Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986) (1095423), страница 50
Текст из файла (страница 50)
8.8. Вольт-кулонная и вольт-фарад ная характеристики линейной и нели иейной емкостей 0( б( сИ 1 с(и М Если напряжение и = Уа+ и, где Уо — напряжение в рабочей точке, а е — изменение напряжения, причем (и( (( У„то емкость можно представить в виде с = "'""'"' ~ (8.4) ди !ю -и. Определенную таким образом емкость иногда называют д и ф ф е р е нциальнай. Параметр С, определяется крутизной вольт-кулонной характеристики д„„(и). Показанная на рис.
8.3 зависимость С, от и определялась по формуле Се= Ьх+2Ьаи'(и=о,=!+2 О.ЗУа. Наконец, катушка с ферромагнитным сердечником, обтекаемая сильным током, доводящим сердечник до магнитного насыщения, является примером нелинейной индуктивности Ь (1). 22! Соотношение между током 1 и напряжением ис на индуктивности следует из исходного выражения для потокосцеплеция Ф (1) = 7. (1) 1. (8.5) Очевидно, ис(1) = — = — — 1+ 1.(1) — — -~1 +1 (1)~ —, (8.6) ЕФ(1) ЕЬ(1) Ж, си Г.
аГ. 11) . ) »п ш од ш ш ~ ш ~ а Если задано напряжение иь (1) на индуктивности, то, очевидно, ~ иь (1) й1 = Ф (1) - = 1. (1) 1(1) и, как и в случае линейной индуктивности, 1(1) = — ~ иь (1) й1. 1 с (1) Под дифференциальной индуктивностью подразумевается величина 7-» = — „. аФ( ) (8.7) Понятиями гдифференциальные сопротивление, емкость и индуктивность» широко пользуются при рассмотрении воздействия относительно слабых сигналов на нелинейные элементы. При этом нелинейность элемента проявляется лишь в том, что )7„С» и Ь, зависят от управляющего напряжения (или тока), определяющего положение рабочей точки на нелинейной характеристике.
По отношению же к слабому сигналу подобный элемент является линейным устройством с переменным параметром (если управляющее напряжение изменяется во времени). Свойства таких элементов рассматриваются в гл. 10. 8.2. АППРОКСИМАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК 222 Для анализа и расчета нелинейных цепей необходимо задать вольт-амперные или иные аналогичные характеристики нелинейных элементов в аналитической форме. Реальные характеристики обычно имеют сложный вид, что затрудняет точное их описание с помощью достаточно простого аналитического выражения.
Широкое распространение получили способы представления характеристик относительно простыми функциями, лишь приближенно отображающими истинные характеристики, Замена истинной характеристики приближенно представляющей ее функцией называется а п п р о к с и м а ц и е й характеристики. Оптимальный выбор способа аппроксимации зависит от вида нелинейной характеристики, а также от режима работы нелинейного элемента. Одним из наиболее распространенных способов является аппроксимация степенным полнномом.
Запишем аппроксимирующий степенной полинам в форме 1(и) =1(У„) + а, (и — У,) + а, (и — У,)'+ а, (и — У,)'+ ... (8.8) Если под нелинейным элементом подразумевается транзистор, то 1— ток коллектора, а и — напряжение, например, между базой и эмиттером. Для вакуумного триода или пентода и — нацряжение между управляющей сеткой и катодом, а 1 — анодный ток и т, д. о ц,аиоЬ К, а е е, Рис. 8.5. Характеристика, для аппрок. симации которой требуется полипом третьей степени Рис. йсй Положение рабочей точки и пределы использования вольт-амперной характе. ристики (а, в), при которых применима аппроксимация полиномом второй сгепени Коэффициенты а„а„а„... определяются выражениями (8.9! Нетрудно видеть, что а, представляет собой крутизну характеристики в точке и = Уо, ая — первую производную крутизны (с коэффициентом 1!21), а — вторую производную крутизны (с коэффициентом 1г31) и т.
д. При заданной форме вольт-амперной характеристики коэффициенты а,, а„а„, ... существенно зависят от Уо, т. е. от положения рабочей точки на характеристике. Рассмотрим некоторые типичные и важйые для практики случаи. !. Рабочая точка расположена на начальном участке характеристики, имеющем вид квадратичной параболы (рис. 8А). Предполагается, что подводимое к нелинейному элементу напряжение сигнала е„накладываясь на постоянное напряжение Е, = Уо, не выходит за точку У„т. е. за начало характеристики. Выражение (8.8) в данном случае можно записать в виде полинома второй степени г' ((/о + е.) — г' (Уо) 1- от е, + а, е,'. (8.10) Коэффициент а„определяемый выражением (8.9), представляет собой крутизну характеристики (8.1) и поэтому в дальнейшем обозначается символом 5.
Коэффициент а, определяется из условия, что при е, = У, — Уо ток 1 = О, откуда вытекает уравнение (и„) +8 (и, — (),)+ а, (и,— и,)я = О. 223 Таким образом, а, — — 11 (ив!+ 5 (и„— ио)йит — ио)'. (8.1 1) 2. Рабочая точка является точкой перегиба характеристики, показанной на рис. 8.5. В точке перегиба кривой г' = !".(и) все производные четного порядка равны нулю, Поэтому коэффициенты при четных степенях в выражении (8.8) обращаются в нуль и его можно записать в форме г(а)=г((го) 1 ат(а ()о)+ао(а — ('о) ! ао(а,Уо) + " (8.12) Для упрощения анализа часто ограничиваются полиномом всего лишь третьей степени без квадратичного члена (неполным полиномом третьей сте- х пени). Заменяя, как и в и.
1, и — Ув на напряжение сигнала е„ получаем 1 1(0а+е,) =-1(Уе)+а,е,+алев,. (8.13) 1 Соответствующая этой аппроксимации хай рактеристика показана на рис. 8.5 штриховой ггс линией. Напряжение У,„, соответствующее экстремумам аппроксимирующей функции и Рис 86 Харак авиатика отсчитываемое от и = У„иногда называют нат еб ется полипом высокой пряжением насьпцения, Заданием этого напра для аппроксимации которой ження, а также а, (крутизны 3 в точке Уе) однозначно определяют коэффициент а, в выражении (8.13). Действительно, в точке Уе+У,„,„, т.
е. при амплитуде входного сигнала, равной У,„, выполняется тождество ив' в — = ах+ЗазУмвх — — О, йев вв Омах откуда а, = — а;!ЗУ*„=- — о/ЗУ'„, ( О. (8.14) Отметим, что аппроксимацией (8,13) допустимо пользоваться, когда напряжение сигнала не выходит за пределы ~У 3. Рабочая точка находится на нижнем сгибе характеристики, изображенной на рис. 8.6. Если изменение напряжения настолько велико, что используется участок, обозначенный на оси абсцисс буквами а, Ь, то для удовлетворительной аппроксимации требуется полинам пятой и более высокой степени. При этом анализ усложняется и применение степенного полинома для практических расчетов оказывается неэффективным. При очень больших амплитудах сигнала часто удобнее заменять реальную характеристику идеализированной, линейно-ломаной, составленной из отрезков прямых линий.
Такое представление характеристики называется к у с оч н о- л и н е й н о й а и и р о к си м а ц и е й. Некоторыепримеры кусочно-линейной аппроксимации изображены на рис. 8.7. Рис. 8.7, а соответствует случаю, когда используются нижний сгиб и линейная часть характеристики (участок а — с); рис. 8.7, б — когда сигнал захватывает нижний и верхний сгибы (участок а — й), а рис. 8.7, в — когда сигнал достигает также и падающего участка характеристики (участок а — ~). Следует особо подчеркнуть, что замена реальной нелинейной характеристики линейнылви отрезками не означает линеаризации цепи.
Например, несмотря на то, что на участке Ь вЂ” с (рис. 8.7, а) характеристика линейна, по отношению к сигналу, захватывающему область изменения а — с, система в целом является существенно нелинейной. а С с ах и б а с с йз с О с и сэ Рис. 8.7. Примеры кусочно. линейной аппроксимации характеристики при различных пределах ее использоаання 224 Кусочно-линейная аппроксимация особенно проста и удобна для исследований и расчетов, когда основное значение имеет нижний сгиб характеристики, т.
е. когда можно ограничиваться двумя прямыми (рис. 8.7, а). При более сложной форме используемого участка характеристики число аппроксимирующих отрезков растет и кусочно-линейная аппроксимация теряет свои преимущества. В подобных случаях иногда для аппроксимации применяются различные трансцендентные функции, например гиперболический тангенс, экспоненциальные функции и некоторые другие.
Описанные выше приемы аппроксимации применимы и к соответствующим характеристикам р е а к т и в н ы х нелинейных элементов. 8.3. ВОЗДЕЙСТВИЕ УЗКОПОЛОСНОГО РАДИОСИГНАЛА НА БЕЗЪ|НЕРЦИОННЪ|Е НЕЛИНЕЙНЪ|Е ЭЛЕМЕНТЪ| Под безынерционным нелинейным элементом подразумевается любой электроннь!й прибор с нелинейной вольт-амперной характеристикой при использовании его в диапазоне частот, на которых можно пренебречь влиянием паразитных параметров (внутренних емкостей и индуктивностей). Рассмотрим режим работы, представленный на рис, 8.8, при котором напряжение сигнала е, (!) не выходит за пределы точки (7! и вольт-амперная характеристика ! (и) удовлетворительно аппроксимируется степенным поли- номом (8.8). Сигнал е, (1) зададим сначала в форме гармонического колебания е, (!) = Е соз (!6,1+ 0,) = Е созф, (!). Результаты анализа затем будут распространены на некоторые узкополосные радиосигналы.
Подставив в (8.8) и — (76 = е, (!), получим с(!) = ! ((76)+ а, Есоз!1,(!)+а, Е'соз'!Р,(!)+ паЕ'созаф,(1)+ „. (8.15) Форма тока ! (1) показана на рис. 8.8. С помощью тригонометрических соотношений 1, ! 6 ! соз х = — .1- соз 2х, соз' х — — соз х + соз Зх, соз х = 2 2 4 4 3 1 ! 6 = — + — с об 2х + — соя 4х, соз' х = — ' соз х -1- — ' соз Зх + 8 2 8 8 16 1 + — со65х и т.д. 16 выражение (8.15) приводим к виду ! (!) = [! ((76) + — а, Еэ+ — а4 Е' -1- ...~ + 1 а, Е + — а, Е + + — а6 Е'+...
! соэ!р!(!)+ 1 — а,Е'+ — а, Е'+...)Со62ф,(!)+ 2 + — а6 Еа + — а Е' -!- ... соя Зф, (!) + — а, Е -г ... ) с об 46ь (!) + 4 16 ) 8 — а6 Е'+ ...) соз 5ф!(!)+ ... =!6 —,' 7!соя ф,(!)+ (,со62ф! (!)+ 16 +!,созЗф,(!)+... (8.15) Из этого выражения видны следующие проявления нелинейности вольтамперной характеристики при гармоническом воздействии: 8 зак. ! 626 ток покоя 1 (Ув) получает приращение, обусловленное коэффициентами а„ а,, при четных степенях полинома (8.8): 1о .= ' ((1в) + — ' пз Е + — пз Е + " 1 ! Я 3 2 8 (8. 17) амплитуда 1, гармоники основной частоты оз, связана с амплитудой возбуждения Е нелинейным соотношением, обусловленным нечетными степенями полинома (8.8): 1,=а, Е+ — а, Е'+ ...; (8.!8) 4 Рис. 8.8. Слабонелинейный режим работы усилительного прибора ток 1 (1) содержит высшие гармоники с частотами лсоы кратными частоте воздействия со,.
Гармоники с частотами 2оз„4озы... обусловлены четными степенями, а гармоники с частотами Зазы 5оз,.... — нечетными степенями полинома (88) Очевидны также следующие положения: наивысший порядок гармоник совпадает со степенью Й полинома, аппроксимирующего характеристику нелинейного элемента; полная фаза и-й гармоники чК (1) = псе,1+ пО,. Выражения (8.15) — (8.18) полностью сохраняют свою структуру при замене постоянной начальной фазы О, модулированной фазой О, (1) = О,,„х х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
