Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986) (1095423), страница 101
Текст из файла (страница 101)
рис. 15.7) часто применяется аппроксимация по Чебышеву, при которой в качестве функции г' (х) в формуле (15.19) используется квадрат полинома Чебышева Т„(х) соответствующего порядка и. При этом формула (15.20) записывается в виде ( К (!х) !' = 1/11+ е' То (х)!, где х =- !о/ ооо. Коэффициент е 1 вводится для ограничения амплитуды пульсации АЧХ в полосе пропускаиия, т. е. в интервале !х! (1. Чем меньше е, тем лучше аппроксимируется АЧХ в указанной полосе, но одновременно снижается крутизна ската характеристики в полосе задерживания (при х) 1). Варьируя коэффициент е и степень полинома п, можно осуществить приемлемый компромисс между противоречивыми требованиями к аппроксимации (15,33) Постоянную времени цепи !тоС, обычно приравнивают значению, близкому к 1/!о,. Тогда и оо,Я,С, ж 1 (из второго условия (! 5.32)1; при этом условие (15.32) сводится к равенству Ко=1+ — '' + — ' — Ь1 =1+1+ — ' — )/2 0 59+ — ' л, с, ' с, с, с, ' Задавая С,/С, = 0,4 и, следовательно, !т,Я, = 2,5, получаем Ко ж 1.
В данном примере операционный усилитель, по существу, сводится к эмиттерному повторителю. Для количественной оценки параметров ФНЧ зададим частоту среза /, = 1000 Гц, а емкость конденсатора С, = 0,1 мкФ. Тогда С,.= С,/0,4 = 0,25 мкФ, й, =. 1/ооо С, 640 Ом, ,й, = 1/о!о С, ж 1600 Ом. Приведенный выше пример реализации фильтра второго порядка является лишь иллюстрацией. Для выбора оптимальной схемы и проведения инженерного расчета читатель должен обратиться к специальной литературе. к характеристики в полосе пропускания и вне этой „ г» полосы. В 2 14.2 указывалось, что значение Т„ (х) кои,// леблется в пределах ь ! в интервале (х! ( 1 и растет по закону Т„(х) ж 2"-' х" при (х! » !.
' х-а»ума' График функции !К (/х)! при ег = '/ и и = 4 показан на рнс. 15.11. р с 1б 11 А пля уд Амплитуду пульсации АЧХ в полосе пропусно-частотная харак- канин, равную теристика фильтра чебышева четверто- А/(=1 1 )/ 1+н (! 5,34) го порядка при малых к можно приравнять значению е'/2 (см. рис. 15.11). Вне полосы пропускания (при больших х), когда и'Т„' (х) )) 1, передаточная функция монотонно убывает по закону ~ К(/х) ! ж 1/е) Т„(х)(.
(! 5.35) Для сравнения аппроксимации прямоугольной АЧХ по Чебышеву с аппроксимацией по Баттерворту найдем ослабление АЧХ при х =3 для фильтра четвертого порядка и = 4, к' = 1/5. По формуле, приведенной в 3 14.2 (или из таблицы полиномов Чебышева), определяем Та (3) =8х' — 8х'+ 1 =8 34 — 8 3'-1-1= — 574, Далее, ) К(ЕЗ)) ж)» 5/574 ж 4 10 — а, 1/(К(ЕЗ)( =250, (1/~К(/З)))ав = = 20 18 250 = 20 2, 39 ж 48 дБ. Как видим, при одной и той же степени сложности фильтра (при одинаковых значениях п = 4) ослабление АЧХ у фильтра Чебышева на 8 дБ больше, чем у фильтра Баттерворта. При этом аппроксимация АЧХ в полосе пропускания лучше у фильтра Чебышева: наибольшее отклонение от единицы не превышает е'/2 = 0,1 (вместо — 0,3 у фильтра Баттерворта). Определим полюсы передаточной функции фильтра Чебышева.
Как и в предыдущем параграфе, записываем выражение (15.33) в форме (К((х)$'=К(Р) К( — РЯр=/» — — 1, (!5 36) 1+ее Те (»! В ( — р»! ! р — с» после чего находим корни уравнения ее Т„*/х)+1=0, Т„(х) =~//е. (15.37) р» — — з!п Ф„зй Ф, + (соз Ф, сЬ Ф„ где Ф, = (2/г+ 1) —, й = О, 1, 2, ..., (2л — 1), 2л (15.38) 1 / 1 Ф, = — агсзЬ ~ — ).
и ( е (15.39) Опустив промежуточные выкладки [27), приведем окончательные выра- жения Для полюсов, расположенных в левой р-полуплоскости, получается следующее выражение: рь — — 5!п[(2/е+1) — 15Л Ф,+!соз!(2й+1) — ~сЛФ„ 2л 1 ! 2л Ь~О, 1,2, ...,(л — 1). (15.40) По найденным полюсам.
составляется выражение для передаточной функции К (р), аналогичное (15.29); К(Р) р +Ь,р +Ь,р +...+Ь„,р+Ьл (15. 41) (Р РО (Р Ре) ° ° ° (Р Рп) (Т„(х)(=!Т„(4)( > 1/(К(14) (. Ослаблению на 30 дБ соответствует уменьшение АЧХ в Р'1000 ж ж 32 раза. При максимальном значении АЧХ, равном единице, получаем следующее условие для определения порядка полинома Чебышева: Т„(4)» )1/32. Перебором первых трех полиномов низших степеней (см.
2!4.2) убеждаемся, что полипом второй степени при х = 4, равный Т, (4) = 2х' — 1 = = 31, обеспечивает требуемую скорость убывания АЧХ в полосе задерживания. Применяя формулы (!5.39), (15,40), находим Ф,= — агсэЛ( — ~=- .— агсзЛ 1 =0,44, л (е~ 2 р, = — з(п / — 15Л0,44+(соз( — ) сЛ0,44 = — 0,322+10,777, 12 2/ ~2 2/ р,=р, '= — 0,322 — /0,777. Передаточная функция [по формуле (15.4!)1 1, (/,) Ье Ь, Ье (15 42) (р — РО (р — р() ре+Ь, р+Ь, ре+0,645р+0,708 Приравнивая (как и в предыдущем параграфе) коэффициенты полинома в знаменателе выражения (15.31) соответственно Ь, = 0,645 и Ь, = 0,708, 455 В отличие от фильтра Баттерворта коэффициент Ь„не равен единице (поскольку полюсы передаточной функции расположены не на окружности единичного радиуса, а на эллипсе). Поэтому в числитель вводится коэффициент Ь„для нормирования АЧХ к единице при в = 0 (и соответственно Р=О).
Численные значения коэффициентов Ь,, Ье, „Ь„, а также полюсов р„ р„..., р„в зависимости от степени л и коэффициента неравномерности АЧХ е приводятся в литературе по расчету фильтров. Для иллюстрации синтеза фильтра Чебышева определим схему и параметры фильтра при следующих требованиях: неравномерность в полосе прозрачности не более 3 дБ, затухание при х = гл/ы, = 4 не менее 30 дБ. При заданной неравномерности, приравнивая в выражении (15,34) АК = 1— — 1/У2, получаем е = 1.
Далее по формуле (!5.35) находим требуемое зна- чение получаем следующие соотношения для определения параметров активной ]тС-цепи: + +1 Ко)=Ьт=0 645 =Ь, =0,708. !ой 01 и» С»С» Сохранив соотношения, принятые в 3 15.6 для фильтра Баттерворта (ш,]сзСз ж 1, С,/С, = 0,4), получим шой»Ст= — =ф 2~ Ко~'1+ — о+ — — 0,645 ж 1,46. ооо /!о С, Ь С, [/2 Из сопоставления полученных результатов с результатами расчета фильтра Баттерворта видим, что, изменяя коэффициент усиления К, (операционного усилителя) и несущественно изменяя сопротивления резисторов /с„ /со (или емкости конденсаторов С,, Со), можно перейти от фильтра Баттерворта к фильтру Чебышева. Следует, однако, отметить, что при и = 2 фильтр Баттерворта обеспечивает ослабление АЧХ при х = оо/ш, =- 4 всего лишь на 24 дБ [см.
(15.22) при и=2 и ну=2].Для получения ослабления на 30 дБ потребовалось бы и -- 3 (одно звено второго порядка и одно апериодическое звено). Это преимущество фильтра Чебышева в зоне задерживания (более быстрое убывание АЧХ) достигается ценой некоторого ухудшения равномерности в полосе прозрачности фильтра. 15.8.
СИНТЕЗ РАЗЛИЧНЫХ ФИЛЬТРОВ НА ОСНОВЕ ФИЛЬТРА НИЖНИХ ЧАСТОТ Вернемся к функции (15.20), аппроксимирующей прямоугольную АЧХ идеального ФВЧ, и введем новую переменную о=1/х <ос/ы. (15.43) Квчтта ~носк» йа в-//б; -4 » 0»»б Хо 23 // /твч/Ю /Гнчйо) 48 йй л-Я Пб Хб г,б и"Гхг Рис. 15.!3.
Фильтр верхних частот Чебышева Рис. 15.12. Фильтр верхних частот Баттерворта Тогда Кйч (х) = 1/[1+(1/т)о" ]= тз "/[1+то" ]=К»»ч (о). (15.44) Новая функция К ч (т), получаемая из АЧХ К„ч (х) фильтра нижних частот заменой аргумента на т = !/х, показана на рис. 15.!2 (для л = 2). Функцию К „можно рассматривать как АЧХ фильтра Баттерворта верхних частот, обладающего в полосе частот 1 ( о ( со такой же неравномерностью АЧХ, что и функция Кнч (х) в полосе О ( х~ 1. Таким образом, при синтезе ФВЧ можно использовать апяроксимирующую функцию г (х) [см, (15.19)], заменив в ней аргумент иа т = !/х.
В соответствии с такой заменой частотную переменную р в (15.28) следует заменить переменной з = 1/р. Функция (15.28) при этом принимает вид 1 зо Кзч (з) (15.45) (!/з)'+3 2 (1/з)+1 з»+~ 2 з+1 Полюсы передаточной функции К„ч (з), т. е. корин уравнения зз+']/2»+1 = О, остаются теми же, что и в (15.28). Аналогичным образом можно получить передаточную фуннцию ФВЧ Чебышева. Соотношение между АЧХ'фильтров Чебышева верхних и нижних частот представлено на рис. 15.13 (для л = 4). Соответствущим преобразованием переменной р можно синтезировать и иные фильтры, например полосовые, на основе исходного ФНЧ 127]. 15.9, СВЯЗЬ МЕЖДУ АМГ1ЛИТУДНО- И ФАЗО- ЧАСТОТНОЛ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ В ЦИФРОВЫХ ЦЕПЯХ (15.46) не имеет полюсов в указанной полуплоскости, то четырехполюсиик является минимально-фазовым.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
