Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986) (1095423), страница 96
Текст из файла (страница 96)
14.5). Для определения передаточной функции требуемой цепи применим преобразование Лапласа к функции Лагерра (14.13), предварительно заменив в (14.12), (14.13) переменную х новой переменной х = ай ос/е Н» !„(а/) = е — (/» е — ас) ш» Функции времени е — ")1» соответствует изображение и)/(р + а)" + ', а л-кратному дифференцированию — умножение изображения на р .
Учитывая также, что умножение на е"'/' дает сдвиг на р-плоскости на — а/2, приходим к следующему изображению для функции Лагерра: (р — и/2)" 1 ( р — а/2 1» () ! а/2)»+ ) (и+сс/2) 1 я+ се/2 / Передаточная функция первого звена 1/(р + а/2) реализуется интегрирующей /сС-цепью, отвечающей условию /гС = 2/а. Передаточная функция (р — а/2)/(р + а/2) соответствует мостовой схеме при /с'С = 2/а. Действительно, непосредственно для мостовой схемы одного звена (см.
рис. 14.5) 0 е/(/) ) = (()н — Щ/(/) ) = Я вЂ” 1//о)С)/(/!+ 1/(о)С), откуда (/е е (р). 1)) ) (р) = (р - 1//сС)/(р + !ЯС). Г!ри возбуждении цепи (см. рис. ! 4.5) дельта-функцией колебание на выходе первого звена будет е — и' = !, (а/), а на выходах последующих звеньев соответственно /, (а/), !, (а/) и т. д. Взвешенное суммирование всех этих колебаний дает на выходе сумматора колебание я — ) 7 (а/) = ~ч', с» /„(а/), / ) О, » 0 где коэффициенты о» определяются выражением (14.15).
427 4. Полипом ы Э р и и т а определяются формулой (и Н„(х) = ( — 1)" е"' — (е-"*). Нха (14. 16) Первые пять полиномов Эрмнта: На (х) = 1, Н, (х) 2х, На (х) =4х' — 2, Н, (х) = 8х' — 12х, Н4 (х) = = 16х' — 48ха+ 12. Графики этих полиномов представлены на рис. ! 4.6. Полиномы Эрмита ортогональны с весом р (х) = е- * на всей оси — оо( ( х ( оо, так что Н (х) Н„(х) е *Нх=~ ( 2 )/и и! при т=п. Таким образом, норма функции Н„(х) )/ р (х) =Н„(х) е- вца '!! Н„У р 1! = 1~ 2п р' л! Для перехода к ортонормированной системе полиномов Эрмита вводят функцию Н„ (х) 3~ р (х) Н„ (к) е (14,17) 1!Н Ур ~~ 'Г' у'„„ При этом разложение функции 7 (х) по нормированным функциям Эрмита записывается в форме 1(х)= ~ с„ср„(х), а О где с„= ) ) (х) ~р„(х) Йх.
(14,!8) 42В Графики нормированных функций ~р„(х) приведены на рис. !4.7. Из приведенного перечисления видно, что ортогональные системы функций можно разбить на два класса: 1) системы, определенные на конечном интервале (полиномы Лежандра и Чебышева); 2) системы, определенные на бесконечном интервале, представляющем собой ~оп полуось 0( х<. оо (полиномы Лагерра) или на нз всю ось — оо ( х( оо (полиномы Эрмита).Для аппроксимации процессов и характеристик, оп- Ю ределенных на конечном интервале, естественно применять ортогональные системы первого класса. Для функций 7 (х), заданных в бесконечном интервале, целесообразно применять системы Ю второго класса.
-гп При выборе полиномов важное значение 4п о з,п имеет вид весовой функции р (х), соответствующей тому или иному виду полинома. Этот рис (46 Графики полино выбор Должен быть теснО Унизан саг харакиоа Эриита тером аппроксимируемой функции 1 (х); ве- ов О О,4 ОВ 42 4О г,а а Рис. ~4О. Графики иормированнык функций Эрмита совая функция р (х) должна достигать максимума на участке, где требуется наилучшая аппроксимация. При этом появляется возможность уменьшения числа членов ряда при заданной допустимой ошибке аппроксимации. Выбором весовой функции можно также осуществить аппроксимацию процессов конечной длительности полиномами второго класса (определенными на бесконечном отрезке).
Для этого необходимо, чтобы эффективная длительность весовой функции была близка к длительности аппроксимируемого сигнала. 14.3. ФУНКЦИИ УОЛША Р агв/ 429 Функции Уолша и Радемахера, известные с 1922 г., были надолго преданы забвению. Интерес к этим функциям и широкое их распространение связаны с развитием вычислительной техники. Существуют различные способы определения функций Уолша. Рассмотрим способ, основанный на взаимосвязи функций Уолша с функциями Радемахера. Последние, в свою очередь, получаются из синусоидальных функпий с помощью соотношения га (О) =з)ап [з1п (2 п0)], 0 (0 с. 1, (14.19 ) гДе аРгУмент 0 = ОТе есть безРазмеРное вРемЯ, т.
е. вРемЯ, ноРмиРованиое к произвольному интервалу Т„, а целое положительное число й — порядок функции. Символом з)дп (сигнум-функция) обозначается функция 1 при х~О, (14,20) — 1 при х(0. В соответствии с (14.19) и (14.20) +а функции Радемахера, принимающие о а е®1 одно из двух значений -ь 1, имеют вид меандра (рис. 14.8). Функции Радемахера ортонормированы (см. 9 2.2) с единичной весовой ма гф функцией на интервалеО(0 '1. Действительно, для любых двух функций маФ г„, (О), ги (О) имеют место соотношения о г (О) г„ (0) с(0 = ~ ~ 0 Рис. 14.8.
Первые четыре функции е ПРи ~ П Радемакера Все функции Радемахера являются нечетными относительно середины интервала определения и, следовательно, пе могут быть использованы для аппроксимации сигналов з (О), четных относительно момента О = 1/2. Иными словами, система функций Радемахера — неполная (см. э" 2.2). Функции Уолша, образующие полную ортонормированную систему, можно сформировать, образуя произведения степеней соответствующих функций Радемахера. Первые восемь функций Уолша представлены на рис. 14.9. Сопоставление этих функций с функциями Радемахера (рис. 14.8) позволяет составить очевидные, по крайней мере для первых четырех функций Уолша, соотношения хна! (О, 0) = г! (О) г$ (0) = 1, ща! (1, 0) = г,(0) г3 1О) = = г, (8), а а! (2, О) = г, (О) г, (0), чса! (3, О) = г! (0) г, (8) = г, (8).
Нетрудно также проверить правильность соотношений хса1(4, О) =г! (О) г, (0) г, (О) = г, (О) г, (О), хна! (5, О) =г, (0) г, (О) г, (0), ага) (6, 8) = г„ (8) га (8) га (О) = г, (0) г, (0), хна! (7, О! = ге1 (О) га (О) г„ (О) = гз (0). Итак, каждая функция Уолша на! (ш, О) за номером и, входящая в систему из У =2" функций, является произведением степеней первых и функций Радемахера. Принцип нахождения показателей этих степеней поясняется табл. 14.1 на примере Ж = 2' = 8. В таблице использованы следующие обозначения: ш — номер функции в системе (в десятичном счислении); ш„— т-й разряд представления числа сс в двоичной системе счисления, т.
е. ш =(ых шя "ш„... щп)з= изх 2" — '+ив 2" — '+ +ю 2" — м+ +" +алга = ~ч~~ шш2я — т ~~ щ ~ 2м — 1 !14.21) саь йиР заЩ40 . са1(4а заь(г,Э саь(г,40 За!. Я,П) саь Я,й аа1Ф,й сз 4Р г,д г Рис. 14.9. Первые восемь функций Уолпза и их нумерация при различных способах упорядочения 430 Таблица 14. ! В выражении (!4.21) и =!она !и' — число разрядов, и (т) может принимать одно нз двух значений — нуль или единица, а и, равно нулю по определению ю. Символ бО обозначает поразрядное суммирование по модулю 2 по правилам [В!=090=-0, 18 О=ОЕ1=1.
(14.22) Показанный в табл. 14.1 способ построения функций Уолша можно выразить аналитически для любого М =- 2" в виде следующего соотношения: и ига] (в, О) = П [га (О)] „а+ !с и а а=! Поясним применение (14.23) на примере шестой функции Уолша (в =-6), входящей в систему размером Д! = 2' = 8. Произведение в (14.23) состоит нз трех множителей вида при й=1 [г,(О)] в", при 4=2 [г,(О)] ° О ', при й=3 [г,(О)]" е Подстановкой в левую часть (14.21) и = 6 и л = 3 получаем 6 = и, 2!+ ва 2'+ ва 2о откуда следуют равенства и, = 1, и, = 1, и, = О.
Таким образом, иа Ю иа= 0 ф 1 =- 1, иа Ю и!= 1 ф ! = О, и! а и = 1 6 О = 1 и по формуле (14.23) !ча! (6, О) =г,(О) га(О) г (О) =г,(О) г,(О). Из рис. 14.9 видно,что четным относительно середины интервала определения (О = 0,5) функциям !ча! (в, О) соответствуют четные номера в,а нечетным функциям — нечетные номера. Такое взаимно-однозначное соответствие между четностью функций !та[ (и, О) и четностью их номеров и 2л 1 , / 2л аналогично свойсгвам тригонометрических функций соз ~й — /~ и з1п (/с — ' Г) (рис. 14.10).
Поэтому иногда применяются обозначения са! (/', О) для четных и за! (/, О) для нечетных функций Уолша. Легко проверить, что функции са1(/, О) и за1 (/, О) связаны с функциями ока! (ш, О) следующими соотношениями: са! (/', О) = юа! (2/, О), за! (/, О) = ч а1 (2/ — 1, О). Эти обозначения указаны в таблице на рис. 14.9.
Функции Уолша ортонормированы на интервале О ( О ~ 1: 1 ~ча! (/г, О) ота1(1, О) с!0 = 1 (14.24) 1 О при /г~(. Функции Уолша обладают свойством мультмпликшпивносты, т. е. перемножение двух функций Уолша дает другую функцию Уолша, причем тма1 (/с, О) ьуа! (/, О) = тма! (/с рО ю', О). (14.25) Функции Уолша тма)46(К, О) обладают свойством симметрии, проявляющимся в том, что все выводы относительно!справедливы также и относительно О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
