Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986) (1095423), страница 105
Текст из файла (страница 105)
469 (+) (+) д ( ) ( ° ) 27 <+) (+) <ой[ ! з<г)- х<47- 8(<е1 зг<Г) аЯ~лг(Г) езр[ ! у<с)- зьых <с) У Ж«Угг«) з«ьыхых'о«ем«Ж Рис. (6.(. Пример нелинейной системы, подчиняющейся принципу суперпозиция 16.2. ОБОБ[ЦЕННАЯ СХЕМА ГОМОМОРФНОЛ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ Если сигналы на входе и выходе рассматриваемой системы трактовать как элементы векторного пространства, то любое' преобразование Н [з (1)[, осуществляемое системой над сигналом з (Г), является преобразованием пространства сигналов. Такое преобразование переводит элементы з„хг,... пространства входных сигналов в элементы з, „(1), з„ы„(Г), ...
пространства выходных сигналов, причемз„„„(!) = Й [зт (1)[, зг„„(г) = Н [зг(1)!. Рассмотрим теперь преобразование входного сигнала, являющегося некоторой комбинацией двух сигналов з, (1) и з, (1). Как уже ранее отмечалось, для обработки сигналов в радиоэлектронике наибольший интерес представляют следующие три комбинации: сложение, умножение и свертка. Обобщим эти операции символом С), т. е. з (() = з, (1) С) зг (1). Каждому сигналу з (1) соответствует вполне определенный элемент з,ы„(<) = Н [з (1) ! в пространстве выходных сигналов, однако различным операциям — суммированию, умножению или свертке соответствует определенный оператор: Н„Н, или Н,. 470 Между двумя нелинейными элементами, осуществлякицими преобразования В и 0-', должно быть включено линейное устройство Е для фильтрации сигналов х, (1) и х, (г), т.
е, для осуществления основной линейной обработки. В результате приходим к схеме обработки, представленной на рис. 16.!. Как обозначено на этом рисунке, нелинейный элемент О преобразует произведение ( ) в сумму (+), линейный элемент 1. сохраняет операции суммирования (+) и (+), а нелинейный элемент 0-' преобразует сумму в произведение.
Применение подобной обработки целесообразно в тех случаях, когда с помощью линейного устройства (. возможно разделять по частотному признаку сигналы х, (1) и хг (г) и изменять в желательном направлении соотношение между уровнями сигналов у, (1) и у, (!). Пусть, например, спектры функций у, (1) и у, (1) не перекрываются, а линейный фильтр (. пропускает только сигнал у, (1). Тогда выражение (16.3) принимает следующий вид: х „(1)=О-~[у(()[=ехр[у,(Г)+0[=е«п) =е" 'еыг н=хт (!).
(!63') Аналогично при режекции сигнала у, (1) получим з„ыи (!). Таким образом можно осуществить разделение сигналов. Система, представленная на рис. !6.1, в целом подчиняется обобщенному принципу суперпозиции, в данном случае по отношению к сигналу з (1)= = зт (1) зг (1), так как в этой системе между сигналами зг (г) и з, (Г) отсутствует взаимодействие и соотношение между хт „„(1) и з, ((), а также между и зг (Г) определяется только линейным устройством 1.. Именно в'этом смысле в дальнейшем будет трактоваться термин «обобщенный принцип суперпозици ия. Можно синтезировать систему, осуществляющую такое преобразование входного сигнала я (Е) = я, (Е) П я, (Е), при котором сигнал на выходе будет иметь вид я,„, (Е) = Н [я, (Е)1 О Н Ь, (Е),1, где Π— обозначение (общее) операций над элементами пространства выходных сигналов (сложенне, умножение, свертка), причем операция Оможет не совпадать с операцией П.
Для такой системы имеет место следующее соотношение: (16.4) Н1я,(Е) [ ) я,(Е)] =Н [я1(Е)1ОН [яг(Е)]. Имеется в виду однозначное, но не обязательно взаимно-однозначное преобразование. Примером невзаимно-однозначного преобразования может служить операция квадрирования Н Ь (Е)1 = [я (Е)]". Каждому значению я (Е) соответствует одно-единственное значение У (Е) в пространстве выходных сигналов, при обратном же преобразовании получим два возможных значения ь-я (Е) .
Преобразование векторного пространства, отвечающее равенству (16.4), называется г о м о м о р ф н ы м (в отличие от обратимого, изоморфного преобразования), а системы, осуществляющие такое преобразование, называются г о м о м о р ф н ы м и относительно операции П на входе и операции О на выходе системы. В частном случае П = О (+) выражение (16.4) переходит в соотношение Н [я, (Е)+яг (Е)1 Н Ь1 (Е)1 + Н [яг (Е)1, (16.6) соответствующее формулировке принципа суперпозиции для обычной линейкой системе [см. (!.!)1. С этой точки зрения выражение (!6.4) можно трактовать как обоби]ение принципа суперпозиции.
Пространство выходных сигналов, как и исходное, является линейным векторным пространством, хотя сам оператор преобразования Н [ ] может быть нелинейным. Проиллюстрируем смысл этого обобщения на нескольких примерах. 1. Система, осуществляющая преобразование Фурье сигнала я (Е) = — я (Е) + яя (Е). В данном случае П = О = (+ ) и у [я (Е)] — ЕГ [я, (Е) .( я, (Е)] = Я' [я, (Е)] -~-;7 [я, (Е)] = 8, (е) + 6г (ы) (16 6) — чисто линейное преобразование. Аналогичное соотношение можно написать и для г-преобразования, обозначаемого через $ ! 1: $ [я (Е)1 $ [я, (Е) +я, (Е)]= $!я, (Е)1+ $ Ь (Е)1 = $, (г) +- Я, (г). (16 7) Выражения (!6.6), (!6.7) соответствуют определению принципа суперпозиции для линейной системы. 2.
Система, осуществляющая преобразование сигнала я (Е) = я, (Е) я, (Е) в сумму х (Е) = х, (Е) + х, (Е). В данном примере П вЂ” ( ), О -«(+). В соответствии с предыдущим параграфом !см. (!6.2)1 оператор Н есть функция логарифмирования [оа: Н!я (Е)1 = Н [Я, (Е) ° я, (Е) ! = !ОЯ [ я, (Е) . я, (Е) 1 = ]ОД я, (Е) + 1оа я, (Е), я,) О, яг) О. (!6.8) В данном случае гомоморфное преобразование с помощью нелинейного элемента (с логарифмической характеристикой) переводит операцию умножения в операцию сложения, что и обеспечивает применимость принципа суперпозиции к выходным сигналам.
3. Система, осуществляющая преобразование Фурье сигнала, представляющего собой свертку коитинуальных сигналов а, (1) = в, (1)аза(1) или свертку дискретных сигналов в (вг) = з, (т) З з, (т). Известно, что свертке функций времени соответствует произведение их спектральных плотностей [см. (2.64)]; следовательно, в данном случае П обозначает свертку а или 8, а Π— умножение ( ). Таким образом, для аналогового сигнала .Т [з (1)! =- Т [зг (1)а а (Г)! = Г [з (1)! К [ва (1)! = 6г (го) 6 (го) и для дискретного сигнала (16,9) что и обеспечивает применимость принципа суперпозиции.
4. Система, осуществляющая преобразование операции сложения сигналов в операцию их умножения. В э 16.1 показано, что для такого преобразования требуется нелинейный элемент с характеристикой х (1) = ехр [з (1)] [см. (16.3)]. Приведенные выше рассуждения, а также примеры позволяют обобщить намеченную в 5 16.1 систему гомоморфной обработки так, как это показано иа рис. 16.2. Обобщенная, так называемая к а н о н и ч е с к а я система гомоморфной обработки состоит из трех каскадов.
Первая система Рг1, в общем случае нелинейная, обладающая свойством ]111 [зг (1)( ]з (1)! =]112 [зг (1)]+ Ор [за (1)! = хг (1) +х (1), (16.11) подчиняется обобщенному принципу суперпозиции со входной операцией С] и выходног1 операцией (+) (см. обозначения на рис. 16.2). Система ])61 называется характеристической системой гомоморфной обработки.
Система Е, являющаяся обычной линейной цепью, удовлетворяет условию 1. [х, (1) + ха (1)! = 1. [х, (1)! + А[ха (1)! = у, (1) + у, (1) и выполняет н() Га 1+) [+) ня ее7 о] 1 ва и Гс] У ® 1замх (22 до в%1 1 Рис. 16.2. Каноническая система гомоморфной обработки й[Я(т)! =из (вг)йз (ит)! =% [51(гп)]4%(т)! = $ (2).6 (г), (16.10) где $ [ ], как и в п. 1, обозначает г-преобразование. В рассматриваемом примере гомоморфное преобразование, переводящее операцию свертки в операцию умножения„является линейным (это относится как к К [ ], так и к $ [ !). Оба эти преобразования обратимы, так как каждому прямому преобразованию соответствует однозначное обратное преобразование.
Иными словами, преобразование Фурье и г-преобразование изоморфны. Дополнительное гомоморфное преобразование с помощью логарифмической нелинейности (как в примере 2) приводит к сумме функций вида 1ОЯЯч(го) + 1Ойза(го) или 1ОЯ Ьг(И)+1ОЯ Ьа(Е), основную функцию по раздельной обработке (фильтрации) сигналов х, (!) и х , (!), Наконец, система РО', преобразующая операцию сложения в выходную операцию ! 1, удовлетворяет условию Рг'[у (!)+ух(1))=Ро'[у,(!)[ОРо'[у~(!)!=з~вьх(1)Озгвых(!) (16.12) Преобразование Р-' является обратным по отношению к преобразованию Р. Если Р— система нелинейная, то и Р-' — нелинейная система. В последующих параграфах поясняется выбор характеристических систем Рг! и Р о' для двух классов сигналов — произведения и свертки. 16.3. ГОМОМОРФНАЯ ОБРАБОТКА МУЛЬТИПЛИКАТИВНОГО СИГНАЛА Структурная схема обработки мультипликативного сигнала представлена на рис.
16.1 н описана в $ 16.1. Наложенные при анализе этой схемы ограничения — действительные и ненулевые сигналы з, (г) и а, (г), а также разнесенность или несущественное перекрытие их спектров не препятствуют применению гомоморфной обработки в ряде важных для практики задач. К таким задачам относится, в частности, обработка сигналов телевизионного изображения. Дело в том, что, как правило, яркость фона на экране изменяется медленно, а контрастность иэображения определяется высокочастотными изменениями сигнала, так что результирующий эффект можно считать пропорциональным произведению двух сигналов — низкочастотного з, (1) и высокочастотного з, (г).
По своей природе эти сигналы являются действительными и положительными функциями времеки. Примерный вид сигналов з, (!), э, (Г) и з (!) представлен на рис. 16.3, а. Запишем их в форме э~ (Г) = Ам -[- Аз~ (!) ) 0 зз (!) = Ам+ Аэх (!) ) О, где А„и А„— постоянные составляющие соответственно функции з, (!) и зх () Тогда э (!) = э~ (!)'эз (!) 4мАоэ+ 40яйэ~ (!) + Ам Азз (1) + М (!)'Азе (1). В связи с тем, что сигнал э, (Г) изменяется в широком динамическом диапазоне, соответственно изменяется и сигнал з (Г).
Это предъявляет жесткие требования к линейности амплитудной характеристики телевизионного тракта. Выгодно ослабить влияние з, (Г) и подчеркнуть сигнал з, (!), от которого зависит контрастность изображения. Для выявления возможности такой обработки рассмотрим спектры сигналов. Спектры исходных сигналов э, (Г) и э, (!) показаны на рис. !6.3, б и в. Дельта-функции относятся к спектральным плотностям постоянных составляющих А„и Амь а Яь, (ю) и Зь, (ы) обозначают спектры переменных составляющих Аэ, (Г) и Аз, (Г). Спектр результирующего сигнала э (!) представлен на рис.
16.4, а. Произведению Аэ, (г) ба, (г) соответствует свертка спектров Юд, (ы) и 5ь, (ы). С помощью обычных линейных фильтров можно отфильтровать постоянную составляющую и низкочастотную часть спектра в полосе от нуля до ы. Однако спектр Зь, (в) * Зь, (гв) ие поддается разделению с помощью ликейной фильтрации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
