Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986) (1095423), страница 48
Текст из файла (страница 48)
При т-ш 0 получается неопределенность вида О/О, Применив правило Лоппталя, получим У(0) =!13, Тогда 77„ых(0) =о,'„„==(бсоста)ао*' У (0) =-патаа(алсос)а,3. (7.33 ) Сопоставляя (7.33') с выражением (4.83'), в котором бсо следует заменить на бсо,, а г,(т) на г,(т), приходим к окончательному резуль- тату )7, „ы„(0)= — о,'та г',(0). (7.34) В 9 7.8 будет показано, что выражение (7.33') справедливо для произ- водной лссбого стационарного случайного процесса (при К (сто)= с сот„). Графики функций %', (еа) и (р', о„, (ао), а также функций г, (т) и го а „(т) изображены на рис. 7.8, а и б; параметр Лоа,то = 1.
Из рисунка видно, что дифференцирование приводит к ослаблению нижних частот исходного процесса. Относительное возрастание высших частот приводит к более четко выраженной осцилляции корреляционной функции (см. рис. 7.8, б). Рассмотрим теперь прохождение того же случайного сигнала через реальное дифференцирующее устройство в виде /тС-цепи (см. рис. 6.7).
Квадрат передаточной функции дифференцирующей цепи в соответствии с (6.19) К (а) то/(1 +ю то) то ) С Таким образом, знергетический спектр на выходе цепи ) аор то (оо (Ьмо то) (и/Ьмо) (г (7. 85) 1+и то 1+(амо то) (и/Ьмо) График Ж',,„„(оа) для Лоаота = 1 представлен на рис. 7.8, а штриховой линией, Корреляционная функция Ьоо, 1 Г и'еоо оот а Ьоо~ а — — [Лао, т, — агс1д (Лоа,та)). (7.36) то Результат вычисления нормированной корреляционной функции го о „(т) = )7„, (т)/о,'„„представлен на рис. 7,8, б штриховой линией (для Лоаото = !). Ри (оа фу де 212 Можно считать, что при Аа,то (( 1 физическая )тС-цепь осуществляет дифференцирование рассматриваемого случайного процесса, близкое к точному дифференцированию.
7.5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ Зля выявления некоторых особенностей интегрирования случайной функции рассмотрим сначала прохождение стационарного случайного процесса через физическую интегрирующую )сС-цепь (см. рис. 6.8). Пусть на входе этой цепи начиная с момента 1 = — оо действует случайная функция з (1) со спектром )о',(а) и корреляционной функцией )то (а).
Считая процесс на выходе установившимся, можно определить )Р',,„„ (а) и )т, „т (т) с помощью выражений (7.2) и (7.3), подставив в них 1см. (6.20)1 А'о (ох) = 1~'11 + (ато)т). Таким образом, 1("'„„„х (а) вх Кт( ) )Р„(а)- В'„(а)1(1+ отто), (7.37) (7.38) (хх„„ых (т) — — ~ Ао = — е-''!Гп !Гхо ! Г ооо ат !!то т', л „! 'тоо ".;охх 2то о (7.39) и дисперсию ооых = У'о 12то = Ф'о(2)7С.
(7. 40) Во втором случае (при з (1) ~ 0), когда в соответствии с (4.35) спектр (Ро(а) =(а(1))о 2лб(а)+ )Р (а), причем )Р' (а) = )г'о = сопз( (как и в предыдущем случае), корреляционная функция и дисперсия будут )7о,м„(т! =(з(!))т2л — ( 6(а) ' '"' х(хо дл ! хтоат (а)ооо ат ( ~ — 1о+ ,! ! '-т)а' 2то (7.41) (7. 42) а,'„„= (Р'о/2то = У'о/2)тС. Из приведенных соотношений видно, что в установившемся режиме процесс на выходе физической интегрирующей цепи является стационарным, как и иа входе. 2!и Рассмотрим два частных случая: з (1) = 0 и з (1) Ф О.
В первом случае спектр )Ух, (а) не содержит слагаемого с 6-функцией (см. (4.35) — (4.37)1; полагая (Р'о (о>) = )7х„= сопз1 (белый шум), получаем корреляционную функпию Иначе обстоит дело при точном математическом интегрировании, коэорому соответствует нереализуемая передаточная функция К (<на) = ! <'<от„ (см. (б, 18) !. Условие интегрируемости случайного процесса при этом принимает следуя<щий вид: (7.43) Если условие дифференцируемосги случайной функции (7.27) накладывало требование достаточно быстрого убывания (Т<, (<а) при <а — <, то при интегрировании аналогичное требование относится к поведению )г', (<э) при <а — О.
Интегрирование стационарного процесса з (() с (<', (О) Ф О приводит к нестационариому процессу с неограниченно возрастакнцей дисперсией. Если з з(!) Ф О, то математическое ожидание процесса на выходе также неограниченно возрастает. Следует иметь в виду, что идеальное интегрирующее устройство можно рассматривать как фильтр с бесконечно малой полосой пропускания, Процесс установления в таком фильтре длится бесконечно долго. Поэтому статистические характеристики интеграла случайного процесса существенно зависят от пределов, т. е.
от длительности интегрирования. 7.6. ПАРАМЕТРЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ С7!УЧАИНОГО ПРОЦЕССА НА ВЫХОДЕ ЛИНЕР(НОР( ЦЕПИ. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ Как отмечалось в 4 7.1, при негауссовском случайном процессе на входе отыскание закона распределении на выходе инерционной цени является сложной задачей, не имеющей прямого решения. Существуют лишь приближенные методы решения, связанные с большими вычислительными трудностями. Один из таких методов основан на использовании х а р а к т е р и с т ич е с к и х ф у н к ц и й случайного процесса и известных соотношений между характеристической функцией и моментами распределения процесса.
В теории вероятностей под характеристической функцией О„(<)) случайной величины х или характеристической функцией данного распределения р (х) подразумевается среднее значение функции еы', т. е. 1), (О) = <)4 (е'ч') (7.44) (здесь г! — вещественная переменная). При заданной плотности вероятности р (х) среднее значение величины е'ч' можно определить с помощью выражения (7. 45) О,(ч) = ! е''<" р(х) <)х. Правая часть это<о выражения есть не что иное, как преобразование Фурье функции р (х). Следовательно, если известна характеристическая з)4 функция О, (В) какой-либо случайной величины х, то плотность вероятности р (х) можно найти с помощью обратного по отношению к (7.45) преобразования Фурье 1 р (х) = — Г О, (О) е-г ' г(т).
2л В частности, для нормального закона распределения 1 Г хе р(х) = ехр ~ —— T2л о, ~«2"х ! характеристическая функция в соответствии с (7.45) Ох («)) = ~ ехр ( — 2, ехр (гт)х) «(х. С помощью преобразований, аналогичных (2.75) и (2,77), получаем' Ох(«)) =ехР( -о,'т)ег2). (7.47) Таким образом, при нормальном расйределении график характеристической функции относительно «) имеет такую же форму, как и график плотности вероятности относительно х.
Поэтому о степени приближения распределения какой-либо случайной величины к нормальному можно судить по тому, насколько характеристическая функция рассматриваемой величины приближается к функции, определяемой'выражением (7.47). Характеристическая функция О, (ц) полностью определяется моментами случайного процесса и может быть представлена рядом О. (О) =1 + ~ ' (гй)ч лчк «П я=о (7.48) где моменты а-го порядка определяются )см.
(4.3) для л =11 выражением т,„= ~ «" р(х)с(х.. (7.49) ' В ойщем случае. когда среднее значение случайной нелнчины не равно нулю и 1 1 (х — х)е р (х1ек ехр 12ло, 2о' характеристическая функция в, (ч)=ехр (гхч — о «1ы2) (см., например. 1131). 216 Знание моментов распределения позволяет найти характеристическую функцию От (т)), а по ней и функцию распределения. Вычисление по формуле (7,48) оказывается неприемлемо сложным для практики. Обычно довольствуются решением более простой задачи о преобразовании лишь нескольких моментных функций в линейной системе, которые дают косвенное представление об одномерной плотности вероятности случайного процесса на выходе.
Поясним это на примере простого линейного преобразования — дифференцирования случайно~о процесса х (г). Найдем первые две моментные функции случайного процесса у (!) -- г(х (!)И, т. е. процесса на выходе дифференцирующего устройства. Математическое ожидание процесса у (г) М (у (!)1 = М фх !сЫ! = М ! ! !гп " ( (ы ю Л~ Операции осреднения и перехода к пределу перестановочны, поэтому можно написать М [х (Г+ аГ)! — М 1х (0! л~ Ы ы-о "мх! (г) гп „, (г э ЛФ! — гл,., (0 еи Следовательно, при дифференцировании случайной функции ее моментная функция первого порядка также подвергается дифференцированию. Очевидно, что для стационарного случайного процесса первая моментная функция производной равна нулю.
Повторяя аналогичные рассуждения для моментной функции второго порядка процесса у (!), можно получить 1при условии стационарности процесса х (!)1 М ~ их (й) их(гй! 1 ц ~~хг (т) д Ах (т! Ж1 Иу 1 Дт2 ЖВ (7. 50) где т = !1, — (,1. При т=О (7.5!) М ! р' (!)1 = — и,' г," (О). К этому результату, совпадающему с (7.34'), можно прийти более про. стым способом на основе спектральной плотности мощности процесса х (!) и передаточной функции цепи К ((гэ)= кэ (для момента второго порядка), Для более сложных цепей, осуществляющих различные линейные преобразования случайного процесса, широко распространен способ,,основанный на стохастических дифференциальных уравнениях, и некоторые другие методы 1!41.
Приведем теперь пример задачи, когда использование характеристических функций оказывается весьма эффективным способом. Пусть требуется найти плотность вероятности суммы некоторого числа взаимно независимых слагаемых х„х,, ..., хк. Характеристическая функция суммы имеет следующий вид: 0 ( ) М( пм! М ~ гч (к,+х,-г ...-~ кю! ~ ж М (е~чх,! М(еюмх,! М (ей)хн~ (7.52) (7.53) йк (Ч) !0 (Ч)1'. 2!6 т. е.
характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых. Для частного случая, когда все слагаемые имеют одинаковые распределения и, следовательно, одинаковые характеристические функции Используем выражения (7А5), (7.46) для определения плотности вероятности суммы нескольких гармонических колебаний со случайными фазами. Амплитуды колебаний одинаковы и равны Аа =1/Лг. Основываясь на плотности вероятности гармонического колебания (4.25), находим характеристическую функцию ! ! р е !из О, (т)) = — ! — с(х. )г ! — л! — ! (7.54) Подставляя егч' = созт)х+ гз!пт)х и учитывая, что з!пт)х!У! — х' является нечетной функцией х, получаем (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
