Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986) (1095423), страница 49
Текст из файла (страница 49)
3.753.2 в (28)) ! 0() 2 (' соьчх ! /() (7.55) "3 У~ — ла где /а — бесселева функция первого рода нулевого порядка. Для отсчета, взятого из суммы Л/ гармонических колебаний с одинаковыми амплитудами 1/Л/, но со случайными взаимно независимыми фазами, характеристическая функция в соответствии с (7.53) будет (7.56) Амплитуда каждой из синусоид приравнена 1/ ~Л/ для того, чтобы дисперсия суммы, равная 0,5Л/ (1/)гйг)з, оставалась при увеличении числа синусоид неизменной. На рис.
7.9 изображены характеристические функции для различных значений Лг. ПРи Лг > 4 фУнкциЯ Оч (з)) быстРо пРиближаетсЯ к пРедельной кривой Лг -е оо, соответствующей нормальному распределению суммы. Для отыскания плотности вероятности суммы Лг гармонических колебаний необходимо в соответствии с выражением (7.46) вычислить интеграл рл(х) = — 0! 0ч (т!) е — !ч'с(т! = — 3! ~/о ! = !~ соз т)хс(т), (7.57) ч а При Лг = ! получается исходное выражение р (х) для одной синусоиды (формула (4.25)1, а при Л/ = 3, 4 функции рм (х) имеют вид, показанный на рис. 7.10.
Сплошной линией изображена функция р!ч (к) при нормальном распределении (Лг -+ оо), Рис. 7.9. Характеристические функции для суммы ЛГ гармо. ннческих колебаний со случайными фазами 2!7 Рис. 7.10. Плотность вероятности суммы 7У гармонических колебаний со случайными фазами |рис. 7.1!1 11 1 ! ! ! ! — — 7р -дб -йг !7 йг о,б йр йа х Полученные результаты показывают, что при суммировании хотя бы пяти-шести гармонических колебаний со случайными и взаимно независимыми фазами получается стационарный случайный процесс, близкий к гауссовскому. Это справедливо для значений 1х~ ~ )/ Ф (при А, = 1).
При больших значениях (х) рм (х) = О, в то время как при нормальном распределении р (х) отлично от нуля. Таким образом, при конечном числе слагаемых Аг на «хвостах> кривой распределения неизбежно расхождение между рм (х) и р (х). 7.7. НОРМАЛИЗАЦИЯ СЛУЧАЛНЪ|Х ПРОЦЕССОВ В УЗКОПОЛОСНЪ|Х ЛИНЕИНЫХ ЦЕПЯХ 218 Пусть на входе линейной цепи (с постоянными параметрами) действует стационарный случайный процесс с распределением, отличным от нормального. Если интервал корреляции этого процесса меньше постоянной времени цепи (т.
е. ширина энергетического спектра больше полосы пропускания цепи), то распределение случайного процесса на выходе приближается к нормальному. Эффект нормализации проявляется тем сильнее, чем уже полоса пропускания цепи. Поясним это положение на двух примерах. Сначала рассмотрим воздействие на высокодобротный колебательный контур последовательности коротких, неперекрывающихся, случайным образом расположенных на оси времени импульсов (рис.
7.11), причем постоянная времени контура т„велика по сравнению со средней величиной интервалов между импульсами. Напряжение на контуре в какой-либо момент времени 1, является суммой свободных колебаний, вызванных предыдущими импульсами и не успевших полностью затухнуть к рассматриваемому моменту. Чем уже полоса пропускання цепи, тем длительнее свободные колебания и, следовательно, тем большее число соизмеримых по величине и некоррелированных слагаемых принимает участие в образовании результирующего напряжения в момент 1!.
В соответствии с центральной предельной теоремой эти предпосылки достаточны для приближения распределения к нормальному. При спектральном подходе эффект нормализации можно объяснить следующим образом. Спектр колебания в контуре суммируется из спектров отдельных импульсов входной последовательности. Внутри каждого из этих парциальных спектров фазы спектральных составлвощпх полностью кор- 2 3 4 5 8 7 8 а.- Рис.
7.!2. Изменение частоты колебания по пилообразному закону со случайным периодом релированы, а между фазами составляющих из различных спектров никакой корреляции нет (из-за случайной расстановки импульсов на оси времени). — — + — Чем уже полоса прозрачности контура, тем меньшую роль играет корреляцияя фаз в парциальных спектрах. Приведем другой пример, поясняю- щий явление нормализации в узкоРис 7,!! Отклики колебательной пе- полосной цепи. Пусть на кОнтур возни на отдельные импульсы хаотиче- действует непрерывное колебание с по- ской последозагельиости стоянйой амплитудой и с частотой, модулированной по пилообразному закону со случайным периодом (рис.
7. (2). При каждом пробеге частоты через полосу прозрачности контура 2бгоз в последнем возникает свободное колебание, амплитуда которого обратно пропорциональна наклону «пилы». Так как моменты пересечения полосы прозрачности расположены на оси времени случайным образом, то и свободные колебания образуют импульсную последовательность со случайными интервалами (уь, !л+г). При медленном качании частоты, когда интервалы велики по сравнению с постоянной времени контура тго свободные колебания не перекрываются. Предположим, что т„велико по сравнению со средним значением интервалов Т, .Тогда в любой момент времени будет накладываться много колебаний со случайными и взаимна независимыми фазами и амплитудами.
При этом входное колебание, закон распределения которого определяется формулой (4,25) (изменение мгновенной частоты не отражается на одномерном законе распределения высокочастотного колебания с постоянной амплитудой), преобразуется в случайную функцию с распределением, близким к нормальному. Нормализация будет тем полнее, чем болыпе т„по сравнению с Т„. Учитывая, что для одиночного контура имеет место соотношение Лепет„=- = — 1, а средняя частота «пилы» Р,р = )7Т,р, условие нормализации'можно записать в форме неравенства Рср )) Лгое. В широкополосных линейных цепях при некоторых условиях может иметь место эффект, обратный описанному выше эффекту нормализации: распределение процесса на выходе цепи может отличаться от нормальнога распределения больше, чем на входе.
Можно привести простой пример подобного эффекта. Пусть на вход дифференцирующего устройства подается совокупность относительно длинных импульсов, имеющая распределение, близкое к нормальному. В результате дифференцирования каждый из импульсов превращается на выходе в пару очень коротких импульсов, соответствующих фронтам входного импульса.
Число взаимна перекрывающихся импуль- 219 Г л а в а 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ И МЕТОДЫ ИХ АНАЛИЗА 8,!. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ Основные радиотехнические преобразования осуществляются с помощью либо нелинейных цепей, либо линейных цепей с переменными параметрами. Однако последние реализуются тоже с помощью нелинейных элементов (например, емкость р — л-перехода в полупроводниковом диоде), а некоторые параметрические цепи сами работают в существенно нелинейном режиме (например, параметрический генератор).
Приведем примеры некоторых нелинейных элементов. Следует различать р е з и с т и в н ы е (сопротивления) и р е а к т и вы ы е (индуктивности, емкости) нелинейные элементы. Для радиотехнических цепей и устройств наиболее характерными и распространенными резистивными нелинейными элементами являются полупроводниковые, ламповые и любые другие приборы, используемые для усиления или преобразования сигналов и имеющие нелинейную вольтамперную характеристику. Важным параметром резистивного нелинейного элемента является крутизна его характеристики, Различают два следующих определения крутизны характеристики: а) в рассматриваемой рабочей точке при слабом сигнале (дифференциальная Рис.
8.!. Линейный режим работы элемента с нелинейной вольт-амперной ха- рактеристикой Рнс. 8.2. Нелинейный режим работы элемента с той же вольт-амперной характеристикой, что н на рис. 8.! 220 сов на выходе уменьшается, благодаря чему приближение к нормальному закону на выходе оказывается худшим, чем на входе. Подобный эффект иногда называют «денормализацией» процесса. Следует подчеркнуть, что отмеченный эффект не противоречит тому, что в любой линейной цепи гауссовский процесс сохраняет нормальный закон распределения.
Если в приведенном выше примере среднее число импульсов в единицу времени довести до бесконечности (что необходимо для получения строго нормального распределения), то при дифференцировании, которое можно осуществить в физически реализуемой цепи, процесс будет гауссовским также и на выходе цепи.
крутизна) и б) при сильном гармоническом колебании (средняя крутизна). 0„„ С первым определением крутизны, 82 соответствующим линейному режиму работы прибора (рис. 8.1), мы имели — 7 дело в гл. 5, где эта крутизна опре- 08 Уха делялась выражением (см. (5.30), (5.33)! вида Г и оо а напряжение Уо приравнивалось -08 -04 0 00 08 и (увэе (для тРанзистора), Второе определение крутизны со- -00 ответствует существенно нелинейному режиму работы устройства (рис. 8.2) и может быть дано лишь при учете формы вольт-амперной характеристики нелинейного элемента в широких пределах, зависящих от амплитуды входного сигнала (это будет сделано в 88.5). Примером нелинейной емкости может служить любое устройство с не- линейной вольт-кулонной характеристикой с) (и). На рис.
8.3 изображены вольт-кулонная д„„(и) и вольт-фарадная ха- рактеристики С„= онл (и))и нелинейной емкости и аналогичные характе- ристики д„(и) й С = д„(и)/и = сопз1 для линейнойемкости. Вольт-ку- лонная характеристика нелинейной емкости в рассматриваемом примере была задана выражением д„(и) = Ь,и+ Ь,и' при Ь, = 1 Кл/В и Ь, = = 0,3 Кл/Ва. В дальнейшем нелинейная емкость будет обозначаться С (и). Если приложенное к емкости С (и) напряжение изменяется во времени, то ток через емкость можно определить с помощью одного из двух эквива- лентных выражений 1(1) =— 84 (и) 80 (и) ли (8.2) Ж ни Л Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
