Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986) (1095423), страница 102
Текст из файла (страница 102)
На оси частот постоянную передачи 0 (р) можно представить в форме 0 ((в) = 1п К (йо) = ]п К (в) + йр (а) = А (в) + йр (в). (15.46') В этом выражении ' гр (а) — ФЧХ, а А (со) = 1п К (а) (15.47) — логарифмическое затухание чегырехполюсника. При условии отсутствия нулей функции 0 (р) в правой р-полуплоскости имеет место равенство — 0(йот) + — ~ — ' йо = О, 1 .
1 г 0((в) 2 2ги " го — в, (15.48) где в, — фиксированная частота '. Из (15,46') и (15.48) вытекают следующие соотношения: А (в,) = — — ~ — дв, 1 Г ф(а] и а — вд (15.49) гр(вт).=- — ~ — й . 1 г А (в) и и — вт (15.50) Таким образом, при оговоренных выше условиях А (в) и ф (а) связаны между собой однозначно преобразованием Гильберта [см. (3.62), (3.63)].
' Следует иметь в аиду, что при логарифмировании номпленсной фуиицни К((Ы) = К(а) Егт1в1 ВОЗНИКаЕт НЕОдНОЗНаЧНОСтЬ, таи Хаи дОбаВЛЕННЕ Х Гр (В) ЛЮбОГО числа 42л, где л — целое число, не изменяет значения функции. В данной главе под ф (а) подразумевается главное значение аргумента, ограниченное пределами — л ( < ф (в) ( и, Способы устранения неоднозначности рассматриваются в гл. 16. ' См, предыдущее издание настоящей винти. 457 Линейные электрические цепи делятся на два класса: минимально-фазовые и неминимально-фазовые. К первым относятся цепи, у которых между АЧХ и ФЧХ существует однозначное соответствие, так что задание одной из характеристик полностью определяет втооую. Ко второму классу относятся цепи, у которых между АЧХ и ФЧХ нет однозначного соответствия.
В теории аналоговых электрических цепей этот вопрос детально изучен. Установлено, что если передаточная функция четырехполюсника К (р) не имеет нулей в правой р-полуплоскости и, следовательно, п о с т о я н н а я передачи 0 (р) = ]п К (р) Переход от логарифмического затухания А (в) к АЧХ совершается с помощью соотношения, обратного соотношению (15.47): К(а) =е' <и!.
(15.51) Обратимся к установлению связи между АЧХ и ФЧХ в цифровых цепях. Основываясь иа определении передаточной функции цифрового фильтра (12.33), (12.34), переходим от К (г) к функции 0 (г) = 1п К (г) и по аналогии с выражением (15.46) к функции 0 (г) = !п К (е'"т) = 1п Кт (!в) = Ат (в) + 1!рт (а), (15.52) где Ат(а) =1п) К (е'"Т)). Исходя из условия, что функция 0 (г) не имеет полюсов вне круга !г! = = 1 (что тождественно ранее принятому условию отсутствия полюсов функции 0 (р) в правой р-полуплоскости), можно получить равенство, аналогичное (15.48): е/Т 1 1 а 0 !е!ет) — 8 (еио т) -1- — /1 (еи"т) (15.53) 2 2и!,) !ет оеР Подставив е( (е!ит) = !' Те'"т е(в, приведем интеграл в (15.53) после перехода к переменной в к виду и/Т е/т 1 .
(' 0 (е!"'т) енот Т (' 0 (евт) — !Т йо. 2и! ! иот !е,т 2и,) ! -!(е — и1!Т вЂ” ~/т - е/т Подставим в (15.53) 0(е!от) и 0 (е'и т) по формуле (15.52): о/Т вЂ” (Ат(а,)+ щт(в1))+ — ) й>+ — Х ! Т Г Ат(в) !Т 2 — ~! —,ч!т 2я я/Т х т~ ) !!в =О. 1 ;™- е †не в!т — и/т Воспользуемся равенством 1 е!е/ еоех/2+!Мях/2 1 (1 ! с!я х/2 . ! — е '" е !х/з — е !" /е 2! Мах/2 2 Тогда, выделив в (15.53') действительную и мнимую части, придем к следующим формулам: е/т е/т Ат(вт)= — — ( Ат(в)йо — — ( 'рт(в)с!я 1 '1 йо, (1554) 2п 2п,) 2 — ~1Т вЂ” ~/т о/Т цт (в~) — ( Ат (в) с1н "' !(в. (15.55) 2и 2 — ~/т Первое слагаемое в правой части (15.54) имеет смысл среднего значения Ат (а) в полосе частот от аТ = О до вТ = 2п.
Соотношения (15,54), (15,55), как это вытекает из условия отсутствия нулей функции К (г) вне круга единичного радиуса )г! = 1, справедливы для минимально-фазовых цифровых цепей. 456 Как и передаточная функция Кт ((в) (или К (е'"т )), логарифмическое затухание Ат (в) и ФЧХ дискретной цепи являются периодическими функциями частоты. Это позволяет существенно упростить соотношения, связывающие между собой АЧХ и ФЧХ.
С этой целью запишем функции Ат(в) и грт(в) в виде рядов Фурье: Ат(а) =1п!К(е-'"'т) ! =А,+А,созвТ+А,сох 2вТ+ ..., (15.56) <рт(в) = Ф, з!п <оТ+ Ф, з!п 2вТ+ ... (15.57) Косинусоидальный ряд для Ат (в) обусловлен четностью этой функции относительно в, а синусоидальный ряд — нечетностью функции ут (в). Соответственно коэффициенты рядов (15,56) и (15.57) определяются фор- мулами А„= — ) Ат (в) соз пвТг((вТ), ! Ф„= — ) грт(в)з!ппвТЙ(вТ), 1 Подставим ряд (15.56) в (15.55): 4о А, грт(он)= — ' ~ с1д((в — в,) Т(2) 4вТ)+ — ' ~ сох вТ м 2п,) 2п,) (15.58) (! 5.59) Хс18((в — в,) Т!2! с((вТ)+ — '' Г сов 2вТ с(81(в — в,) Т(2! д(вТ) + ...
2п,) Первый интеграл равен нулю, а последующие 2п ( — з!п па, Т). Таким образом, приходим к следующему ряду для цт (в,) (опуская индекс ! при в): %т(в) = — х~о А„з!пп<оТ, (15.60) л Аналогично подстановка ряда (15.57) в (15.54) приводит к выражению А т (а) = А, — ~ Ф„соз паТ. (15.61) п=! Из сопоставления рядов (15.60) и (15.57),а также (!5.61) и (!5.56) вытекает важное соотношение А„= — Ф„. (15.62) Следовательно, по заданной функции Ат (в), записанной в виде ряда Фурье, можно найти коэффициенты Ф„ФЧХ грт (в). При заданной ФЧХ (также в виде ряда Фурье) функцию Ат (в) можно найти с точностью лишь до А,.
Физический смысл этого факта очевиден, так как величина Ао= — 1 1п К(в)йоТ, 2л,3 459 .зависящая только от АЧХ фильтра К (в), может изменяться в широких пре- делах (изменением усиления) при сохранении ФЧХ. Рис. !5.15. Фазо-частотная характеристика цифрового фильтра с АЧХ, равной !г )/1+Ьз — 2Ь, сов вТ Рис. 15.14. Фазо-частотная характеристика цифрового фильтра, соответствую. щая АЧХ, равной 4ып' (аТ(2) 15.10.
ПРИМЕРЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФЧХ ПИФРОВОГО ФИЛЬТРА ПО ЗАДАННОЙ АЧХ 1. Задана АЧХ фильтра Кг(аТ) = 4 з|п" (аТ)2), — и ( аТ ( и (см. п. 3 4 12.8). Требуется найти ФЧХ (не выясняя схемы фильтра). В данном примере логарифмическое затухание Аг (в)=|п Кт (в7) =1п 4+2 !п(яп (аТ/2) ), ч(гоТ(л. Находим коэффициенты Фурье периодической функции Аг (а) по формуле (15.58) '. я и/! 2 А = — ) !11п4+2 1п ~вп — 1 ! А(аТ)=!п4+ — ~ 1п (з!их) д (2х) =О, 2 !) о о 2 ГГ 1, вТ|1 2 Ал - — ) ~ )п 4+ 2 1п ~ з|п — ! ! соз неТг( (аТ) = — — .
2 л о Итак, Ао = О, Аг = — 2'1 Аа = — 2 Чз Аз = — 2'т |а Основываясь на выражении (15,60) составим выражение для ФЧХ фильтра грг (со ) = 2 (3!п а Т + Чз з1 п 2в Т + тУз з |п зв Т +... ), — и (о1 Т ( и. Полученный ряд сходится к (л — в Т)(2 при О ( в Т ( 2л, следовательно фт (в) =и — аТ, О ( аТ ( 2л. График (ог (а) представлен на рис. 15.14.
Продолжение в область вТ ( О (штриховая линия) основано на периодичности функции ггг(а). Заметим, что полученная ха. рактеристика совпадает по форме с ФЧХ однозвенного фильтра, рассмотренного в п. 1 $ 12.8. Каскадное соединение двух звеньев, соответствующее АЧХ, равной 4 з|п' аТ(2, приводит лишь к удвоению ФЧХ. 2. Рассмотрим теперь фильтр с АЧХ (см. п.
2 4 12.8) Кг (аТ)=1!)~ 1-РЬ) — 2Ь, соз а Т г См. (311, формулы (4.224.3) и (4.384.3). Итак, для полного описания передаточной функции минимально-фазовой цифровой цепи достаточно знать коэффициенты Фурье одной из характеристик: ФЧХ грт(а) или логарифмического затухания Аг (а). Вычисление коэффициентов ряда Фурье любой из характеристик Аг (а) и грт (а), заданной на интервале 0 ( аТ ( 2п, несравненно проще, чем вычисление интегралов в бесконечных пределах, требующееся при анализе аналоговых цепей (см. (15.49) и (15.50)1, Логарифмическое затухание 1 Ат (со) =1п Кт (ы) = — — 1п (1 — 2Ь, соз ыТ+Ьэ). 2 Находим коэффициенты Фурье 2 Ал ол — ( — 1/2) ! !п (1 — 2Ь, сов иТ+ Ь,') соз ло)Т)( (гоТ), о Выполнив интегрнрованые ', получим 1 / и Ал= — ~ — — Ьл1 = Ьл/и.
п~ а '/ Таким образом, Ьл )рт [ы) = — Р— в)п аозТ. а л 1 Используя соотношение ' Ьл Ь, япх — яп ах=асс(8 л 1 — Ьз сов х л=! ~ К(е)лт) ~ — е — лз )мг)' Найти ФЧХ фильтра. В данном примере Ат (ю) =1п )(К [е)ет) ~ ел — ао (соТ)в. Вычисление коэффициентов Ал по формуле (15.58) дает следующне результаты: пв 4 Аолл — — а", А,=4а', Аэлл — ав, Ав = л*, 1 4 А= — — ав Ало — ав 4 ' 25 Таким образом, о)т (ы) = — Р Ал в(п аиТ= л=! 4 = а' ~ — 4 в!( юТ+Мп 2ыТ вЂ” — в)ц 3о)Т+ 9 ! + — в!п 4яТ вЂ” — в!и бюТ ! 4 25 Графики )рг (со) для двух значений параметра а показаны на рис.
15.16. Рнс. 15.16. Фаза.частотная ха. рактернстнка цифрового фильтра с АЧХ, равной ехр [ — а'(зоТ)') ' См. [31), формула (4.397.6). в См. [31), формула (1.448.1). 461 получаем выражение, совпадающее с (12.49): Ь, япыТ Рт (ы) = — агс!8 , — я<ыТ< п. 1 Ь! сов ЮТ Графин ФЧХ для Ь) = 0,8 представлен на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
