Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986) (1095423), страница 108
Текст из файла (страница 108)
Кеистр с.,(т) сигнала з~(1), измерения весьма малых задержек показанного на рис. 16.16 и кенстр даже при наличии помех. В данном и и и=0,8 и задержке )р= п имере минимальная измеряемая задержка 1о составляет всего лишь бар от длительности импульса. Для реализации такого же разрешения путем укорочения зондирующего импульса его длительность должна быть не больше 0,25 мкс.
Сопоставим полученный результат с тем, который можно получить с помощью метода корреляционной функции. Заметим, что структурная схема, показанная на рис. 16.11, отличается от схемы рис. 12.44 только наличием операции логарифмирования. Определим корреляционную функцию сигнала з (т) = з, (т) + рхз, (т — т,) выражением В,(т) = — ~ ~ Я(егмг) ~ соз(тгоТ)г((гоТ). С помощью процедуры, использованной при выводе выражений (1 6.25)— (! 6.28), нетрудно прийти к следующему результату: В,(т) =(1-1-аз) Вр,(т)+иВгн(т — тр)+аВрр(т+тр). Даже при а -ь 1 и отсутствии помехи определение задержки по функции В, (т) возможно лишь при задержках 1„не меньших чем т„!2.
Этот результат иллюстрирует эффект, обусловленный введением операции логарифмирования перед преобразованием Фурье. Итак, кепстральная обработка позволяет существенно облегчить определение задержки, Однако этот выигрь1ш достигается весьма дорогой ценой. Требуется применение широкополосного тракта обработки с очень низким уровнем шумов, поскольку уровень спектральной плотности полезного сигнала в центральной части диапазона О, 1!Т чрезвычайно низок. Так, при гоТ = 0 ~ 8,(ег )1 (АТ)' (16.32) ,— Рг)Р (ЬТ)Р а на частоте гоТ = и (1+е аг) (16.33) 484 Отношение )$, (е'") )э7)8, (е") !' при ЬТ = О 05 уменьшается до (О 05)2)' ж 4 1О-' — — 64 дБ.
Задача существенно облегчается при использовании сигналов, спектр которых убывает пропорционально 1/ы [а не 1/е', как в (16.29)). 16.8. ВЛИЯНИЕ ПОМЕХ Э„= — ( о'(а) йо; 2л,) помехи Э, = Т, о,' = Т,, — ~ )Ут„(в) йы, (16.34) (16.35) где и„— средняя мощность помехи, которая действует на отрезке времени Т„совпадающем с длительностью обрабатываемого сигнала з (!). Из последнего выражения вытекает, что величина Т„)й',„(со) имеет смысл гпектральной плотноггпи энергии пожеки. Таким образом, отношение т) (ы) = 3' (ыУ Те )Р', (ы) (16.36) характеризует отношение спектральных плотностей энергии сигнала з (!) и помехи х (!) на входе устройства. После дискретизации э (!) и к (1) с шагом Т функция Э' (ы) преобразуется в Э) (ы) =,— „,, Э' (ы), а )е', (ы) — в %' т (ы) = —,, !Р',, (ы) (см. 4' 2.17), ! 1 но их соотношение остается прежним, поэтому функцию и (а), записанную в форме (16.36) или в несколько иной форме ду (м) 5у (и) 5т (ы) 1!(ы) — — —., У =Т„)Т, (16.37) т,.
в', ! ) т в'„! ),'т' н — )г (и» т А можно трактовать как отношение энергетических спектров сигнала и помехи на входе логарифмической нелинейности. Для выявления взаимодействия сигнала и помехи в указанной нелинейности обратимся к структурной схеме на рис. 16.!1 и допустим, что на полезный сигнал э (1) накладывается (аддитивно) одна из реализаций случайного процесса к (!), После дискретного преобразования Фурье (на выходе БПФ) получим совокупность спектральных коэффициентов (Ут (и)), и = О.
1, ..., У вЂ” 1, где У т (и ) = 3 т (и) + Х т (и), Кепстральная обработка, основанная на логарифмической нелинейности, весьма чувствительна к воздействию помех. Для оценки допустимого уровня помехи рассмотрим следующую модель: входной сигнал з (!), длительность которого Т, и спектральная плотность Ю (ю) известны, действует на фоне помехи х (!), являющейся стационарным случайным процессом с заданной спектральной плотностью мощности )р'„(ы).
Отношение сигнал-помеха на входе устройства определим как отношение соответствующих энергий: сигнала причем случайная величина Хт (п) е)Олл — спектральный коэффициент (комплексный) реализации х (() на дискретной частоте еь = пел,. Определим квадрат модуля ! Мт (л) !" =(5т (п) 4 Х т (л) ! !Вт (п) + )(т (п)! = = Я (л) + Кт (п) + Ят (л) Хт (и) соз (О „— 9„„) =ьт (п) ~ 1+ Х х' !л) лт (л) с 5 !л) Хт !л) а после логарифмирования получим ! и ) т'т (п) !е =1и от (л)+!п 1+ Хте (л) и() ! Зт )л) Хт (л) +1п 1+ соз(9„„— 9„,) Зть(л) ) Х;(л) Применение к совокупности (1и 5т (л)), п=0,1,..., Ф вЂ” 1, ОБПФ дает в соответствии с (16.22) истинный кепстр сигнала э (т), остальные же два слагаемых приводят к ложным отсчетам. В реальных условиях кепстральная обработка имеет смысл при значительном превышении сигнала над помехой. Это позволяет упростить оценку влияния помехи.
Во-первых, при статистическом усреднении по множеству реализаций слагаемое, содержащее множитель соз (О,„— 9„„), обращается в нуль, поскольку начальная фаза помехи О„случайна и равновероятна в интервале — л «О„л( л. Во-вторых, при выполнении условия Бт )) У))тл (а))Т с вероятностью, близкой к единице, спРаведливо неРавенство Хт (п))Вть (л) (( 1, ПоэтомУ можно исходить из приближенного равенства !п ! 1 Хт ь(пУ(Зт (и)! ж Хт (п)(Бт (п) (( 1 Если указанное неравенство выполняется для всех значений л или, что то же, для всех частот спектра в диапазоне от еь = 0 до в =- л!Т, то ошибка при определении кепстра незначительна.
Степень сложности выполнения этого требования при заданном сигнале э (т) зависит от формы энергетического спектра помехи. Наиболее сложная ситуация возникает при помехе в виде белого шума. В этом случае величина Ртл(в)(Т= % !Т=о'„ есть не что иное, как средняя мощность белого шума в полосе частот 1!Т, так что отношение (16.37) принимает вид Ч (0)) = Гт (03)/Упе. (16.38) С повышением еь функция Вт (ы), а следовательно, и Ч (ы) быстро убывают. Проиллюстрнруем это на примере сигнала э, (1) из предыдущего параграфа, когда под помехой подразумевается шум квантования в АЦП.
Составим отношение, аналогичное (16.38), при замене $т (ьь) на !8, (е"'т) !'. Основываясь на (16.31'), получаем (А те — ьт) ь Ч (еь)- () 2е — ьт ель му ! е ты) Целесообразно выразить т) (от) через отношение полных энергий сигнала и помехи на входе логарифмической нелинейности: А» 3,=) а(ьй-А! е — "'й —, э,= $ „- »ут, о Э, А' 1 (АТ)«4 (ЬТ)» е — тьт Э вЂ”,, Ч(ы)- Эх 45» о»х ЬтТ 4(ЬТ!» 74о~ (1 2« — ьт соа му+ е хат)а Эх Потребуем, чтобы в точке «лТ = л, в которой спектральная плотность минимальна, выполнялось условие т( (о») = 10. При ЬТ = 0,05 это условие приводит к равенству 10 =4 (О'05)»0'9 Э (1+0 95)«Эх или Э,/Э„З,! ° 10»-ь55 дБ Реализация устройства кепстральной обработки при столь жестком требовании к Э,7Э, является сложной проблемой. Для ее упрощения целесообразно, как ранее уже отмечалось, применять сигналы со спектром, убывающим медленнее, чем в рассмотренном примере. Но при этом следует помнить, что при неизменном шаге дискретизации Т снижение скорости убывания спектра приводит к ошибкам измерения из-за перекрытия спектров на участке вблизи точки отТ = л.
Для ослабления влияния шумов на результат обработки функцию !и (8 (иЦ'передОБПФ(см. рис. 16.11) обрабатывают спектральным «окном», выделяя те составляющие, где т( (е») => !. При этом разрешающая способность в кепстральной области определяется функцией «окна», Известны и иные способы повышения разрешающей способности, при которых вместо ОБПФ используются современные методы спектрального анализа (спектрального оценивания), такие как авторегрессионные методы, метод максимальной энтропии и др.
'. Сущность этих методов заключается в определенной экстраполяции измеренного процесса вместо того, чтобы полагать процесс равным нулю за пределами спектрального окна. На основе исходного дискретного сигнала (в рассматриваемом случае !п(8 (и)!') строится адаптивный фильтр, согласованный с сигналом, причем степень согласования зависит от априорной информации о сигнале. 16.9. КОМПЛЕКСНЫЛ КЕГ1СТР В задачах, требующих не только определения задержки и относительного уровня отраженного сигнала, но и выявления формы сигналов, необходимо учитывать их фазовые характеристики. Поэтому при определении кепстра следует исходить из комплексной спектральной плотности сигнала, а не только из ее модуля !как в выражениях (16.20) — (16.28)).
' См.: 1) Аввакумов С. Ю., Александров А. И., Метелкин В. Н., Финкельштейн М. И. Кепстральиаа обработка сигналов в эадачах подповерхностной радиолбкации.— Радиотехнииа н электроника, 1984, т. 24, № 11,; 2! ТИЙЭР. Тематический выпуск «Спектральное оцениваииеь 1982, т. 70, № 9. 487 Комплексный кепстр континуального сигнала з (!) определяется выраже- нием С, ((!) = — ( !п $ (ш) е'еа йо, 2л (16.39) а дискретного сигнала з (т) — выражением С«(т) = — (!) 1и Я (2) 2"' ) ((2 2л( 7 (16.40) Таким образом, кепстр С, (О) дельта-функции б (!) равен нучю. В данном случае кепстральное преобразование полностью подавляет дельта-функцяю. Кепстр той же функции, взятой с весом а, т.
е. прн з (!) = аб ((), а ) О. 8 (ы) = а, 1и 8 (е)) = 1и а ! (' С! (!)) — ( 1и а е(на ((ы=1паб(д). 2л,) Пря а (! весовой коэффициент 1и а отрицателен, прн а ) 1 — положителен, Пусть сигнал з (О задан в виде последовательностя (18.43) 1 з (О= ~р б (( — л(а), (а) О. л1 «=О Тогда 8( )=У вЂ”. '" ', л) =О а с учетом соотношения ~ лабы = е" а=а 8 (о))=ехр (е ~~О), 1и 8 (ь)) = е 488 или эквивалентным ему выражением С,(т) = — ~ 1п $(е!"г) е! г(((шТ).
(16.41) 2л — л Преобразования сигнала з ((), приводящие к С, (!)), представлены иа рис. 16.7, а; аналогичные преобразования дискретного сигнала з (т) представлены на рис. 16.7, б. Отмеченное в 8 16.5 требование сходимости интеграла в выражении (16.9) относится также и к определению комплексного кепстра, Главной же особенностью комплексного кепстра является его зависимость от неоднозначного аргумента комплексного логарифма, так как е а '"' = е ° ' '+! з'", где (О И«) (О (е) + Изл й — любое целое число.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
