Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986) (1095423), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Например, свойство мультипликативности (14.25) с учетом свойства сим. метрии запишется в виде тма! (ю', О,) тоа! (1, О, = ма! (ю', Оы Щ О,). (14. 26) Умножение любой функции Уолша самой на себя дает функцию нулевого порядка тма1 (О, О), так как в результате получаются только произведения вида (+1)(+!) и ( — 1) ( — 1). Таким образом, тча! (Е, О) ма! (/, О) = ока! (О, О). Очевидно также, что умножение туа! (Е, О) на тма1 (О, О) не изменяет функцию тча! (1, О). Функции Уолша иногда определяют на интервале — 1/2 ( О 1/2.
Первые восемь функций на указанном интервале представлены на рис, 14.11, Функции Уолша могут служить базисом спектрального (негармонического) представления сигналов. сов(0 вне 'т вьо (т 216т) сов О кунс) В1о (2~~4) сов (л хит) Т 1 и йд 00 т/т Рис. 14.10. Четкость номеров косикусоидальных и нечеткость номеров сииусоидальиых фуикций ыаМ7,6 ее 432 Рис. 14.11. Первые восемь функций Уолшв иа интервале — '0,0(0(0,0 — > ыаЩ е) ыа1 Кср ыа1 (2,Ю ыа1(о,Ж май 14,10 ыа1(сьср ыа1/ду/ шаНВ,В1 шаЬПВ1 ша1Г2,В1 ша1ГДВ1 шах ГО,Вх ш а! ГВ,В1 шаЩВ) кт ша1(7Я Рис. 14.12.
Генератор первых восьми функций Уолшв Любую интегрируемую на интервале 0 ( О ( 1 функцию Г (О) можно представить рядом Фурье по системе функций Уолша (14,20) т См. Ллексенко й. Г. Основы микросхемотехники. — М.: Сов. радио, 1977. 7'(0) = А (О) + А (1) ваа! (1, 0) + А (2) ваа1 (2, О) + ... + ... + А (1) таа! (Е, 0) (! 4.27) с коэффициентами 1 А(1) = ) )(0) ца!(1, 8) с(0, О=Г!Т, а Вне полуоткрытого интервала !О,1) ряд (14.27) описывает периодическую функцию Г (О + й), где й — любое целое число. Некоторые особенности разложения непрерывных функций по системе Уолша иллюстрируются в 9 14.5 иа примерах. Как уже ранее отмечалось, функции Уолша, широко используемые в задачах вычислительной техники, могут быть легко реализованы с помощью ключевых схем.
Один из возможных вариантов схемы генератора первых восьми функций представлен на рис. 14.12. Алгоритм формирования функций Уолша в этом генераторе основан на выражении (14.22), т. е, на перемножении степеней трех функций Радемахера: г, (8), хм (8) и гв (0). Функция г, (9) получается непосредственно от генератора меандрового колебания, Вторая функция г, (О) получается из г, (О) удлинением периода этого колебания в 2 раза. Это достигается с помощью триггера со счетным входом (на рис.
14.12 изображен х)-триггер Т, в счетном режиме '), запускаемого фронтом каждого периода меандра. Аналогичным способом из г, (О) получается функция гт (0). Таким образом, на выходах триггеров Т, и Т, получаются функции Радемахера, смещенные по уровню на положительную величину и(2, т. е. г, (0) + и(2, г, (8) + и!2 и г, (8) + и!2. Выход с внверсиеа Выход с вхверсвеа Вход х Вход р Вход р Вход,т Легко убедиться, что при подаче на сумматор функций г, (О) + и!2 и г, (0) + и(2 на выходе получается функция Уолша тча! (эв О)+и/2, т. е.
эффект, эквивалентный перемножению соответствующих функций г, (О) - и г, (О) (см. табл. 14.!). Аналогично при объединении в сумматоре функций г, (9) + и/2 и г, (О) + и!2 имеем тна! (4, 0) + и!2 и т. д. Для получения несмещениых функций Уолша, которые могут принимать значения + 1, — 1, используются коммутаторы на операционных усилителях ОУ, — ОУ, (с большим коэффициентом усиления для сокращения длительности фронтов). На инвертирующие входы усилителей задается смещающее напряжение+Е,„, выбираемое из интервала 0( Е,ы ( и. Если поступающее с сумматора напряжение и» Е,, то на выходе коммутатора возникает напряжение + Е, при и ( Е, — напряжение — Е, что соответствует + 1 и — 1.
Функции рта! (1, О), тра! (3, О) и тра! (7, О) получаются без обращения к сумматорам. 14.4. РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ НУМЕРАЦИИ ФУНКЦИЙ УОЛША Способ нумерации функций в системе называется у и о р я д о ч е н не м. Функции Уолша, сформированные в соответствии с выражением (14.22), упорядочены по Уолшу. В ряде практических задач целесообразно пользоваться иными способами упорядочения. Часто применяются функции Уолша, упорядоченные по Адамару 1)тай (Ь, 0)! и по Пэли [ра! (р, 0)Р. Независимо от упорядочения функции Уолша, составляющие систему из А( = 2 функций, всегда можно представить в виде произведения степеней первых и функций Радемахера.
Принцип же нахождения показателей этих степеней индивидуален для каждого упорядочения., Остановимся более подробно на упорядочении по Адамару, получившем широкое распространение. Функции Нас( (й, 0) можно сформировать с помощью матриц Адамара. Матрицей Адамара Ны порядка А( = 2" называется квадратная матрица размера А( х А( с элементами (- 1, такая, что Нм х Нй=,Н, где 7 — единичная матрица; т — знак транспонироваиия. ' Обозначеннн над (й, В) н ра) (р, В) образованы от начальных букв фамнлнй Набарватб н Ре!еу соответственно. 434 Указанные смещенные функции соответствуют функциям Уолша туа) (1, О), тра! (3, 0) и ша! (7, О) (также смещенным). Для получения остальных функций Уолша используются сумматоры по модулю 2 (на рис.
14.12 обозначены М2) с инверсными выходами. Подобные сумматоры представляют собой устройство совпадения, которому соответствует следующая таблица истинности: Нормированную матрицу Адамара порядка А1 можно построить рекурсивно, т. е. гУ НМ/2 Кч/2 Ь1п/3 ~Уп/2 при О,= 1. (14.29) Например, — 1 — ! Функция Уолша, упорядоченная но Адамару, т.
е. )1ад (Ь, О) с номером Ь, является последовательностью прямоугольных импульсов с единичными амплитудами и полярностями, соответствующими знакам элементов Ь-й строки матрицы Адамара. Под длительностью импульсов подразумевается (11'й1)-я доля интервала !0,1). о у и Для иллюстрации связи между . функцией араб (Ь, О) и матрицей Адамара, а также для определения места этих функций в системе приведем матрицу Адамара для Аг =- =8 = 2', заменяя ! и — 1 знаками соответственно плюс и минус: Рис. 14.13.
Нумерация функций Уолша при различных способах упорядочения. Размер базиса У 16 + +1+ ! Ьо Ьз Ьа Ь, + — 1+ 1 1 — — 1+ ++++1 —— + — + — — + + -'- — — + ! — + Ь, Ь, Ьв Ь, 435 Нумерация первых восьми функций Уолша при различных способах упорядочения дана в таблице на рис. !4.9, а для 16 функций — в таблице на рис. !4.13. В этих таблицах указана также нумерация функций Уолша при упорядочении по Пэли.
Следует указать, что введенные выше упорядочения вытекают из свой. ства симметричности матрицы Адамара, заключающегося в том, что транспонированная матрица совпадает с исходной; Н// = //й. Как видно из предыдущего, введенные упорядочения отвечают симметричности соответствующих им матриц. Не следует полагать, что упорядочениями Уолша, Пэли в Адамара исчерпываются все возможные упорядочения. Отмеченная в предыдущем параграфе ортонормированность функций Уолша сохраняется при любом способе их упорядочения.
14.5, ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ФУНКЦИЙ УОЛША 1. Спектр синусоиды з(!) =6(п — ! (рис. 14 14, а) в базисе функций Уолша. 2л Т Интервал разложения Т, в данном случае целесообразно приравнять величине Т. Переходя к безразмерному времени 0 = //Т, записываем колебание з (г) в форме з, (0)=яп 2лО.
Ограничимся !6-ю функциями, причем сначала выберем упорядочение по Уолшу. Поскольку заданная функция з, (0) нечетна относительно точки О = 1/„все коэффициенты А (1) при четных функциях Уолша в ряде (14.27), т. е. при са( (/, 0), равны нулю. Те из оставшихся восьми функций бча( (1', О), которые совпадают с функциями Радемахера и имеют периодичность внутри интервала (0,1), кратную периоду функции з, (0), также приводят к нулевым коэффициентам А (1).
К таким функциям относятся ч/а!(3, О), тча! (7, 9) и ша! (!5, 0). Наконец, функция зча! (11, О), нечетная не только относительно точки 0 =- '/,, но также относительно точек О =- !/6 и О ='/ (внутри интервалов (О,'/,) и (!/„!)(, приводит к нулевому коэффициенту А (! !) из-за четности з, (0) в указанных интервалах. Итак, лишь четыре коэффициента из 16 не равны нулю: А (!), А (5), А (9) и А (13). Определим эти коэффициенты по формуле (14.28). Подынтегральные функции, являющиеся произведениями сигнала з, (0) (см.
рис. 14.!4, а) и соответствующей функции боа! (1', 9), представлены на рис. 14.14, б — д. Кусочное интегрирование этих произведений дает 112 А (1) = 2 ) яп 2лО/(О = 2/л = — 0,636, о 2/16 6/16 А(5)=4 ~ яп2л06(0 — 2 ~ яп2лО/!О= — (! — 2соз — "л (= — 0,265, л 4 / о 2/16 1/!6 з /16 б/16 А(9)=4 ~ з!п2лО/(Π— 4 ~ яп2лО/(О+2 ~ з!п2лО/(О= — 0052, о 1/16 з/16 1116 2/16 З/16 А (13) = 4 ~ яп 2л96(0 — 4 ~ яп 2л06(0+4 ~ яп 2лО/(О— 4 1/16 2/16 б/16 — 2 ~ з!и 2лО/(О =- — О, !28, 3/1б Спектр рассматриваемого сигнала з, (О) в базисе функций Уолша (упорядоченных по Уолшу) представлен на рис. !4.15, а. При упорядочении А оо Оо 02 а Ф -42 -0,4 Оа 02 о -02 -о,с, с)0 до йг о -ог -ЯФ Рис. 14.14.
Стробированне отрезка сину соилы функциями Уолша Рис. 14.15. Спектры синусоиды в базисе функций Уолша, упорядоченнык по Уолшу (а), Пзлн (б) и Адамару (в). Размер базиса )т'=16 по Пэли и Адамару спектр того же сигнала принимает вид, показанный иа рис, 14.15, б и в. Эти спектры получены из спектра на рис. 14.15, а перестановкой коэффициентов в соответствии с таблицей (см. рис. !4.13), показывающей взаимосвязь между способами упорядочения функций Уолша (для Ат = 15), Зля уменьшения искажений при восстановлении колебания ограниченным числом функций Уолша предпочтение следует отдавать упорядочению, которое обеспечивает монотонное убывание спектра. Иными словами, наилучшим является упорядочение, при котором каждый следующий спектральный компонент не больше (по модулю) предыдущего, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
