациональное) преобразование г = (1 +,о)/(1 — р), р = (г — 1)/(г + 1), (! 5.72) где р = (о+ йо)/й„а й, — произвольная постоянная, обеспечивающая безразмерность величины р, выбираемая исходя из соображений нормирования. Для уяснения смысла билинейного преобразования положим и =- О, т. е. приравняем р = /со/йо, и на основании (15.72) запишем ес г асс 1г ь/ав = еиР на/а ] (15.78) (о=си/ас ! 'со/асс Из этого выражения следует: перемещению точки р вдоль оси /со/йо соответствует перемещение точки г по окружности радиуса !г! = ! . В этом отношении билинейное преобразование ие отличается от обычного г-преобразования, при котором г! оа = е'"г (см. $ 12,6). Отличие в том, что угол соТ возрастает пропорционально частоте со, а при билинейном преобразовании угол ср (со/йо) =2 агс1д оа/йо возрастает нелинейно; при стремлении со — -1-, оо Угол сР (сл/йо) стРемитсЯ к своим пРедельным значениЯм -ьп.
Таким образом, вся ось йо/й, р-плоскости трансформируется на г-плоскости в один обход окружности !г! = 1 и тем самым обеспечивается взаимно- однозначное отображение р на г для всей р-плоскости. Сопоставление функций еаоьц/аи и е'"г позволяет трактовать ср (со/йо) = = 2 агс1д со/йо как эквивалентную частоту соцТ (безразмерную), связанную с обычной частотой со, используемой при анализе и синтезе аналоговых цепей, соотношением (!5.74) соц Т = 2 агс1 и (со/й,).
Соответственно со/йо —— 1я (соц Т/2), (15.75) Нормирующую частоту й, можно определить, установив соотношение между какими-либо характерными частотами передаточных функций аналоговой и цифровой цепей. Например, если речь идет о цифровом ФНЧ с заданной частотой среза соси, эквивалентном (в смысле АЧХ) аналоговому фильтру с частотой среза со,„. то выражения (!5.74), (15.75) можно записать так: соса 7'= 2 агс(Я (соса/йо) соса/йо = 18 (соса Т/2). (15.76) Из последнего выражения следует, что йо = соса/18 (соса Т/2). Рнс. 19.19.
Амплитудно. частот- ные характеристики аналогово- го (а! и соответствующего ему цифрового фильтра (б) -ббба -Гад' б Гзбч Зб!7' аг 7' д 467 Пусть, например, частота среза цифрового фильтра должна составлять !0% от частоты дискретизации 1/Т. Тогда "спТ = 0 1 2п и 18(втсп Т/2) =18(0,1 2п/2) =1д18'=0 3249, а выражение (15.74) переходит в щи Т = 2 агс1д [(1д соси Т/2) вт/отса)[ = 2 агс1я(0,3249х), (15.77) где х = то/от„— нормированная частота, использованная при аппроксимации АЧХ аналогового фильтра (ем~ 2 15,5, 15,7).
Полученное соотношение между твиТ и х позволяет построить АЧХ синтезируемого цифрового фильтра по заданной характеристике исходного аналогового фильтра. В качестве последней на рис. 15.19, а показана АЧХ фильтра Чебышева (при п = 2), рассчитанная в $ 15.7: [К((х)[=1)/! +Т*,(х) . АЧХ цифрового фильтра представлена на рис. 15.19, б. Видно, что эта характеристика, сохраняя масштаб на оси ординат, сжимается на оси абсцисс в пределах — и ( тлпТ ( и. Обратимся теперь к определению структуры и параметров синтезируемого цифрового фильтра.
Отталкиваясь от передаточной функции исходного аналогового фильтра [см. (15.42)) К(рв) - С/(р.— р...) (рк — р.. ), (15.78) !де рв =. (о + /со)/о! — переменная, нормированная относительно частоты среза, и переходя к новой переменной р = (о + (от)/ьгв = 0,3249 р,, на основании выражения (15.72) получаем г — 1 1 г — 1 р = 0,3249р„= —, р„= —— г+1 0,3249 г-1-1 Подставим полученное выражение для р, в (!5.78). Полюсы р„„, и р„'„, как и в примере, приведенном в 2 15.7, равны соответственно — 0,322+ + ( 0,777 и — 0,322 — ! 0,777.
После несложных преобразований приходим к следующему результату А, (г-!-1)а Ао (1+2г-т+г-а) К (г)— (г — гщ) (г — г' !) 1 — Ь, г-т — Ьг г-' ' и! где Ь, =2Ке(г„,) и Ь,= — [г„,(в, А,— коэффициент нормирования. Полюсы функции К (г) на г-плоскости связаны с полюсамн р„п,, соотношениями гп| —— (1 + 0,3249рхп1)/(1 — 0,3249рпп,) = О, 72+ ! О, 393, гп, =г,"~ — — 0,72 — 10,393. Итак, применение билинейного г-преобразования привело к появлению в передаточной функции двухкратного нуля (в точке г = — 1). Схема фильтра совпадает со схемой, представленной на рис. 12,21. В данном случае весовые коэффициенты в обратных связях (см, з 12.8, п.4) Ь, = = 2 Ке (гп,) = 2 ° 0,72 = 1,44, Ь, = — ~гп,! = — (0,821)' = — 0,674, а в прямйпх связях а, = 1, а, = 2 и а, = 1. При вп = 0 г = 1 и функция ~К (г)! по условию должна равняться единице, как и функция К (р) при в =О.
При указанных выше коэффициентах а~ и Ь| Ап = 0,0585. При синтезе цифрового фильтра существенное значение имеет выбор числа разрядов в преобразователе А-Ц, а также в арифметическом устройстве исходя из допустимого уровня шумов квантования и округления (см.
8 12.10 и 12.11). Иначе обстоит дело с весовыми коэффициентами Ь, и Ь,. Для точного представления этих коэффициентов в двоичной системе счисления может потребоваться значительное число разрядов (1,О! 1101 для Ь, и 0,10101101 для Ь,). Однако ценой несущественного отклонения АЧХ от заданной обычно можно значительно уменьшить число разрядов. Например, при загрубленин весовых коэффициентов до Ь, = 1,0111 (1,4375) и Ь, = 0,1011 (0,687) получается АЧХ, практически совпадающая с заданной. При этом необходимо, однако, учитывать, что погрешность квантования в цепях обратной связи накапливается и при значениях )г„), близких к единице, полюсы могут оказаться вне единичного круга, что означает неустойчивость фильтра.
Правильный выбор длины кодового слова (т. е. разрядности арифметического устройства фильтра), являющийся одним из важнейших вопросов синтеза цифровых цепей, изучается в специальных дисциплинах. Г л а в а 16. ОБОБЩЕННАЯ ЛИНЕИНАЯ ФИЛЪТРАЦИЯ СИГНАЛОВ. КЕ||СТРАЛЪНЪ|Й АНАЛИЗ 16.1. ОБОБЩЕННЫЙ ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ В предыдущих главах принцип суперпозиции рассматривался как основное свойство линейных систем.
Математическая формулировка (1.1) принципа суперпозиции, предусматривающая только операцию сложения сигналов, является фундаментальной для обработки аддитнвной смеси сигналов. Она также является основой для спектрального метода анализа воздействия сложных сигналов на линейные цепи, для метода интеграла Дюамеля и других методов, прн которых входной сигнал представляется в аиде суммы элементарных слагаемых. Однако операция сложения, как указывалось в 8 !.5, не исчерпывает проблемы обработки сложных сигналов.
Важное значение для современной 4 ба теории и техники обработки сигналов имеют, в частности, операции умноже ния и свертки сигналов. Линейные системы не позволяют осуществить раздельную обработку сигналов, входящих в произведение или образующих свертку. Иными словами, по отношению к сигналам з (1) = з, (1) зз (1) или з (1) = зг (1) в з,(1) неприменим принцип суперпозиции, в том виде, в каком он сформулирован для линейных систем. Однако с помощью сочетания линейных и некоторых нелинейных элементов можно осуществить систему, подчиняющуюся обобщенному принципу суперпозиции по отношению к упомянутым выше (и некоторым другим) сигналам. Отыскание классов подобных систем для различных комбинаций входных сигналов основывается на теории линейных векторных пространств и на общей теории преобразования этих пространств.
Основные понятия пространства сигналов, трактуемого как векторное пространство, были изложены в 9 4.8 и 4.9. Применение этих понятий к задаче синтеза цепей, подчиняющихся обобщенному принципу суперпозиции, рассматривается в следующем параграфе. Предварительно поясним принцип построения подобных цепей для одного частного случая, основываясь на физических представлениях. РассмотРим обРаботкУ мУльтипликативного сигнала з (1) = з, (1) вз (1) и поставим перед собой задачу преобразования его к виду суммы х (1) = = х, (1) + х, (1).
Искомый оператор преобразования обозначим символом В. Математически поставленная выше задача сводится к требованию В [з (1)! = В Ь, (1) з, (1)! = 0 Ьг (1)! + 0 Ь, (1)!. (16.!) Известно, что единственной непрерывной функцией, удовлетворяющей функциональному уравнению (16.1), является логарифмическая функция. Следовательно, оператор В соответствует логарифму и нелинейное устройство, осуществляющее требуемое преобразование', должно иметь характеристику вида х = 0 (з) = 1ой з.
Сигнал иа выходе этого устройства х (1) = !ОЯ Ь(1)! = !ОЯ Ь1(г)'Бе (1)! = 1ОД [Вз (1)! + 1ОЯ Ьз (1)! = х1 (Г)+ +х, (1). (16. 2) В данном случае для упрощения мы ограничились рассмотрением действительных и ненулевых функций з, (1) ) 0 и з, (1) ) О. По своему частотному спектру, а следовательно и по форме еигналы х, (1) и х, (1) отличаются от з, (г) и з, (1). Существенно, однако, что сумму х (1)= = х, (1) + х, (1) можно обрабатывать (фильтровать) с помощью обычной линейной цепи. Обозначим через у, (1) и у, (1) сигналы на выходе линейного фильтра Е, осуществляющего фильтрацию сигналов х, (1) и х, (1).
Поскольку последние имеют смысл логарифмов з, (1) и з, (1), то у, (1) и уз (1) можно рассматривать как логарифмы выходных сигналов зы„„(1) и з„„(1). Тогда возникает задача, обратная по отношению к (16.2): как перейти от суммы у, (1) + у, (1) к произведению з,'„„(1) = в„„„(1).
з„„(1). Преобразованием, обратным логарифмированию, является потенцирование. Оператор такого преобразования обозначим В-'. Тогда характеристика нелинейного элемента, осуществляющего обратное преобразование, должна иметь вид зьм (1) = 0-' (у), так что звь,в(1) =В з [у(1)! ехр[уг(1) +ув(1)! — еаз и> ею щ — еы'гвыв ~в Х (16.3) ' Здесь и в дальнейшем Мд обозначает операцию логарифмирования. При вынладнах и вычислениях используются натуральные логарифмы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
