Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986) (1095423), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Задание двумерной плотности вероятности р (х„х,; 11, 12) позволяет, в частности, определить важную характеристику случайного процесса— коаариацпанную функцпю К (~1 12) ™ (х (11) х (гхи (4.6) Согласно этому определению ковариационная функция случайного процесса Х (1) представляет собой статистически усредненное произведение значений случайной функции Х (г) в моменты 11 и 12. Для каждой реализации случайного процесса произведение х (11) х (12) является некоторым числом. Совокупность реализаций образует множество случайных чисел, распределение которых характеризуется двумерной плотностью вероятности р (х,, х,; 1„12). При заданной функции р (х,, х,; 1„12) операция усреднения по множеству осуществляется по формуле Кх (1„12) = ) ) х, х, р (х„х,; 1„12) 2)хт 22хх.
(4.7) При тв = 11 двумерная случайная величина х,х, вырождается в одномерную величину х', = хз. Можно поэтому написать К„(21, 11) = ~ х1 р (хт,' 11) с(хт '=- М (хе (2)). (4.7') Таким образом, при нулевом интервале между моментами времени и 12 ковариационная функция определяет величину среднего квадрата случайного процесса а момент 1 = 11. При анализе случайных процессов часто основной интерес представляет его флуктуационная составляющая.
В таких случаях применяется к о р р ел я ц и о н н а я функция Кх (', 1) — т„' (1) =-)7„(1, 1) =Рх (1), Исследование случайного процесса, а также воздействия его на радио- цепи существенно упрощается при стационарности процесса. ' Здесь н в дальнейшем одной н той же буквой р обозначаются плотности вероятности различных случайных функций. В некоторых разделах, если зто необходимо для устранения путаницы, будут применяться индексы, уточняющие параметр, к которому относится данное распределение.
Например, прн рассмотрении случайного процесса х (1) = А (1) соз О (Е) будут прнменяться обозначения р (х), р,1 (Л) н ре (В). Йх(тт )2) = М ((х ()1) — пгх(11)) (х((2) — тх(тз))). (4.8) Подставляя в (4.7) х (11) — тх (~1) вместо х (11) и х (12) — т„(12) вместо х (12), можно получить следующее выражение: )~х (~1 ~2) Кх (~1 ~2) тх (~1) пгх (~2) При тт = 12 = 1 выражение (4.8) в соответствии'с (4.4) определяет дисперсию случайного процесса Р„(1). Следовательно, а = [~К„(0) т', «.[З) Дальнейшее упрощение анализа случайных процессов достигается при использовании условия эргодичиости процесса, Стационарный случайный процесс называется эргодическим, если при определении любых статистиче- ских характеристик усреднение по множеству реализаций эквивалентно ус- реднению по времени одной теоретически бесконечно длинной реализации.
Условие эргодичности случайного процесса включает в себя и условие его стационарности. В соответствии с определением эргодического процесса соотношения (4.10) — (4.13) эквивалентны следующим выражениям, в кото- рых операция усреднения по времени обозначена чертой: т~2 .т (!) = !!ш †' 1 х (!) д(, (4. 14) г- т — Г~2 Т~2 К„(т) =1пп — ~ х(!) х(!+т)д(, (4.! 5) г-~ т -2~2 Й„(т) =- К2 (2) — (х (!))", 0„--= К„(0) — (х (!))2 =-а„', (4.!6) (4.17) о„. [ К„(0) — (х(г))'.
(4.18) Если х (!) представляет собой электрический сигнал (ток, напряжение), то х (!) — постоянная составляющая случайного сигнала, )с„(0) =- х' (!)— средняя мощность флуктуации сигнала [относительно постоянной составляющей х (!)[. !!2 Случайный процесс называется строго стационарным, если его плотность вероятности р (х„х,, „х„; !о 1„..., 1„) произвольного порядка п зависит только от интервалов !2 — (о !2 — 1„..., 1„— (, и не зависит от положения этих интервалов в области изменения аргумента !.
В радиотехнических приложениях теории случайных процессов условие стационарности обычно ограничивается требованием независимости от времени только одномерной и двумерной плотностей вероятности (случайный процесс, стационарный в широком смысле). Выполнение этого условия позволяез считать, что математическое ожидание, средний квадрат и дисперсия случайного процесса не зависят от времеви, а корреляционная функция зависит не от самих моментов времени 1, и 1„ а только от интервала между ними т = — !2 — 1,. Стационарность процесса в широком смысле можно трактовать как стационарность в рамках корреляционной теории (для моментов не выше второго порядка). 'Таким образом, для случайного процесса, стационарного в широком смысле, предыдущие выражения можно записывать без обозначения фиксированных моментов времени. В частности, т„= М (х) = ) хр (х) дх, (4.9) К„(т) =- М [х (!) х (1+ т)], )г„(т) = К, (т) — т,', В„=К„(0) — т'„=)с„(0) =о,', Выражение (4.15) внешне совпадает с определением (2.!3!) корреляционной функции детерминированного сигнала (периодического).
Часто применяется н о р м и р ов а н н а я корреляционная функция г„(т) = Й„(т)IО, = !Кк (т) — (х)'!10„, (4. 19) Функции К„(т), )с„(т) и г„(т) характеризуют связь (корреляцию) между значениями х (1), разделенными промежутком т. Чем медленнее, плавнее изменяется во времени х (1), тем больше промежуток т, в пределах которого наблюдается статистическая связь между мгновенными значениями случайной функции. При экспериментальном исследовании случайных процессов используются временные корреляционные характеристики процесса (4.!5) †(4.!9), поскольку, как правило, экспериментатору доступно наблюдение одной реализации сигнала, а не множества его реализаций. Интегрирование выполняется, естественно, не в бесконечных пределах, а на конечном интервале Т, длина которого должна быть тем больше, чем выше требование к точности результатов измерения.
4.2. ВИДЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ. ПРИМЕРЫ Применение общих определений, приведенных в предыдущем параграфе, иллюстрируется ниже на нескольких характерных случайных процессах. Наряду с обозначением случайного процесса символом Х (1) будет применяться в том же смысле обозначение х (1), под которым подразумевается случайная функция времени. Как и ранее, х„ (1) обозначает й-ю реализацию случайной функции х (1). 1. ГАРМОНИЧЕСКОЕ КОЛЕБАНИЕ СО СЛУЧАЙНОЙ АМНЛИТУДОЙ Пусть в выражении, определяющем сигнал х (1) = А соз (сов1 .! Бв) =.
А соз ф (1), (4.20) частота гов н начальная фаза Бо являются детерминированными и постоянными величинами, а амплитуда А — случайная, равновероятная в интервале от 0 до А ,„ величина (рис. 4.2). Найдем одномерную плотность вероятности р (х; 1,) для фиксированного момента времени 1,. Мгновенное значение х (1,) может быть любым в интервале от 0 до А ,к соз ф (1,), причем будем считать, что соз~р (1,).=» О.
Следовательно, р(х;(т) — 1;А,п,„созтр(1,), 0(х(А„,„„созтр(1,). Рис. 4.2. Совокупность гармо- нических колебаний со случай. ной амплитудой 113 График функции р (х; 1,) для фиксированного значения 1, представлен на рис. 4.3. Математическое ожидание (тг) М [х (Ут)! = зе Аяза х соз ф (1,) Амоасозрзй;1 'а ~в а з созт1З $! Рис. 4.3. Плотность вероятности гармонического колебания со случайной амп- литудой УС 1 хз[х= — А „„созтР(ут). 1 2 о Далее, 4~ ахсоз'"1П~ хз дх = — А',„созз зР (1,). 1 3 о М [х'(1,)] ~ А„,„„соз ф (1,) Наконец, дисперсия Оз(11)=- М [х'П )1 — [М [х([з)Цз= — АДа„соз'тР(1з)— 1 3 — Атах соз' ф (!,) = — А ',„созе тР (1,).
4 12 (4.21) Рассматриваемый случайный процесс нестацианарный и незргодический. 2. ГАРМОНИЧЕСКОЕ КОЛЕБАНИЕ СО СЛУЧАИНОИ ФАЗОР1 рв (О) =: 112п, — и -О(п. (4,22) Одну из реализаций случайного процесса х (1), образуемого совокупностью гармонических колебаний со случайными фазами (рис. 4.4), можно определить выражением ха (1) = соз (ьз„1+ Оа) = = созтйа (1). (4. 23) Полная фаза колебания ф (1) =, = гоо[+ О является случайной вели- !) чиной, равновероятной в интервале от гоо1 — и до озо[ + и. Следовательно, РЕ(тР) =112п, от 1 — и( тР( ( гоо[+ зт. (4.24) Рис. 4.4.
Совокупность гармонических колебаний со случайиымн фазами 114 Пусть амплитуда и частота гармонического сигнала заранее достоверно известны, а начальная фаза Π— случайная величина, которая с одинаковой вероятностью может принимать любое значение в интервале от — л до и. Это означает, что плотность вероятности начальной фазы Рис. 4.5. К определению плотности вероятности гармонического колебания со случайной фазой Рнс. 4.6. Плотность вероятности гар. монического колебания со случайной фазой Найдем одномерную плотность вероятности рк (х) случайного процес- са Х (1). Выделим интервал х, х+ Ых (рис.
4.5) и определим вероятность то- го, что при измерении, проведенном в промежутке времени от т, до 1, + Ж, мгновенное значение сигнала окажется в интервале х, х+ дх. Зту вероят- ность можно записать в виде р, (х) дх, где р„(х) — искомая плотность ве- роятности. Очевидно, что вероятность р, (х) йх совпадает с вероятностью попадания случайной фазы колебаний ф в один из двух заштрихованных на рис, 4.5 фазовых интервалов.
Зта последняя вероятность равна 2пе (зр) с(зр. Следовательно, р„(х) с!х 2пе (ф) Ф~ (2. 2п) с(ф, откуда искомая функция' 1т,(х) —, — ! (х(1. '! —;;! Но — (з!пт!>) )'1--соз'ф )/1 — .гт. дф Таким образом, окончательно р (х) ! ч) ! — х', — — 1~х(!. (4,25) График атой функции изображен на рис. 4.6. Существенно, что одномерная плотность вероятности не зависит от выбора момента времени й а среднее по множеству (см. (2.271.7) в [28)) ! 1 й4 !х(г)! == Г хря(х)Их== — ) — ' с(х -О ' °,) Т=; (4,26) совпадает со средним по времени т/2 т1з к (~) =11пт — ) х(!) Ж -= )пп — ~ соз (озе1+ О) Ш О. т г . Т вЂ” т!2 -Т12 (Зто справедливо для любой реализации рассматриваемого случайного про- цесса.) 1!б ' Абсолютное значение производной берется на том основании, что плотность вероятности является неотрнпательной величиной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
