Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986) (1095423), страница 103
Текст из файла (страница 103)
! 5.! 5 (на интервале 0 ( ыТ ( ( 2п). 3. Задан цифровой ФНЧ с АЧХ, прнблнженно совпадающей с гауссовской кривой: 15.11. СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ Как и аналоговые, цифровые фильтры обычно синтезируются на основе передаточной функции, представленной в виде рациональной дроби (12.33).
В результате соответствующей аппроксимации заданной передаточной функции К (г) определяется положение нулей и полюсов на г-плоскости, после чего находятся весовые коэффициенты а„и Ь, входящие в (12.34). Цифровой фильтр можно реализовать либо в виде совокупности простых звеньев (первого или второго порядка), либо в виде канонической схемы, описанной в 3 12.3 (см. рис.
12.6). При разбиении фильтра на простые звенья отпадают все ограничения, отмеченные в э 15.2 по отношению к аналоговым цепям. В цифровых цепях вопросы согласования входных, выходных и нагрузочных сопротивлений, а также вопросы развязки отдельных звеньев вообще не возникают. В связи с этим наряду с каскадным (последовательным) соединением простых звеньев широко применяется их параллельное включение. В первом случае функция (12.33) записывается в виде произведения простых множителей, каждый из которых является передаточной функцией звена (см. аналогичное разбиение в з 15.2). Во втором случае функция (12.33) разлагается на простые дроби К(г) =Аа — — — Аа Е 4) (1 Р(г) 1 где Ад= ! — вычет функции К(г)/Аа в полюсе г,д.
РЕ(.) 7л ~...„ Если знаменатель 9 (г) содержит всего т корней, из которых т,— число вещественных (лежащих на действительной оси), а т, — число комплексно- сопряженных пар корней (т = т, + 2т,), то Ад ~~ |Ад + Ад Это выражение легко приводится к виду а| | «||+а|, К(г) = А, 2„АЬ + 2'„,"" '+"'д 1, г — гад г' — Ь,д г — Ь,д д ! д «|,+! где аад — — 2йе(Ад); а,д — — — 2(йе(г д) йе(Ад) +!|п(Лад)1|п(Ад)); Ь!д = 2йе(г д); Ь,д = — !г д!', Как в каскадной, так и в параллельной схеме отдельные звенья реали- зуются по схеме, описанной в 3 12.8 (см. рис. 12.21). Весовые коэффициенты звена второго порядка определяются по формуле (12.57), а звена первого порядка — непосредственно из передаточной функции звена.
Существенно различны подходы к синтезу трансверсальных и рекурсив- ных фильтров. В 2 ! 2.2 отмечалось, что передаточная функция трансверсального фильт- ра не имеет полюсов и импульсная характеристика является ограниченной последовательностью (д(й)), А = 0,1,..., Н, содержащей Ы = Н+ 1 от- счетов, где Н вЂ” число элементов памяти, а значения а(й) равны весовым коэффициентам фильтра ад. Из этого следует, что задание'я|впульсной ха- рактеристики д (А) непосредственно определяет как структуру трансверсаль- 462 ил ного фильтра, так и его передаточ ную функцию К (г) = па+а, г-'+ах г-Я -',.
+ ... +пнг-". а, аг б1 аа Рис. 15.17. Симметричная (а) и антнснм. метричиая (б) имиульсиме характеристики траисверсальиото фильтра К (е'"т) =ае+а, е '""+ па е 'т"т + па е а"~+па е — м"т. Соответствующая этой передаточной функции импульсная характеристи- ка д (й) представлена на рис. 15.17, а. Наложим условие симметрии весовых коэффициентов, т. е. ар — — а,, а, = а„и вынесем за скобки множитель е-'т"т: К(еььт)=е — ьвтт(псе!™ (-пьеь™+а +аае наг+в е — амт) = -)- е- а '"'т) '1 2аа соз 2аТ + 2а, соз аТ + ат1, Выбор знака плюс или минус перед правой частью приведенного выра- жения зависит от соотношения коэффициентов а„а, н а„а также от нх зна- ков, фазовая же характеристика ф (аТ) лингйна и определяется как х) — 1 ~р (аТ) = — аТ = йаТ, 2 где й = 1,2, 3,...
при нечетных значениях А( «» 3. При четных А( ) 2 это выражение принимает вид ф(аТ)=йаТу2, й= 1, 3, 5„., Фильтры с линейной ФЧХ можно осуществить также при антисимметрич- ной импульсной характеристике (рис. 15,17, б). Трансверсальные фильтры с линейной ФЧХ применяются в дифферен- цирующих устройствах, а также при исследовании различных систем с не- линейными ФЧХ. Большое число элементов памяти и весовых коэффициен- тов, достигающее сотен, не является препятствием при использовании микро- электронной аппаратуры.
15.!2. СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ ПО АНАЛОГОВОМУ ПРОТОТИПУ Пусть задан аналоговый фильтр с передаточной функцией Кл ((а) и импульсной характеристикой д, (() и требуется построить эквивалентный ему (в определенном смысле) цифровой фильтр. Рассмотрим физически наглядный, хотя и не во всех задачах эффективный, способ, основанный на дискретизации дифференциального уравнения, В случае же рекурсивного фильтра структура и весовые коэффициенты более сложным образом связаны с импульсной характеристикой и передаточной функцией. Эти вопросы рассматриваются в следующем параграфе.
Здесь мы рассмотрим некоторые особенности синтеза трансверсальных фильтров. В 3 12.8 и 15.10 приводились примеры простейших трансверсальных фильтров со строго линейной ФЧХ. Выявим требования к весовым коэффициентам, при которых обеспечивается линейность ФЧХ при любом значении А(. Используем для этого выражение (12.9) и для сокращения записи ограничимся значением Н *= 4, т. е. А1 = 5: описывающего исходную аналоговую цепь. Подобный прием был использован в 28.18. Для сокращения выкладок обратимся к простейшему четырехполюснику, представленному на рис.15.18. Передаточная функция и импульсная характеристика этого четырехполюсника Ка (р) = 1/(1 + РСр), Ра (Е) = е — !/х (15.63) Выпишем основные соотношения между е (Е), и„,„(Е) и с' (Е): (Е) С ~~вых (!) (Е) е (Е) Ес ' (Е) е(Е )оС ~живых (О ш ш + — и,„,(Е) = — е(Е).
с!Е РС ЯС (15.64) Используя соответствие (8.!13), переписываем (15.64) в форме ивых (Е) ивых (! Т) Т (15. 65) Переходя к дискретному времени Е = тТ и повторяя рассуждения, приведшие к (8.114), получаем разноетное уравнение и,„„(п!Т) = — е (тТ) + — и, (тТ вЂ” Т), т = ЕсС. (15,66) т+Т с+Т Этому уравнению соответствует цифровой рекурсивный фильтр первого порядка с передаточной функцией и импульсной характеристикой [см.
(12.11) и (12.46)) К,(р)= ", д(ЬТ) =Ьа. 1 — Ь,е (15.67) Весовые коэффициенты синтезируемого фильтра должны быть а = Т/( с + Т) =, Ь, = т/(т + Т) =! /(! + Т/т). 1+Т/т (! 5.68) Сопоставим полученные характеристики Кт (р), д ЯТ) с соответствующими характеристиками исходного (аналогового) фильтра К, (р), д, (Е). Сначала сравним АЧХ К, (оо) и Кг (оо): К:(а)= ', = ', К1(ю)= ! 1+/2С/ы р 1+(ол)в ! 1 — Ь, е !"г !' а1 1-(-61 — 2ьх соа ыТ Подставив в последнее выражение а, и Ь, из формул (15,68), получим К( (со)— 1+(11- Т/т)х — 2 (1+Т/т) соа ыТ Р Г=~» Ъ ы~ ~~~~ ~ ..в Рис. 15.!а, Цепь, описываемая дифференциальным уравнением (1о.аа) При уменыпении шага дискретизации Т до значения, малого по сравнению с т, аргумент косинуса ыТ в области частот, соизмеримых с 1/т, отвечает условию 4пТ (( 1, так что соз 4вТ = 1 — (аТ)п/2.
При этом (т/т1п 1 Кг (<и) т т (т/ !и+(пт! ,-— („т! 14 (~,)2+ — (,)и С помощью этого выражения легко оценивать влияние Т на отклонение Кг (4п) от К, (а). ПРи Т/г ( 0,2 это выРажение несУщественно отличается от К, '(сп). Обратимся к сравнению импульсных характеристик д ЯТ) и у, (/). При Т/т (( ! можно положить Ь, = 1/(1 + Т/т) = (! — Т/т) е — г/'.
Тогда д (ЬТ) =- апбп ж а, е — "г/', т, е. д (ЬТ) отличается от дп (ЬТ) только постоянным коэффициентом (а, вместо 1/т). Итак, для удовлетворительного совпадения характеристик цифрового и аналогового фильтров в данном примере требуется выполнение условия Т/т ( 0,2. При более сложных цепях синтез, основанный на дискретизации дифференциального уравнения, становится громоздким.
Более эффективен способ синтеза цифровых фильтров по заданным полюсам и нулям передаточной функции К, (р) аналогового прототипа на р-плоскости. Задача синтеза при этом сводится к рациональному выбору оператора преобразования р-плоскости в г-плоскость.
От выбранного оператора зависят свойства и характеристики цифрового фильтра. Наиболее простым оператором преобразования является соотношение г = епг, использованное в гл. 12. В этом слУчае полюсы гп и нУли г,„определяются равенствами гпту =Е'п~а гоп =Е пп (15.69) Метод, основанный на операторе г = епг, иногда называют и е т одом ст аида ртн ого г-преобразования, Выясним степень приближения характеристик синтезируемого цифрового фильтра к аналоговой модели на примере рассмотренного выше четырехполюсника (см. рис.
!5.!8). Передаточная функция К, (р), определяемая выражением (15.63), имеет один полюс р, = -1ЯС= -1/с. Основываясь на (15.69), находим полюс на г-плоскости г„=е' =е /' =е Тогда К /г) = 1/(1 — гп г ~) = 1/(1 — е — г/ио г-1) К (Е«'~Г) 1/(! Š— т/и Š— 1пт! (15.70) и АЧХ фильтра ) К (1п) ( = ! / )/ 1 + е — ггуп — 2е — гм соз аТ. (15.71) Далее, импульсная характеристика а (вТ) = е — пг/' (см. (12.46)). Замечаем, что а (ЬТ) совпадает (с точностью до постоянного коэффициента 1/т) с импульсной характеристикой а, (1) =- (1/т) е — Ч', дискретизованной с шагом Т, причем это совпадение не зависит от Т (в отличие от метода, основанного на дискретизации дифференциального уравнения цепи).
Аналогичный результат имеет место и для более сложных цепей. 465 В связи с этим метод синтеза, основанный на стандартном преобразовании г = ео', получил название метода, инвариантного относительно им'пульсной характеристики. При этом, однако, АЧХ цифрового фильтра может существенно отличаться от АЧХ аналогового прототипа, что было объяснено и проиллюстрировано'в $ 12.8, п.
2. 15.13, МЕТОД ИНВАРИАНТНЫХ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК Для осуществления синтеза, инвариантного по отношению к АЧХ, следует применить преобразование, при котором бы вся мнимая ось йв р-плоскости отображалась на г-плоскости одним обходом окружности радиуса )г! = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
