Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986) (1095423), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Поясним применение метода мгновенной частоты на примере одиночного колебательного контура. Подразумевая под К (!а) отношение комплексной амплитуды напряжения на конденсаторе к амплитуде ЭДС, включенной последовательно в контур, получаем 1,ЧаС К (!а) = г (1+ ! (а — а,) т„] Учитывая, что а — а, = ал соз !21 и пренебрегая изменением а в числителе, так как ад обычно мала по сравнению с а, можем записать с) тв К (га) = е ! (1+!алтксоз ИГ) ]/1+(а тисов Ж)а где гр= — [ — +агс(й (ад тк сов Йг)~ ° На основании соотношения (6.59) находим Йр Йап т„з1п Ж 5(!)= — = с(! 1+а1дзт,'созе!)1 (6.62) Применяя (2.24), находим ! А=- — ) 5(!) з(пигб(а!), и „1 1 аа ~ $(1) з!пЗЖб(()!).
о Произведя интегрирование (см. (2.553.3), (2.554.2) и (3.644.3) в (7]), получим следующие окончательные формулы для амплитуд первой и третьей гармоник функции $ (г): (1 — у !+. а')' ао л к (6. 63) шти шт„ а' т,', Здесь ш = а И. шягз юов 45 50 бюв т„ Рис. 6.27, Зависимость коэффициента гармоник от девиации а„ при заданной по. стояиной времени контура т, Рис.
6.28. Возникновение паразитной АМ при модуляции частоты 201 Далее по формуле (6.61) находим фазовый сдвиг для сообщения с)( 1 2 7 = агс15 — =. а(с!6 (~ 1+юдах„' — 1) ыд пиэд тн (6.64) Теперь нетрудно определить коэффициент гармоник по частоте 3(1 на выходе частотного детектора. Для этого нужно разделить амплитуду еэ третьей гармоники функции 5 на амплитуду ыд основной частоты () (см. (6.63)]: 8з 2 ! — 1 ~-ыдтк к 0(д (и юд тн (6.65) График зависимости (пК„» (ыдти) изображен иа рис.
6.27. При (эдтн ~ 1 формулы (6.64) и (6.65) упрощаются: у = ()ти Кгэ = (Ыд тн)э/4ш. При е(дтн -»- 1 (но (п » !), т. е. при девиации, почти равной полосе пропускания контура, формулы (6.64) и (6.65) дают т = 0,8/(п, Кга = 0,13/(и. Итак, в условиях, когда метод мгновенной частоты применим, предельные искажения в одиночном контуре не превышают долей процента.
Нетрудно найти изменения амплитуды выходного колебания. Для этого можно воспользоваться резонансной кривой контура и произвести построение, показанное на рис. 6.28. Видно, что основная частота изменения огибающей амплитуд (/ вдвое превышает частоту модуляции 11. Гл а в а 7. ПРОХОЖДЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 7.1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАР(НОГО ПРОЦЕССА В ЛИНЕР(НЫХ ЦЕПЯХ Рис.
7.!. Линейный( четырехпо люспик с постоянными ядра метрами Пусть на входе линейного четырехполюсника (рис. 7.1) с передаточной функцией К ((ю) и импульсной характеристикой д (/) действует случайный процесс з (/) с заданными статистическими характеристиками; требуется найти статистические характеристики процесса з,„, (1) на выходе четырехполюсника. В гл. 4 были рассмотрены основные характеристики случайного процесса: распределение вероятностей; корреляционная функция; спектральная плотность мощности. Определение последних двух характеристик является наиболее простой задачей.
Иначе обстоит дело с определением закона распределения случайного процесса на выходе линейной цепи. В общем случае при произвольном распределении процесса на входе отыскание распределения на выходе инерционной цепи представляет собой весьма сложную з(т) р/т) зэм» г) задачу Лишь при нормальном распределении входного процесса задача упрощается, так как при любых линейных операциях с гадссоеским процессом (усилении, фильтра- ции, дифференцировании, интегрировании и т. д.) распределение остается нормальным, изменяются лишь функции )с(т) и с«'(со). Поэтому, если зада- на плотность вероятности входного процесса (с нулевым средним) ! т в р(з) — — ехр ~ — — 1, ')/2я о, 2о,' то плотность вероятности на выходе линейной цепи р (з..) =- ехр (7.) ) Дисперсия О, „„=- о,', „легко определяется по спектру или по корреляционной функции.
Таким образом, анализ передачи гауссовских процессов через линейные цепи по существу сводится к спектральному (или корреляционному) анализу. Последующие четыре параграфа посвящены преобразованию только спектра и корреляционной функции случайного процесса. Это рассмотрение справедливо при любом законе распределения вероятностей. Вопрос же о преобразовании закона распределения при негауссовских входных процессах рассматривается в 27.6 — 7.7. 7.2. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ МОЩНОСТИ И КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ СЛУЧАИНОГО ПРОЦЕССА НА ВЫХОДЕ ЦЕПИ (7.2) Корреляционная функция случайного процесса на выходе фильтра определяется с помощью выражения (4.39'): Й„»с в (т) = — — ~ сИ« вы» (ос) ес'«' с(ос = — ~ Ю', (со) К' (ос) ессв' с(со, (7.3) Соотношения между характеристиками случайных процессов на входе и выходе цепи можно вьсвести также и на основе заданной импульсной характеристики цепи.
203 Содержание данного параграфа ограничено рассмотрением стационарных случайных процессов. Спектральную плотность входного процесса обозначим Ю', (со). Задача нахождения )Р,, в (со) легко решается с помощью рассуждений, аналогичных использованным при выводе выражения (4.3!). Умножив спектральную плотность Хвт (со) «усеченной» реализации процесса хв (Г) на передаточную функцию фильтра К (ссо), получим спектральную плотность этой же реализации на выходе Хы (со) =Х»т(со) К(ссо).
Энергию рассматриваемого отрезка реализации можно определить с помощью равенства Парсеваля т/2 Эвт„м„= ~ хввт,„„(с)й = — ~ (Хдт(ос)1») К(ио) (впсоь — тс» Тогда по аналогии с выражением (4.34) получаем ) Хт(со) (» )" ввмх (со) )сш ~в (со) К (со) т . Действительно, поскольку спектральной функции Ф',(ы) соответствует корреляционная функция Й, (т) = — ~ Ф', (о) е ~"~ Йо, 1 2а (7.4) а спектральной функции )(' (ы)— )7х (т) = — ) 7(э (ы) е'"' Йо, 1 2п (7.5) т. е. корреляционная функция импульсной характеристики д ф 1см., например, (2.136), в которой нужно оа (о) заменить на К' (м)1, то произведению спектральных функций )(2, (ы) и К'(н) соответствует свертка функций )7, (т) и )7х (т) 1см.
(2.64)1 )7„„„(т) = ) Й,(х) Й (т — х) Йх. (7.6) Таким образом, по заданным корреляционным функциям й, (т) и )7х (т) определяется корреляционная функция на выходе )7,,„„(т), после чего находится энергетический спектр (7.7) Особый интерес представляет случай, когда процесс на входе является белым шумом. В этом случае )Р',,„,.
(в) = Ю', = сопз( и в соответствии с (7.3) и (7.5) 7(, в ,(т).= ~Р, — ( К' (ы) е'"' гйа = %', )7 (т). (7.7') 2ч „! о к Выражение (7.7') можно применять и в тех случаях, когда энергетический спектр )р, (о) равномерен лишь в полосе прозрачности цепи. Итак, ни спектральный, ни корреляционный анализ прохождения стационарного случайного процесса через линейную цепь с постоянными параметрами не связан с какими-либо трудностями.
7.3. ХАРАКТЕРИСТИКИ СОБСТВЕННЫХ ШУМОВ В РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЯХ 204 При анализе передачи сигналов по радиоэлектронным цепям наряду с неизбежными искажениями формы сигналов необходимо учитывать также и собственные шумы цепи. Эти шумы, накладываясь на сигнал, ограничивают информационную емкость последнего. Проблема шумов особенно актуальна при усилении слабых сигналов.
В радиоэлектронных устройствах имеются два основных источника шумов: дискретная структура тока в усилительных элементах (транзисторы, электронные лампы и т. д.) и тепловое движение свободных электронов в проводниках электрической цепи. Рассмотрим первый источник на примере дробового эффекта, присущего электронному току в усилительных приборах, Этот ток представляет собой Рис. 7.2. Спектральная плотность б, (га! одиночного импульса и энергетический спектр В';(ге) случайного процесса -г/ч, р Ггтл ! (г — !е)» р(г) = — ехр Тlгйп о 2о» (7.8) Постоянную составляющую тока 1, и среднюю мощность флуктуационной составляющей ач можно определить с помощью следующих рассуждений, Пусть среднее за ! с число'импульсов тока равно л,. Так как каждый импульс переносит заряд одного электрона е, то полное количество электричества, переносимое в среднем за ! с, равно Йгл. Это и есть постоянная составляющая тока.
Таким образом, 1е = лтл Введем в рассмотрение спектральную плотность бг (го) одиночного импульса тока г', (! — 1„), обусловленного переносом заряда е одного электрона (!» — момент вылета электрона). Независимо'от формы этого импульса значение б, (го) при о» = 0 равно площади импульса (см. (2.55)!: бд(0) = ( !,(! — !») й=е. (7.9) Длительность т, импульса 1, (1) зависит от геометрии электронного прибора, от напряженности электрического поля в междуэлектродных промежутках и т. д. Ширину спектра импульса в грубом приближении можно приравнять 21т,.
Таким образом, модуль спектральной плотности импульса !, (! — 1„) можно представить в виде графика, показанного на рис. 7.2. Максимальная ордината -е. Энергия одного импульса по формуле Парсеваля З~ = — ( 61 (го) с(от, 2л,! а суммарная энергия й, импульсов за ! с, т. е. средняя мощность процесса (при сопротивлении ! Ом), (а(1) =й Эг+1й = — (! л б)(го) !го+1с=п1-+1о.
2п (7. )О) » См. $ 4.2, п. 3. 205 совокупность импульсов, каждый из которых обусловлен переносом заряда одного электрона. Полный ток, являющийся суммой очень большого числа перекрывающихся, расположенных случайным образом на оси времени импульсов, представляет собой стационарный эргодический случайный процесс, для которого справедлива центральная предельная теорема '. Поэтому распределение электронного тока можно считать нормальным с плотностью Вероятности 2и(6» 2н (ы) 2нтен э скп К «0 ю 5 Ф Рис.
7.3 Транзисторный (а) и ламповый (б) усилители и единая схема замещения для флуктуационного тока (а) Первое слагаемое в правой части (7.10) определяет мощность флуктуацнонной составляющей тока, второе слагаемое — мощность постоянной составляющей ?о. Из выражения (7.10) вытекает, что энергетический спектр флуктуацнонной составляющей электронного тока совпадает по форме со спектральной плотностью энергии б*, (оз) отдельных импульсов, образующих случайный процесс )рч (<') — й Ж (от). (7,1!) Примерный внд Ю', (оз) представлен на рнс. 7.2. Учитывая, что й, = ?а,'е, а также то, что в пределах полосы частот 2/т, имеет место равенство (7.9), получаем' )17,( ) ж 1„0(( 1«1гт,. (7.1 2) Таким образом, приходим к выводу, что в указанных пределах дробовой шум можно считать белым шумом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
