Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986) (1095423), страница 107
Текст из файла (страница 107)
Во избежание путаннпы здесь сохранена формулировка, получившан распространение в литературе. 478 (16. 20') ' См, сноску на с. 469. 479 После фурье-преобразования, определения квадрата мо- 1,нЛ' «о1 дуля спектра, а также логарифмирования получаются функции 1п 5', («о) и !и К' (со), примерный вид которых представлен ' й «аман на рис. 16.10, а. ! ~ гн/т Функции !и $! («о), изменяющейся с периодом ! !Т, соответствует кепстр С„(д) в виде пика на сачтоте Т, медленному р б)) же изменению функции 1п К' («о) 1 1 соответствует кепстр Св (д) в 11 Г е'в«тоти, с виде импульса, расположенно- 5 Рнс.
16.10. Логарифмы функций 5,' (ю) го вблизи точки Ч = О (об д«(ю) (а) н соотаетстауюфщне нм кепстры ласть малого кепстрального (в! времени). Таким образом можно выявить основную частоту 17Т, а также получить некоторую информацию о форме АЧХ речевого тракта. В отличие от рассмотренной выше упрощенной модели со строго периодической пульсацией спектра 5, (ы) и с постоянной (во времени) передаточной функцией К (га) прн обработке реальных сигналов речи приходится иметь дело с «квазипериодическим» процессом, частота которого изменяется во времени. То же относится к функции К («а). Путем усреднения спектров по большому числу отрезков реализаций, в пределах которых функции Я (со) и К (ю) практически неизменны, удается выявить средние частоты и параметры тракта, необходимые для синтеза звуков речи.
Составим теперь выражекне для кепстра мощности цифрового сигнала. Основываясь на выражении (16.17), представим кепстр мощности дискретного сигнала в форме С,(т) = — 91 1п/ $(г) !аг'" — ' с(г (16.20) 2н1 или в эквивалентной форме (см. (12.28)1 С,(т) = — ) 1п ~ $(еь»т) (асов(оатТ) с((юТ). 2п,) Вычисление Са (т), как правило, производится с помощью БПФ. Для осуществления преобразований, эквивалентных алгоритму (16.20'), поступим следующим образом. Подвергнем входной сигнал в (1) дискретному преобразованию Фурье по формуле (12.!4): ив ан $(п) = ~ч('„з(т)е ", п=0, 1, ..., )у' — 1, (! 6.21) ~а=о в результате чего получим й7 спектральных коэффициентов входной последовательности (з (т)).
В 9 !2.6 было показано, что $ (п) совпадает со значением $ (е'"т) в точ- ен а — е ке г = е ", лежащей на окружности единичного радиуса: »н $(п) = $1е м ! =Ке$(п) +!1ш $(п). З,1т>знгГЛР Рнс. 16.11. Определение кепстрн мощности снернутого снгннла (ннфроного) Переходя к модулям )3 (и) !' = [1(е $ (п)1 '+ Пш Ь (и))е н логарифмируя, получаем А1 чисел вида 1п ! Ь (и)! '. Применив, наконец, ОДПФ Ч вЂ ! гн С,(т) = — '~~ 1п ) 6(а) !' е и, т = О, 1, ..., 2У вЂ” 1, М к=с (! 6.22) найдем кепснр мощности сигналов.
Алгоритм перечисленных выпье преобразований представлен на рис. !6.!1. Вычисление кепстра мощности дискретного сигнала будет рассмотрено в следующем параграфе.' !6.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАДЕРЖКИ СИГНАЛА В ряде областей техники приходится иметь дело с обработкой сигналов, являющихся суммой исходного (зонднрующего) сигнала и сигнала, отра- женного от различных объектов. К таким областям относятся радиолокация, сейсмология, акустика и др. Сигнал на входе устройства обработки можно представить в форме я (т) = я, (т) + а я, (т — то), а ( 1, где (Б, (т)), т = 0,1,..., 1е' — 1, — дискретизованный зондирующий сигнал, представляющий собой эквидистантную последовательность отсчетов с шагом Т; а я, (т — т,) — отраженный сигнал, который можно трактовать как задержанную на время 1, = т,Т копию исходного сигнала.
Пусть исходному сигналу (я, (т)) соответствует г -преобразование $, (г). Тогда г-преобразование последовательности ая, (т — т,) будет а6, (г)г- и а суммарного сигнала (я (т)). 6 (г) = Ь, (г) + а 6, (г) г — .а = Ь, 1г) (1 -1- аг — е) = $, (г) 6е (г). (16 24) Из (16.24) следует, что определяемый выражением (16.23) сигнал я (т) можно трактовать как свертку я (т) = я, (т) 9 я, (т), где я, (т) — сигнал, г-преобразование которого равно 1 + агсл ОО Таким сигналом является сумма двух дельтаяг("~ функций (рис. 16.12): я, (1) = б (1) + аб (1 — т,Т).
о'(г) "~(™ег! Это обстоятельство имеет фундаментальное значение, так как показывает, что широкий класс — задач в перечисленных ранее областях, в которых приходится иметь дело с отраженными сигРнс. 16.12. сигнал б!11+ налами, сводится к обработке свернутых сиг+об(1 — тот) палов. 480 Существенно, что множитель бв (з) = (1+ ах- ) в выражении (16.24), учитывающий задержку отраженного сигнала т„Т и коэффициент отражения а, от структуры спектра исходного сигнала не зависят.
Обратимся к (16.24) и, учитывая, что контур интегрирования в (16.20) совпадает с окружностью единичного радиуса на х -плоскости, подставим в множитель (1 + аз-"н) вместо х переменную е'"г. Тогда 1 Вс(е'"г) ~ =)! +ае 'ев г)е =(1+ аг-'" ° г) (1+аеас 7)= = 1 4- а'+ 2а соз (сете Т) . (16.
26) Таким образом, выражение (!6.24) позволяет составить следующее соотношение: 1п( Я(еьвг) !в=!и) 8,(еыг) !е+!п(1+а'+2асоз(ют,Т)). Примерный вид слагаемых правой части показан на рис. 16.13. Вычислим кепстр мощности по выражению (16.20'), которое на основании (!6.25) — (16.27) можно записать в форме (16,27) 1 Р 1 С,(т) = — ) 1п) 8,(е""г) !всоз(таТ)1((гаТ) + — 1п(1+ 2я,) 2п,! +ае ' "'г)'сон(тюТ) с((юТ) =С„(т) -1-С, (т). (16.
28) Как видно, информация о задержке (е содержится в кепстре Сее (т), поэтому вычисление начнем именно с С„(т), не уточняя пока структуры сигнала з, (т) и кепстра С„(т). д0 Рнс. 16.13. К выражению (16.27); а=0,8, те 10 481 16 зак .1все ~ 6(еьвг)~ =) Я, (е"'71~ !1+ав+2асоз(ютеТ)). (16.26) Из (16.26) видно, что наложение задержанной копии аз, (т — т,) на исходный сигнал з, (т) создает эффект модуляции спектра энергии !8, (е'"г) !' по закону 1+ а'+ 2а соз (~ете Т). Глубина модуляции определяется коэффициентом 2а/(1 + а'), а период модуляции равен 2и7те.
С аналогичным явлением мы встретились в примере предыдущего параграфа, где спектр энергии исходного сигнала также являлся периодической функцией ю. Прологарифмировав выражение (16,26), получим Основываясь на выражении (16.26), получаем [п ] 1+ ае — «ьи«мт]в ]п (1+ а е — ««««мт) +[п (1 +а е«л««ет) Так как ] ае — 1"« "т ]» 1, можно воспользоваться разложением 1п(1+х) =х — хв(2+хв[3 —... Тогда [п] 1 ««е — ««««мт]е ««(е — «л««ет [ е«е«,««т) (е — «т«««ет [ е«ве««<«т) ае 2 аа + — (е — 'з'" "и +с«в'"«ет) — .= 2асоз(теаТ) — с«'соз(2те«оТ)+ з «,а + — 2 сов(Зп1 аТ) —... з е Подставив этот результат во второе слагаемое в правой части (16.28), получим С„(т) = а — 1 соз [(т — те) аТ] с( (аТ) + — ~ соэ Кт+ т,) аТ] х г 1 2и — Л вЂ” и и и' ]1 (' х «((«еТ) — — « — ( соз Ит — 2т,) аТ] «] (аТ)+ 2 ~2и,[ + — 1 сов[(т+2те)аТ] с((аТ) + ...
2л,[ Очевидно, что С„(т) отлично от нуля только в точках т = -ь т,, т = -р. 2 тле и т. д., причем Ьти-ее и, 0,2 20 Е«т Ю 8«т трр т=тт'т Рис. 16.15. Сигиел в,(1) Ате-««, нормированный н величине А1Ь, ЬТ 0,05 Рис. 16Л4. Кепстр См(т) при а=0,8 482 С,е(те) =.С„( — т,) =а, С,е(2т,) = С,в( — 2т,) = — с«(2, С,,(Зт,)= = С„( — Зт,) = ае «'3, ... Кепстр С„(т) представлен на рнс. 16.14. Истинная задержка определяется по положению первого пика.
Найденный выше кепстр С„(т) наблюдается на фоне кепстра С„(т) исходного сигнала. Для надежного определения (е требуется достаточное превышение С„(т) над С„, (т), а также разнесение их на оси кепстрального времени тТ. Важно, чтобы кепстр С„(т) концентрировался вблизи начала отсчета кепстрального времени. Кроме того, кепстр С„(т) должен быть свободен от ложных пиков. Степень выполнения этих требований зависит от структуры спектра Я, («о) исходного сигнала з, (1). Некоторые соображения по этому вопросу приводятся в следующем параграфе. 16.7.
ПРИМЕР ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАДЕРЖКИ СИГНАЛА Для иллюстрации метода воспользуемся сигналом з, (1) в виде импульса (рис. 16.15) зь (1) = А(е — ь', Ь = О, 1 ) О. Импульс з, (1) достигает своего максимума при Ь( = 1, так что амплитуда импульса 22„,„= (АIЬ) Ь(е —" = (АIЬ) е — '. Спектральная плотность выбранной функции 5 (а) = А /(Ь + (а)'. (16. 29) Имея в виду цифровую обработку, переходим к дискретному времени 1 = тТ; тогда з (пь) =АТте ьт т=-О, 1, ..., Ф вЂ” 1, и максимальное значение отсчета сигнала зь (1) получается при тп = )!ЬТ (см. рис.
16.15). Перейдем от спектральной плотности (16.29) к г-преобразованию ьь — ! 22 — 1 52(епьт) =АТ ~~', лье Ь™ е !т™ =АТ ~ пье — !Ьт+ьмт! 'и (16 30) т=о т О Получилась арифметико-геометрическая прогрессия. Шаг дискретизации Т зададим из условия, чтобы нз длительность импульса приходилось достаточно большое число отсчетов 22', а постоянную Ь— — из условия Л!е — ьт (( 1. При этом верхний предел суммирования У вЂ” 1 в выражении (16.30) можно заменить на оо, что приводит к простому результату 5 (е2мт) — - АТ е — ьт е — Ьтт((1 е — ьт е — ьшт)2 (16.31) Модуль полученной функции ~ 5 (еьтт ! АТО 1 2 Π— ЬТсоьат ! Π— 2ЬТ !п( 52(етт)!2 !п(АТ)' 2ЬТ 21п (1 2е — ьтсозаТ+е — 2ьт) Применив к этому выражению формулу (16.20'), получим'.
при л2 = 0 С„(0) = 1п (АТ)' — 2ЬТ вЂ” 2 — ~ !п (1 — 2 е — ьт соз аТ+ е — 'ьт) д (аТ) о =1п (АТ)' — 2ЬТ; при п2~ 0 С,ь (Ьп) = — 2 — ~ !п (1 — 2 е — ьт соз аТ+ е — 'ьт) соз (таТ) ь((аТ) = ! Г о = — — ~ — — е— — 2ьтТ вЂ” 2ьтт )!= — е— П ЛЬ и ' см. (ЗЦ, формулы (4.224.14), (4.397Я).
Вычислим С„(т) для следующего частного случая: т„= 5 мкс, йг= = 128, Т =- тн!Фжа40 нс, е — аг =0,95, С «и) ЬТ 0,05, Ь = 1,25 10'. Кепстр Сгн (т) представлен на рис. 16.16. На том же рисунке пока- 0,8 зан кепстр С„(т), соответствующий С гт) коэффициенту ср = 0,8 и задержке = т,Т при т, = 5. Как видно из Е~ гр этого рисунка, кепстр С„(т) концентрируется вблизи точки т = 0 и монотонно убывает с возрастанием т. 8 Г8 Га 8«т ПРИ 1р) 5Т ОбЕСПЕЧИВастСЯ СУЩЕСтвенное превышение С,з (т) над С„(т), что открывает возможность Рис, 16.16.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
