Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986) (1095423), страница 23
Текст из файла (страница 23)
' Для сокращения выкладок положим. начальные фазы О, = О„ = О, 97 4 Зао. 13»а и требуется а 00 представить в форме а (1) = А [1) соз (ш,1 + О (1) + Оо). (3. 73) Расстройка (Ьш[ = !ш, — шэ! полагается настолько малой по сравнению с (ш, +- шэ)72, что колебание а (1) можно считать узкополосным. Что следУет в данном слУчае подРазУмевать под А (1), шо и О (1)7 НепосРедственно из выражения (3.72) трудно выявить структуру огибающей н фазы результирующего колебания а (1).
Используем поэтому выражения (3.60), (3.61). Сопряженная функция аэ (1) = А, »1п шэ1 + Аз Мп ш»1. Применяя формулу (3,60), находим огибающую сигнала а (1) А (!) = 1/(А, соч ш, 1-[- А, соз ш, 1)'-[- [А, М п ш, 1+ А, »!и шз 1)' = =А,1/1-(-да+2» со« Ьшг, (3.74) где й = АзэАП Ьш = шз — ш,, причем для определенности считается, что й ( ! и Ьш ° О. Полную фазу суммарного колебания находим по формуле (3.61): а,(1) з[пш,[+йз[пш,1 ф (1) =агс18 — = згс!й (3.75) а(1! созшэ1+йсрзш»1 График колебания а (0 при й =.
! представлен на рис. 3.25, ПеРиод ФУнкции соз Ьюз! =- соз 2п 2 ! Равен 2 (/е — /,). пРичем а точках (/з /!) перехода через нуль эта функция, как отмечалось выше, меняет свой знак. Если не учитывать перемену знака, т. с. определять огибающую амплитуд функцией (юз юг) ! соз !(, то период биеяий будет вдвое короче. как показано на рис. 3.25. 2 Поэтому частота биений равна /, — /!. Формулы (3 74) — (3.82) имеют большое прикладное значение, так как в физике и технике часто приходится иметь дело с биениями двух гармонических колебаний 3.10. АНАЛИТИЧЕСКИИ' СИГНАЛ В электротехнике при анализе воздействия гармонического колебания (иапряжеиие, ток) иа линейную цепь его принято представлять в форме а (!) — А, соч (шз 1+ 8 ) . - А, Ке (е' !еч '+з !1 Ке (Аа е!"ч '1 (3.83) или а(!) =:Аа з!п(го, (+ О ) — -А,1п! (е' !и '"-в !1= 1п!(А„е' ° г), где А„= А„е'аг — комплексная амплитуда.
(3,84) 98 Рис. 3.24. Мгновен а асто а колебняч т . ако бан й Рис.' 3.26. Сумма двух гармонических ния, являющегося суммой двух гарле и с близкими частотами моннческих колебаний и /з при одинаковых амплитудах (й= !) Приз С (, т. е. прн наложении слабого колебания Аз соз ыт!на сильное А, соз ю!, выражения (3.74) — (3.77) значительно упрощаются: А (1! = А ((+асов Ььз!), юе=га„ы (!) ж ю,л-йбю соз Ьм/. ф (!) = и, !а. !-й з!п Ью/. (3,80 В этом случае огибающая, частота и фаза суммарного колебания изменяются по гармоническому закону с частотой (Ьы! = (юз — ю,! относительно своих средних значений соответственно А„ ыд и <ог1. При й = 1 функция Ч(1) в соответствии с (3.7?! принимает постоянное значение (+сов Ью1 1 Ч (О =.=- (3.
82) 2 ((+сов Ьы!) 2 на всей оси времени, кроме точек Ьы/ = я-(п, Зп, ...), где и (!) = со. Эти выбросы соответствуют производным скачкообразно изменяющейся фазы при переходах огибающей бнения через нуль. Таким образом, в интервалах между указанными моментами частота суммарного колебания ыт + Ью/2 = (ыт + ыз)/2. К этому результату можно прийти непосредственно из выражения (3.72), которое при А, = А, подстановкой юз =- ю, -!- Ь<еа, в, = юч — Ьыа легно приводится к виду ю| — ю, юе+ озг а (!) — 2А, з соз Ьюе ! соз юе !-.: 2А, з соз — !сох — 1.
Часто символ йе или !ш опускают и пишут просто а (!) = А„е' "'« ' ч и ! = »чи е!«'" ', подразумевая действительную или мнимую часть этого выражения. Такое представление позволяет использовать преимущества методов теории функций комплексной переменной с последующим возвратом в конце анализа к тригонометрической форме путем отбрасывания мнимой части. В современной радиотехнике представление колебаний в комплексной форме распространено на негармоиические колебания.
Если задан физический сигнал в виде действительной функции а (!), то соответствующий ему комплексный сигнал представляется в форме гч (!) = а (!) -! га, (!), (3.85) где а, (!) — функция, сопряженная по Гильберту сигналу а (!). Заметим, что и в выражении (3.84) мнимая часть комплексной функции является функцией, сопряженной по Гильберту действительной части. Главная особенность определенного таким образом комплексного сигнала заключается в том, что его спектральная плотность Х„(ю) . 5, (оз) + !8«, (ю) (3.86) содержит только положительные частоты. Действительно, согласно (3.68), (3.69) при со ь 0 $„(оа) = — ср3« (««!), а при о»~ 0 8«, (ю) = (5, (ю), Следовательно, Х„(ю) = (2$„(от) при о»>0, |О при ю(О.
Так, если узкополосноъту сигналу а (!) соответствует спектральная плотность 5, (ю), модуль которой изображен на рис. 3.26 штриховой линией, то сигналу г„(!) = а (!) + са, (!) соответствует спектральная плотность Х, (со), модуль которой изображен на том же рисунке сплошной линией. Интеграл Фурье для сигнала г„(!) принимает следующий вид: г„(Ц = — ( Хч(со) е!""Йо = — ~ 28о(ю) еи" «!«о, 2п 2л о (3.88) где 8ч (ю) — спектральная плотность исходного (физического) сигнала а (!).
Комплексный сигнал. определяемый выражениями (3.85) и (3.86), называется а н а л и т и ч е с к и м с и г и а л о м'. Как видим, множитель е ми обеспечивает сходимость интеграла при любом р > О. поскольку ы > О. В случае же действительного сигнала а (!) переход к и (х+ !у) приводит к бесконечному возрастанию множителя е еа в области ы ( О.
Инымн словами, аналитичность сигнала обусловлена тем. что в области ы ( О спектральная плотность функции г„(О равна нулю. ' Смысл термина «аналитнческий сигнал» заключается в том, что при переходе к переменной ! = х -'- «р функция г„(О = г„(х х !рн определяемая в соответствии с ! (3.88! интегралом — ( 28„(о»1 е 'иле!о««!«о, является аналитической функцией для 2п,! каждого я > О. Для доказательства определим энергию сигнала г„(х + «у) с помощью равенства Парсеваля Э, = — ' ~ [23„(се) р -»«)з б«о ж 23««.
2п ь Пусть задан физический сигнал а (1) =. А (1) соз [ша( + 0 (!)! = А (1) сок ф (1) и требуется определить соответствующий ему аналитический сигнал г, (1). Исходя из общего выражения (3.02) для сопряженной функции а, (1) можно написать га (1) = А (() соз ф (1) — — ~ с((. и т — ! Точное определение а, (1) при сложной функции А (т) созф (т) является трудной задачей, которую можно обойти, если исходный сигнал а (1), является достаточно узкополосным процессом. Можно показать, что в этом случае а, (г) =. А (1) з!и ф (() = А (1) з[п [соз(+ 0 (1) + О,[. Таким образом, аналитический сигнал можно записать в следующем виде: г,(1)= А(1)епт !'!= А(1) е~!и,1+ион+ай А(1) е'и ', (3.89) где 1» (1) — А (1) е1 !е и!+ а ! (3.90) представляет собой колтлексную огибающую узкополосного сигнала.
Соотношения между А ((), а (1) и а, (1) иллюстрируются векторной диаграммой на рис. 3.27. Модуль комплексной огибающей, равный А (1) [поскольку [е1[вго+а»1[ = 1 при любом законе изменения 0 (()), содержит информацию только об амплитудной модуляции колебания, а фа- зовый множитель ега 10 — только об угловой модуляции. В целом же про- изведение А (1) е'а 10 содержит полную информацию о сигнале а (1) (за ис- ключением несущей частоты со„ которая предполагается известной). Это свойство комплексной огибающей, позволяющее при анализе уз- кополосных сигналов исключить из рассмотрения частоту ьза, придает важ- ное значение понятию ааиалитический сигнал». Рассмотрим основные свойства аналитического сигнала и комплексной огибающей.
1. Произведение аналитического сигнала г„(!) на сопряженный ему сигнал г,' (1) равно квадрату огибающей исходного (физического) сигнала а ((). Действительно, г„(1) г,' (1) = [а (1) + за, (1)! [и (!) -- ш, (11[ = аз (1) - а', (1) = А' (В. (3 91) Таким образом, модуль аналитического сигнала г„ (1) равен просто огибающей сигнала А (1). 2. Спектральная плотность комплексной огибающей А(1) совпадает со смеи!енной на ша влево спектраль.Зр1мр Зр1м! ной плотностью аналитического сигнала г, (1).
Основываясь иа общей формуле рзр (2А8), можно написать Х„(ш) = ~ гч(1) е !»и с[С Рнс. 3.26. Соотношение между спектра ми физического н аналитического сигна лоа !ОО Рис. 3.2?. Соотношение между амплитудой аналитического сигнала и $уикциимн а(?1, а, (т) Рис. 3.28. Соотношение между спектрами комплексной огибающей и аналитического сигнала Подставляя в это выражение г, (() = А(1) е""', получаем Х(со) ) А(1) е -' <'" -"и 'й?=-8л(го — ша), со >О. (3.92) Это соотношение является обобщением формулы (2.58) на случай комплексной функции времени А(1), умножаемой на е""' (вместо соз со ? в 5 2.7, п. 3).
Выражение (3.9), выведенное для вещественной огибающей А (г) (при чисто амплитудной модуляции), является частным случаем общего выражения' (3.92). Введя обозначение ш — соа = — аа. перепишем (3.92) в несколько иной форме е,,( +а))г 8 (кг)=28,(Ъ+кг) (3. 93) В (т) = ~ г (()г~(1+т)й(, (3.94) является комплексной фйнкцией.
Действительно, выразив В, (т) через модуль спектральной плотности сигнала Ва (со) с помощью выражения вида (2.136), получим !01 (см. (3.87)). Соотношение между спектрами Ял (кг) и Е, (го + кг) иллюстрирует рис. 3.28. Особо следует отметить, что спектр Вл ((г) комплексной огибающей А (() не обязательно симметричен относительно нулевой частоты (см. рис. 3.28). Если спектр 8, (го) физического колебания а (?) несимметричен относительно ш = го„как это может иметь место, например, при амплитудно- угловой модуляции (см. 3 3.8), то и функция Х, (ш) = 28о (щ), оз О, несимметрична: после сдвига Х, (со) на величину ш, влево спектр комплексной огибающей 8л (аа) будет несимметричен относительно частоты и) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
