Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986) (1095423), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Совершенно аналогично н функцию Н (р) при )р) — оо можно представить в форме Н (р) = Ар"-'" где п и т — числа соответственно нулей и полюсов функции Н (р). При и ( т и )р) — оо модуль функции Н (р) на полуокружности )с— оо равен нулю'. Таким образом, полуокружность бесконечно большого радиуса Я на плоскости р преобразуется в точку, лежащую в начале координат на плоскости Н, и для построения годографа Н в виде замкнутого контура достаточно знать поведение Н (р) на оси (ш, т. е.
знать АЧХ и ФЧХ цепи Кт Ош) Кое Ото). Обходу контура С на рис. 5.24, а в положительном направлении (против часовой стрелки) соответствует обход годографа Н при изменении частоты от оо до — оо, т. е. также против часовой стрелки (см. рис, 5.24, б). Очевидно, что вся правая полуплоскость р преобразуется на плоскости Н во внутреннюю область годографа. Следоват ельно, если годограф передаточной функции разомкнутого тракта не окватывает точку /, 10, то при замкнутой цепи обрагпной связи система устойчива, в противном случае система неустойчива.
Это условие называется критерием устойчивости Найк виста. Показанная на р)тс. 5.24, б диаграмма соответствует устойчивой системе. Это видно из тогщ'что годограф Н не охватывает точку 1, 10. Сплошной линией показана часть контура, соответствующая положительным частотам 0 ( ш ( оо, а штриховой — часть контура, соответствующая отрицательным частотам. Так как функция и (ет) четная, а о (ш) нечетная относительно ш, то оба участка годографа симметричны относительно действительной оси. Следует также отметить, что рис.
5.24, б построен для случая, когда при ш = 0 передаточная функция Н ((ш) отлична от нуля (это возможно, например, для усилителей постоянного тока, в которых отсутствуют разделительные конденсаторы). При сложной схеме цепи форма годографа иногда бывает настолько усложненной, что по ней трудно судить о том, охватывается или не охватывается годографом точка 1, 10. В подобных случаях оказывается полезным критерий, вытекающий нз критерия Найквнста, основанный на подсчете числа пересечений оси и (ш) на участке 1, оо.
Для устойчивости цепи необходимо, чтобы годограф либо вообще не пересекал этот отрезок (как на рис. 5.24, б), либо пересекал его в положительном и отрицательном направлениях одинаковое число раз. Критерий Найквиста получил наибольшее распространение в радиоэлектронике, автоматике и других смежных областях. Основное его преимуще- т Имеются в виду наиболее распространенные в практике четырехполюсникн с пе редаточной функцией у которой степень числителя л меньше степени знаменателя ш 172 ~рн = агс19 — = ~Ру (ю) + ~рос (го), о (ю) н (ю) (5.94) есть ФЧХ цепи К„К„. Совместив на общем графике АЧХ и ФЧХ, нетрудно ответить на вопрос об устойчивости цепи.
Если при изменении га от О до оо фаза гр„ не достигает 2гс, то замкнутая цепь устойчива при любом значении К К„. С другой стороны, если К К„ при любой частоте меньше единицы, то цепь устойчива при любой Фч1Х. Цепь неустойчива если имеются частоты, при которых одновременно выполняются два условия: ~рт + гр„=п2п, и†целое число, О = К„ К„ ~ 1, (5,95) По существу эти два условия необходимы для обращения в нуль знаменателя в выражении (5.76), определяющем передаточную функцию замкнутой цепи. Пример АЧХ и ФЧХ устойчивой цепи с обратной связью показан на рис.
5.26, а неустойчивой — на рис. 5.27. В первом случае на частоте оге, соответствующей грт + гр„= 2п, модуль Н~ 1. Во втором случае го„— частота паразиткой генерации. На рис. 5.26 и 5.27 отложены абсолютные значения гр + ф„. При учете знака реальных гр и ф„наклон ФЧХ будет отрицательным. При построении этих характеристик учтено, что при го = О и го = со величина К К„обращается в нуль. При го -и О это обусловлено влиянием последовательно включенных конденсаторов в канале К или К„, а при го — со — влиянием шунтирующих емкостей (межэлектродных, монтажа и т, д.).
Полное изменение фазы при изменении го от О до оо зависит от числа звеньев в усилителе и в цепи обратной связи. Для более сложных цепей, когда набег фазы в тракте К Кос может быть болыпе 2п, приходится прибегать к критерию Найквиста. )озоас! )пн)гас) (раа г) 1 гилас )гти нас) о г Рис. о.27. Амплитудно- и фаао-частотная характеристики иеустойчиного уси- лителя Рис. 5.26, Амплитудно- и фаао-частотная характеристики устойчкаого усилителя с ооратиой сиянью )ТЗ ство: удобство оперировзния АЧХ и Фт1Х разомкнутой цепи.
В некоторых системах, например содержащих линии, этот метод по существу является единственно приемлемым. Суть частотного критерия можно наглядно пояснить не прибегая к полярным диаграммам, на основе обычных АЧХ и ФЧХ разомкнутой цепи К 1Г„. Действительно, длина вектора Н (гго), как это ясно из выражения (5.92), есть не что иное, как модуль коэффициента передачи разомкнутой цепи К К,'„т. е. АЧХ этой цепи, а аргумент ф„(рис. 5.26), равный Г л в в а Б. ПРОХОЖДЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕИНЫЕ ЦЕПИ С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 6.!.
ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ В радиоэлектронике приходится иметь дело с различными сигналами и разнообразными (в основном инерционными) цепями. При передаче сигналов по таким цепям возникают переходные процессы, которые влияют на форму сигналов и в конечном счете на содержащуюся в них информацию. В гл, 1 отмечалось, что большинство радиотехнических устройств представляет собой сочетание линейных и нелинейных элементов. Это усложняет строгий анализ переходных процессов, так как классические методы, основанные на использовании принципа суперпозиции, являются линейными. Имеется, однако, широкий круг практических задач, которые можно успешно решать линейными методами.
Такие задачи встречаются прежде всего при передаче слабых сигналов через усилители и другие устройства, которые по отношению к слабым сигналам практически линейны. Даже в существенно нелинейных устройствах, например радипередатчиках, можно рассматривать прохождение сигналов через колебательные цепи на основе линейных методов, Напомним основные методы, которые используются при анализе прохождения сигналов через радиоэлектронные цепи. Для простейших цепей, описываемых дифференциальными уравнениями не выше второго порядка, задачу обычно нетрудно решить классическим методом дифференциальных уравнений.
Для сложных цепей значительно удобнее методы, основанные на спектральном представлении сигнала: метод интеграла Фурье и тесно с ним связанный операторный метод (преобразования Лапласа). Наряду со спектральными методами в радиоэлектронике часто используется также метод интеграла наложения, сводящийся к свертке входного сигнала с импульсной характеристикой цепи. При передаче радиосигналов через узкополосные избирательные цепи указанные методы используются с упрощением, основанным на медленности изменения огибающей сигнала.
В данной главе излагаются основные положения теории передачи детерминированных сигналов через линейные цепи с постоянными параметрами. 6.2. СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД В основе этого метода лежит использование введенной в предыдущей главе передаточной функции цепи К ((а) (см. 2 6.3). Если на входе линейного четырехполюсника действует сигнал произвольной формы в виде ЭДС е ((), то, применяя спектральный метод, следует определить спектральную плотность входного сигнала Е (а). Эта операция легко осуществляется с помощью выражения (2А8). Умножением Е (а) на К (га) определяется спектральная плотность сигнала на выходе четырехполюсника. Наконец, применение к произведению Е (а) К (!а) обратного преобразования Фурье (см.(2.49)) определяет выходной сигнал в виде функции времени.
Таким образом, если входной сигнал записан в виде интеграла. е (г) = — ! Е (а) е'"" па, (6.!) 2а !74 то выходной сигнал можно представить в аналогичной форме /7он !вун (6.2) гь! иии ) ( Е ( ~ ~ ~ ) К ( ив ) е й в 1 1 Д о 2п — О и(!) = — ~ Е(р)К(р)ен'йр.
2и! (6.3) При г) 0 замкнутый контур интегрирования, образованный добавлением дуги бесконечно большого радиуса в левой полуплоскости (рис. 6.1), охватывает все полюсы подынтегральных функций как Е(р), так и К (р), благодаря чему имеет место соотношение и(!) =- — 4Е(р) К(р) ен'ар =2,гез, () 0 2п! т (здесь Хгез — сумма вычетов в указанных полюсах). При !( О контур интегрирования лежит в правой полуплоскости, не содержит полюсов и интеграл равен нулю. Показанное на рнс. 6.1 расположение полюсов функции Е (р) (на мнимой оси) соответствует ЭДС вида е (!) = Е, созоввг, существующей при (>О, Итак вычисление интеграла (6.4) сводится к определению вычетов в полюсах подынтегральной функции.
Представим подынтегральную функцию выражения (6.4) в виде Е (р) К (р) ен' = О (р) еы = С (р) IО (р). (6.5) В данном случае знаменатель О (р) образуется произведением множителей вида (р — р„,), где р, — полюсы не только функции К (р), но и функции Е (р). Тогда вычет функции С (р)/О (р), имеющей в точке р; простой полюс (первой кратности), определится формулой гез, =С(р;) / ~ — (р ~ (6.6) Сравнение выражения (6.2) с (6.!) показывает, что сигнал на выходе линейной цепи мовкно получить суммированием составляюи!их спектра Е (го) входного сигнала, взятых свесом К (!ю), Иными словами, передаточная функция цепи К (!го) является в е с о в о й квнмор внмеглирвввния ф у н к ц и е й, определяющей относительный ри В! Коитур иитегрировавклад различных составляющих спектра иии ири г>О Е (со) в сигнал и (!).
В 2 2,14 отмечалось, что анализ переходных процессов значительно упрощается при представлении как внешнего воздействия, так и передаточной функции в виде преобразований Лапласа. При этом обозначение передаточной функции можно сохранить прежним, а изменить только аргумент, так что К (!ов) перейдет в К (р). Функция же Е (ы) переходит в Е, (р) (см. 2 2.14). Преобразование Лапласа от функции времени е (!) в дальнейшем обозначается символом Е (р). При этом выражение (6.2) приводится к виду (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
