Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986) (1095423), страница 38
Текст из файла (страница 38)
(5. 84) Условие устойчивости состояния покоя цепи заключается в том, что после прекращения действия внешних возмущений цепь возвращается в исходное состояние. Для этого необходимо, чтобы возникающие в цепи при нарушении состояния покоя свободные (переходные) токи и напряжения были затухающими. А это, в свою очередь, означает, что корни р„р, ..., р„урав- !67 Как и следовало ожидать, введение отрицательной обратной связи (К„, Кт,„( О), расширяющее полосу пропускания цепи, приводит к более быстрому убыванию импульсной характеристики.
При положительной обратной связи (К„Кх,„) О) убывание д„(|) замедляется. Штриховой . линией на рис, 5.22, б показана импульсная характеристика при К„.К Х Кт,„) |, соответствующая неустойчивому режиму (см. ~ 5.9). ае РР ) аз Р~ — +... + и т р+ пч (5.85) Ьч Р"'+Ь, Р +... +Ь,„, Р+Ьж Таким образом, корни характеристического уравнения цепи являются полюсами передалючной функцшг К(р) этой цепи. Отсюда следует, что сформулированные выше условия отрицательности действительных частей корней равносильны следующему положению: для устойчивости цепи необходимо, чтобы передаточная функция К(р) не имела полюсов в правой полуплоскости комплексной переменной р.
Это хорошо известное из теории цепей положение можно распространить и на передаточную функцию К, (р) цепи с обратной связью. Поясним это на примере резонансного усилителя с обратной связью (рис. 5.23). Передаточную функцию (по напряжению) усилителя определим по формуле (5.70): р Кт (Р) С рт+2азк Р+ыт а передаточную функцию цепи обратной связи К„(р) приравняем ~МЫ, где М— в заимная индуктивность, Тогда передаточная функция усилителя, охваченного обратной связью, Кт (Р) 5 Р Ка (Р)— )+Кт(Р) Кос С Р'+(2ссзи+Кос5/С) Р+ы„' Находим корни уравнения рз+ (2а „+ Кос ЙС) Р+ ыр = 0 Кос5 .- гс / Кос5)з Р,,= — мак — —.
Ш) з — (пан+в 2С ~/ ' (," 2С ~ Рассмотрим два возможных случая: отрицательной и положительной обратной связи. Для создания отрицательной обратной связи произведение К„Кос должно быть отрицательной величиной, Поскольку К (ио) при ы = ыр, т. е, прй резонансе, явля.
ется отрицательной величиной, то коэффициент К с должен быть положительной величиной: Кос = + Мl(.. При этом действительные части обоих корней рт и рз Ке (Р,л) = — (а „+М5/2Т.С) отрицательны при л|обом значении М. При положительной обратной связи К„с = — М!/.; М5 1 ~ (О при М5!2)С( азк 2ЕС ) ) 0 при М5/2).С) ази, (5. 86) т Это фундаментальное положение было обосновано А.
М. Ляпуновым, который в 90-х годах прошлого вена заложил основы теории устойчивости. Рассматриваемый вопрос об устойчивости состояния покоя системы является частным случаем общей теории устойчивости Ляпунова. 168 нения (5.84) должны быть либо отрицательны- Р ми действительными величинами либо комЕ~ плексными величинами с отрицательными действительными частями. Из этих простых физических представлений вытекает следующий фундаментальный критерий устойчивости любых линейных систем'. система устойления стой ивости усилителя чина, если действительные части всех корней с обратной связью характеристического уравнения отрицатель- ньь Заметим, что левая часть характеристического уравнения (5.84) представляет собой не что иное, как знаменатель передаточной функции цепи, записанной в форме Итак, при отрицательной обратной связи рассматриваемая цепь устойчива при любом значении М, а при положительной обратной связи — только при выполнении условия М 2Савн ! ! )Кос)= ( 5 55ш Кунах где Кушах — — 5ьгш = 5гош — коэффициент усиления на резонансной частоте )см.
(5. 65)) В тех случаях, когда цепь описывается дифференциальным уравнением высокого порядка, исследование корней характеристического уравнення, необходимое для решения вопроса об устойчивости системы, является сложной задачей. Оказывается, что ее можно решить, анализируя соотношения между коэффициентами уравнения без определения самих корней уравнения.
Это можно выполнить с помощью теоремы Гурвнца', которая утверждает, что для того, чтобы действительные части всех корней уравнения Ьох +Ь,х '+Ьахвг 2+.„+Ь,х+Ь,„=-О с действительными коэффициентами и Ьв ) 0 были отрицательными, необходимо и достаточно, чтобы были положительными все определители Л„ 22„..., Л, составленные из коэффициентов уравнения Ьв, Ь,, Ь„по следующей схеме: Ь,Ь,Ь, ьо )22 Ь4 )21 Ьз Ьг Ьз Лг=ь„бз= Лз =- Ьо Ьг Ьо Ьв Ьв Ьв Ьз Ьг Ьз Ьв Ьт о Ьз Ьв в О 0 Ь, Ь, Ьз Ьг Ьз Ьв Ьт Ьо Ь2 Ь4 Ьв 0 Ьг Ьз Ьв 0 Ьо Ьз Ь4 и т. д.
г-гг — — Ьь бг в Ь Ь О 0 з Ьо Ьв Ь4 0 О Ь,ЬаО 0 Ь, Ь, Ь. Ь,Ь,О Ьо Ь2 Ь4 Ьз бз = Нетрудно видеть, что все последовательные определители являются главными диагональными минорами гйгределителя Л . Так как последний столбец определителя Л„ содержит лишь один отличный от нуля элемент Ь , расположенный на главной диагонали, то выполняется равенство Л =Ь Л г ггоказательство этой теоремы см., например, в книге: Курош Л. Г. Курс высшей алгебры. — Мл ГИФМ21, )972.
169 Сформулированный алгебраический критерий устойчивости часто называют к р и т е р и е м Р а у с а — Г у р в н ц а . При составлении определителей по указанной схеме коэффициенты с индексом, превышающим степень характеристического уравнения, заменяются нулями. Поэтому, например, для уравнения четвертой степени получаются следующие определители: Отсюда следует, что в соответствии с теоремой Гурвица условия устойчивости можно формулировать в виде следующих неравенств: !!,)О, б,)О,...,Л„,)О, Ь„,)0. Так, для характеристического уравнения второй степени Л,=Ь,)0, Ь,)0, для уравнения третьей степени (5.87) л,=ь,)о, Л, = ' ' =Ь,Ь,— Ь,Ь,)0, Ь~)0, Ьв Ь, (5.
88) т, е. Ь,) О, Ь,Ь,) Ь,Ь„Ь,- О. Так как Ь„, Ь, и Ь, положительны, то и Ь,)0. Для уравнения четвертой степени: ! Л1 = Ь~ ) 0 2 Ля= Ь1 Ья — Ьз Ья ) 0 3, /!а=Ьз(Ь1Ьа — ЬаЬо) — Ь(Ьхр)0 4. Ьх=«0. Из условия 3 на основании условий 4 и 1 вытекает неравенство Ьз (Ь1 Ья — Ья Ьз) =- Ь| Ьх ) О.
Поэтому условие 3 можно заменить условием Ь,) О. Таким образом, для уравнения четвертой степени получаются следующие условия устойчивости: Ь,)0, Ьт)0, Ь,(ЬЬ,— ЬЬа! — Ь', Ь,)0, Ь,)0, (5.89) Поясним применение критерия Гауса — Гурвица на простом примере рассмотренного резонансного усилителя с обратной связью (см, рис. 5.23). Характеристическое уравнение этой цепи прн К„= М/Е (отрицательная обратная связь) р +(2а„+ — — ~р+мр —— О. Е С) Сформулированные для уравнения второй степени условия устойчивости (5.87) в данном случае принимают вид М 5 Л,=Ь,=--2а„+ — — )О, Ьз=ыр «О, Е С !то Первое условие выгюлняется при любом значении М ) О, а второе от Л! не зависит. При положительной обратной связи (К„= — М/Е) цепь устойчива при выполнении условия 2а„— (М/Е) (Я/С) ) О, совпадающего с (5.86).
Критерий Рауса — Гурвица особенно удобен для проверки устойчивости цепи с заданными параметрами (т. е. коэффициентамидифференциального уравнения). Однако им неудобно пользоваться при экспериментах, так как обычно бывают известны не коэффициенты уравнения, а передаточная функи ия разомкнутой цепи Кт(р) К„(п!.
Кроме того, критерий Рауса — Гурвнца не дает ясных указаний, как неустойчивую цепь сделать устойчивой. 5.10. ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ Требование, чтобы передаточная функция К (Р) =К (Р)1(1 — К,(Р) Кое(Р)) (5.90) не имела полюсов в правой полуплоскости р = о + (ю, т. е. в области, ограниченной полуокружностью бесконечно большого радиуса )т и осью йо (рис.
5.24, а), равносильно условию, что знаменатель выражения (5.90), не должен иметь нулей в указанной области' илн, что то же самое, функция н (р) = к„(р) к„(р) (5.91) не должна обращаться в единицу ни в одной из точек правой полуплоскости р. Но Н(р) представляет собой передаточную функцию разомкнутого кольца обратной связи, т. е. отношение напряжения на зажимах 2 — 2 к напряжению на зажимах 1 — 1 при разомкнутом кольце, как это показано на рис.
5.25. Следовательно, об устойчивости системы с обратной связью можно судить по характеристикам разомкнутого тракта. Для дальнейшего анализа целесообразно перейти от плоскости р=а+(оз к плоскости Н(р) =и+(п (рис. 5.24, б). Каждой точке р плоскости а, (ю соответствует определенное значение Н на плоскости и, (и. Любой замкнутый контур на плоскости р преобразуется с помощью выражения (5.9!) в некоторый (также замкнутый) контур на плоскости Н. Если исходный контур на плоскости р задан в виде контура на рис. 5.24, а, соответствующий ему контур иа плоскости Н называется годографом функции Н. Показанный на рис. 5,24, а контур С можно разбить на два участка: 1) прямая (ю от оо до — оо и 2) полуокружность бесконечно большого радиуса )т.
На первом участке, где о=0, р=(ю, функция Н(р) обращается в функцию Н(ио). В соответствии с выражением (5,91) этот участок преобразуется на плоскости Н в линию, определяемую следующим соотношением: Н (йо) К ((ю) К„((го) = К„(ю) К„, (ю) е' (еь+еос) = и (го) + (о (го), (5.92) откуда и (го) Кт (го) Кьо (ю) соз (~рт+ ~р„), (5.93) о(ю) =Ку(ю) Кое(ю) з~~~(ру+Ч~ое). Рнс. 5.25.
К определению передаточной функции разомкнутого тракта усилитель — четырехполюсник обратной связи ау бт Рис. 5.24. Замкнутый контур иа р-плоскости (а) и годограф функции О (по) на плоскости и+(о (б) Х Предполагается, что основной усилитель устойчив, т. е. К (р) не имеет полюсов в правой полуплоскости р. т 17( В этих выражениях фу и ~р„— аргументы передаточных функций соответственно четырехполюсников Кт(мв) и К„((от). На втором участке контура С (см. рис. 5.24, а) прн )с -ь оо функция Н (р) — ь О. Это вытекает из общего выражения К~- В (Р— Р )(Р— Р-" (Р— Р») и( (Р Рп1) (Р Ряа) ° ° ° (Р пм) которое при )р) — оо можно представить в виде Вр"- (здесь  — постоянный коэффициент, а рш и р,и — соответственно нули и полюсы функции К(р)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
