Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986) (1095423), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Выражения (7.8) н (7.12) определяют основные статистические характе. рнстикн дробового тока. Теперь нетрудно выявить статистические характеристики напряжения шума на выходе цепи, содержащей «шумящий» элемент. На рнс. ?.3, а н б изображены схемы транзисторного н лампового усилителей, а на рнс. 7.3, в— единая схема замещения для флуктуацнонного тока ! (!). Входные зажимы база — эмнттер (соответственно сетка — катод) соединены накоротко, чтобы подчеркнуть отсутствие внешнего воздействия на усилитель. В качестве источника шума в схеме замещения показан генератор тока ! (!), статистические характеристики которого р (!) н )р, (от) были определены выше.
Напряжение шума и (!), создаваемое на линейном нагрузочном элементе 2 „(<о), распределено, как н ток ! ((), по нормальному закону р(и) = ехр ( — — ~. (7. 1 3) Т)т'йп о„( йоп' / Спектральная плотность случайного процесса и (!) определяется соотношением ))т, = Ж', (оз) 2„' (оз) (7.14) (ср. с (7.2); в данном случае вместо безразмерной передаточной функции )( (со) фигурирует сопротивление Л„ (щ)1. Применяя к (7.14) преобразование (4.39), можно определить корреляционную функцию напряжения шума на выходе усилителя, а также величину о, т.
е. среднеквадратнческое напряжение шума. т В технической литературе также распространена формула )р; (ьт) = 2«/з, при выводе которой среднюю мощность о,' относят только к поло кительнйм частотам. Рассмотрим механизм формирования собственного шума в резистивном и резонансном усилителях. В резистивном усилителе сопротивление 2к ((со) определим для схемы на рис. 5.10, а по формулам я+11(юС. * ' 1+(О)с,(7)о ' Постоянная времени цепи )тСо во много раз больше длительности импульса т;, соответственно полоса пропускаиия цепи )7С„ примыкающая к нулевой частоте, во много раз уже, чем ширина спектра У; (ю), показанного на рис.
7.2. Поэтому при определении воздействия на цепь дробового шума его можно рассматривать как белый шум со спектром К; (ш) = еуо. Тогда по формуле (7.14) Ю'„(ш) = — е7,)7т1!1+(шС )7)') (7.16) и по формуле (4.39') 1 (' е"'т 1 е1о 17~ 1 (' соа сот 2и,) 1+(юС 17)о ((7Со)' и,) (1117Со)~+ю~ ',о о Входящий в правую частьхинтеграл о Таким образом, )7„(т) .= — ехр ~ — — ~. е(оР 1 (т) т 2Со (, Я Со,) (7,17) При т = 0 это выражение определяет дисперсию напряжения шума о„' и среднеквадратическое напряжение шума о„: о„=11„(0) = —, о„—.
е1о (С Г е1о й 2Со 1' 2Со (7.18) -ХО гт Ха ~ага -йо и го ооЩ Рис. 7.0. Нормированная корреляционная функция шума, соответствующая спектру (Р'„(го) (рис. 7.4) Рис. 7.4. Спектр шумового напряжения на выходе резистивного усилителя 207 г1ормированная корреляционная функция шума гк (т) .= ехр ( — )т )1ЯСо). (7.19) Графики спектра Ю'„(от) и функции г„(т) изображены на рис. 7.4 и 7.5. Интервал корреляции напряжения шума в данном примере определяется величиной )т)1)7Со ж 1. Нетрудно пояснить смысл полученного результа- та.
Напряжение шума на нагрузке образуется совокупностью беспорядочно следующих импульсов тока, создаваемых отдельными электронами. Каждый из этих импульсов создает импульс напряжения, длительность которого определяется постоянной времени нагрузки. При наложении большого числа импульсов относительная скорость изменения суммарного напряжения шума и (1) должна быть того же порядка, что и скорость изменения отдельных импульсов. Поэтому для независимости напряжений, отсчитываемых в моменты 1 и 1+ т, величина т должна быть не менее длительности импульсов, образующих шум. Для количественной оценки напряжения шума, создаваемого дробовым эффектом, приведем следующий пример, характерный для апериодического усилителя: постоянный ток 1э = )0 мА, сопротивление нагрузки Я = 5 кОм, емкость Сэ = 50 пФ. Применяя формулу (7.)8), находим среднеквадратическое напряжение шума на выходе усилителя о„ж$/ ' ' =28 (ОаВ=028мВ Г 1,6.10-ав.10.10-э,5,!Оэ 2 50 10-'а ))2 „(Э1) =- (Р'! (Н) 73„(ьа) г Е1 Л,'„(ЭЭ), (7.20) где гак ((эа) =— ~эк э 1+(лак 2 (м — кар) ! -)-Е Яэк эа р а Ла„р — — )г — сопротивление контура (шунтированного резистором )с ) при резонансе.
Отсюда квадрат модуля сопротивления нагрузки (7.2 )) Лак (эа) =- Я,'„!(! +(са — ыэ) тМ где тк = 29,„1эар — постоянная времени контура. Таким образом, (7.22) ()г„( ) = 1эяМ)+( — )' !. График спектра (Р„(эа) изображен на рис. 7.б. Выражение (4.39') для корреляционной функции в данном случае принимает следующий вид: 2л .) !+(эа — эар)ат„' л .1 1+(м — эар)ата„ э о 20В Определенное таким образом напряжение можно условно рассматривать как результат приложения некоторого напряжения шума ко входу усилителя, При коэффициенте усиления К„эквивалентное напряжение шума на входе следует приравнять величине иэк = о„)К .
При коэффициенте усиления К» ж !00 получаем иа„ж 3 мкВ. Это значейие и определяет нижний порог сигнала, который еще имеет смысл усиливать данным усилителем. Аналогичным образом можно рассмотреть формирование шума в колебательной цепи резонансного усилителя, схема которого изображена на рис.
5.)3. По аналогии с выражением (7. (4) определим спектр (а-есп) т„ Рис. 7.6. Спектр шумового напряжения на выходе резонансного усилителя Переходя к новой переменной а, = а — шр, получаем )с„(т) = — ~ ' йо, = е/РЯ Г .1 +а 1+а', с'„ 5СП Сдс т йа, 1+се,' те е/е )7ше Г Спзас5 — созарт ~ ' йо,— з)парт ~ Л 1+а„' тт — а Р РР Заметим, что при достаточно большой добротности контура выполняется условие ~, ~.
= ар (20шс/~,) = 2().. >> 1. Поэтому нижний предел интегралов — ар можно заменить на — оо. Второй интеграл обращается при этом н нуль вследствие нечетности подынтегральной функции относительно переменной интегрирования а,. Первый же интеграл вследствие четности подынтегральной функции приводится к виду сов аст 2 Г созаст Йа, миас, 1л-аз та ткз,) 1/тек+а', — м Р е Аналогичный интеграл был вычислен при выводе формулы (7.17). Используя этот результат, получаем е/ )75 Й (т) = — созарт — е Р )сш 2 птк — ГП/т Л 2 (7.23) Здесь через и„= 1/тк обозначено затухание контура. Учитывая, что при шунтировании контура сопротивлением /7ш коэффициент затухания а„ = = 1/2/с С, записываем формулу (7.23) в следующей форме: Й (т) = — е к сова т.
е/а )сш — а 151 2С Р (7.23') Из формул (7.23), (7.23') вытекает, во-перных, что средний квадрат напряжения шума на контуре а„' = /хск (О) = е/е К, сск =е/е )ссш/2С (7.24) 209 е/, 17' тк Рис. 7.7. Нормированная корреляционная функция, соответствующая спектру Ф' (а) (рис. 7.6) и среднеквадратическое напряжение шума а, = Уе!0)(„,!2С; во-вторых, нормированная корреляционная функция определяется вйражением г„(т) -е " ' созгарт=е '' ~' соэш„т. (7.25) где )г — сопротивление резистора, генерирующего шум; й -= ),38 х х ! О-" Вт .
с!град — постоянная Больцмана; Т вЂ” асболютная температура. Тепловой шум является белим шумом. Как и в выражении (7.(2), )й'„(ы) здесь определено для положительных и отрицательных частот. При отнесении мощности шума только к положительным частотам коэффициент 2 следует заменить на 4. 7.4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ Пусть задан стационарный эргодический случайный процесс з (!) со спектром )Р; (ы) и корреляционной функцией Я, (т); требуется найти аналогичные характеристики для производной з (!).
Не останавливаясь здесь на рассмотрении всех условий дифференцируемости случайной функции, ограничимся основным требованием; энергетический спектр В', (н) при га - со должен убывать быстрее, чем >/со', так что ~ 0Р Ж'„(ы) йо(со. (7.27) Это условие выполняется для большинства практических задач, так как спектр )Р, (гв) формируется физической цепью, передаточная функция которой при га — оо убывает быстрее, чем )/ы (а квадрат модуля уменьшается быстрее, чем )!ы'). Условию (7.27) не отвечает белый шум с бесконечно широким спектром, однако обычно рассматривается шум с ограниченным спектром. 2!О График функции г„ (т) показан на рис.
7.7. Интервал корреляции в рассматриваемом случае определяется ходом огибающей функции г„ (т), т, е. множителем е пп' в выражении (7.25). Пересчет напряжения шумов ко входу усилителя, как и для апериодического усилителя, можно сделать по формуле и,„= о„Яг, в которой под К следует подразумевать коэффициент усиления на резойансной частоте.
Напряжение шума, выделяемое на высокодобротном колебательном контуре, показано на рис. 4. (7. Приведенные в ~ 4.б характеристики узкополосного случайного процесса могут быть полностью отнесены к дробовому шуму в резонансном усилителе. Нужно иметь ввиду, что изложенный в данном параграфе материал дает представление лишь о методе анализа характеристик собственных шумов, формируемых избирательной цепью усилителя. Механизм образования шумов зависит от ряда физических и конструктивных особенностей усилительных (активных) элементов, которые здесь не рассматриваются.
В заключение укажем, что приведенные выше соотношения можно ис. пользовать также при анализе теплового шума в избирательных цепях. Необходимо лишь спектр такого шума определять по формуле, известной из физики, )Р, (ы) = 2яТГг, (7.26) Считая условие (7.27) выполненным, рассмотрим прохождение случайного сигнала з (() через идеальную дфференцирующую цепь, передаточная функция которой К (ссо) = ссота 1см. (б. !7)1. Применяя выражения (7.2), (7.3), можем написать )Сс а вых (со) Кх (со) (г (со) т сов )сг (со), (7.28) )7 (, ) та ! ~ соа !Р' (со) есшх ( вп (7.29) Дисперсия процесса на выходе устройства (7.30) Рассмотрим следующий пример. Пусть спектр процесса иа входе диффеРенциРУющего УстРойства РавномеРен в полосе частот — (с (7 «='7с: Ч7„(со) Ю'а при )со) (2л)с =.Ьсо„ 0 при ) со() 2п(с =бсос.
Корреляционная функция подобного процесса 1см. (4.4!)1 ссс,(т) = Ю'а21с(а!псхсост/сссост), а дисперсия О,=о,'=)7,(0) (Тга21с. Нормированная корреляционная функция г, (т) = (ейп Ьсост'7~бсост. (7,3!) (7.32) 2!! После дифференцирования получаем (Р'„ы,(со) =-т',сов!!га и Ьш, )хавых(т) =та (га ) со соз сатс(со = — — а(2 Ьсост соз бсос т + + [(бсост)в — 21 з!и Лсост). Домножив числитель и знаменатель на (бы,)' и учитывая, что )сга бсос = !с' а2пс с — поа приводим предыдущее выражение к виду )~а вы х (т) = (бсас та)' оа у(стсос «) (7,33) где У (бсос т) = (бсост) '(2бсост соз бсост+1(бсост)а — 21 гбпба>ст).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
