Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986) (1095423), страница 24
Текст из файла (страница 24)
В любом случае функция $л (ка) отлична от нуля в области частот 1) ( О. Следовательно, комплексная функция А(() не является аналитическим сигналом. Зто объясняется тем, что действительная и мнимая части А(1) ие являются функциями, сопряженными по Гильберту. 3. Корреляционная фг1нкция аналитического сигнала, определяемая оби1им выражением В,(т) = — ) с,'(о») е'"'йв= 4 — 1 Я(в) е'"'йв=- 2я,) 2п ~ о =4 — ( Я(в) сох втйв+ 14 — 1 Я (о») з)п втйв. (3.95) 2я .1 2п,) о Действительная часть этого выражения есть не что иное, как удвоенная корреляционная функция исходного физического колебания а (1), т.
е. 2В, (т), а мнимая часть учитывает взаимную корреляцию колебаний а (1) и а, (1). Для раскрытия смысла мнимой части выражения (3.95) вернемся к общему определению корреляционной функции (3.94) и запишем ее в форме В,(т) = ) (а (1)+»а»(1))(а(1 -1 т) — »а»(1+т)) Й =- а(1)а(1+т)й1+ ~ а,(1)а,(1+т)й1+1~ ) а,(1)а(1-1-т)й1— — ) У»)~О»- >»»~ »».»»,-В. »О->!1О.,»» — О., < и.
УЗ»»» В 2 2.19 было установлено, что корреляционная функция действительного сигнала зависит только от модуля спектральной плотности. Так как модули спектров функций а (») и а, (») одинаковы (см. 2 3.9), то первые два интеграла в (3.95') равны и в сумме дают 2В, (т). Следовательно, мнимые части в выражениях (3.95), (3.95') совпадают и можно написать следующее равенство: В„,„(т) — В„„(т) .-- 4 — ~ Я (в) з!и олйок 1 о Но в соответствии с (2.137) В„, (т) = В,„( — т), так что левую часть можно записать в форме В„,, (т) — В„, ( — т).
Далее, правая часть, содержащая под интегралом множитель з»п вт, является нечетной функцией т, откуда следует, что и разность В,„(т) — В.„, (т) является нечетной функцией. Это возможно только при нечетности функции В,„(т). Таким образом, приходим к равенству В„,„(т) — В„„(т) = 2В„, (т) и соответственно к соотношению В„„(т) = 2 — ~ Я (в) зш о»тйт. ! 2 о формулу (3.95') теперь можно представить в виде В, (т) = 2В„(т) -и 12 В„„(т), (3.96) Итак, Ре(В, (т)1 2В„(т), откуда вытекает полезное соотношение между корреляционной функцией В, (т) исходного действительного сигнала и корреляционной функцией В, (т) аналитического сигнала В, (т) = — »ке (В, (т)1.
(3.97) 4. Корреляционные функции анилитического сигнала и комплексной огибаюгцей этого сигнала связаны между собой соотношением В (. ) е — »о,» В (т) (3.98) 102 аЮ о а® Действительно, подставив в (3.94) г, (!) = А(!) е'"'а ' и г," (!)=Ав (!) х Х е-' «', получим важное соот- ношение В,(т)=е — '"" ~ А(Е)А'(1+ + т) д1, (3 99) Рис 3.29. Формирование аизлитического сигнала, соответотвуюотего заданному вез«ествениому сигналу а(») в котором интеграл есть корреляционная функция кол«плексной огибающей А(!). Поэтому выражение (3.97) можно записать в форме 3.() — «! ""з ()~= — з [ '""'1 Ам«'«~ )й1 (397) 2 В частности, при т =- 0 получаем 3.11.
КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ МОДУЛИРОВАННОГО КОЛЕБАНИЯ 11ри нахождении корреляционной функции модулированного колебания а (!) — -- А (1) сов ф (!) будем исходить из условия абсолютной интегрируемости функции а (1) (сигнал с конечной энергией), что позволяет применять определение (см. 2' 2.18) В,(т)= ) а(!)а(г; т)й1 (3.
101) 1ОЗ В. (0) = — ' ! Аз (!) й! = — ' В, (0). 2 2 (3,100) Из этого выражения видно, что, поскольку В, (О) = Э, энергия аналиглического сигнала равна удвоенной энергии исходного действительною сигнала. Следует указать, что применение понятия энергии к комплексной функции имеет не только формальный смысл. В гл, 13 будет показано, что в некоторых устройствах обработки сигналов приходится иметь дело с совокупностью двух функций времени, сопряженных по Гильберту, т.
е. с аналитическим сигналом как.с физическим процессом, Формирование аналитического сигнала можно пояснить на простой модели, показанной на рис. 3.29. Исходный сигнал а (г) = А (1) сов (о»о!+ + 0 (!)! подается на выход непосредственно по прямому каналу и через фазосдвигающее устройство, обеспечивающее сдвиг на — 90' для всех спектральных составляющих узкополосного сигнала а (1). В результате такого сдвига получается колебание А (г) соз (оз + 0 (г) — 90'! = А (!) з!и (о»в(+ + О (!)! = а, (!), сопряженное по Гильберту функции а (1). Следовательно, совокупность а (1) и а, (!), действующую на выходе, можно трактовать как аналитический сигнал г, (1) -- А В) е'ого е«"'и = А (!) е'""' В последующих главах будут даны примеры применения понятия «аналитический сигнал» как для упрощения анализа прохождения через радио- цепи сигналов действительных, так идля описания совокупности двух квадратурных сигналов.
Рис. 3.30. Импульс с высокочастотным заполнением (а) и корреляционная функция (б) Рис. 3.31. К построению корреляционной функции ЛЧМ импульса а.),) — — а,[,—: ) А)))А)))..)ж] —. 1 = — созю,т ) А(1)А(1+т)Ш. 1 2 (3, 102) Обозначив, как и в выражении (3.97'), интегральный множитель через Вл (т), окончательно получим Ва (т) = Вл (т) (~уз соз о)е т). (3.! 03) Второй множитель (т7з соз озет) есть корреляционная функция гармонического колебания с частотой юо и единичной амплитудой. Итак, корреляционная функция амплитудно-модулированного радивг сигнала равна произведению корреляционных функций огибающей и высокочастотного заполнения.
В качестве примера на рис. 3.30, а показан радиоимпульс с прямоугольной огибающей, а на рис. 3.30, б — соответствующая этому импульс)) корреляционная функция. Следует отметить, что эта функция не зависит от начальной фазы заполнения радиоимпульса, а ее огибающая совпадает с корреляционной функцией прямоугольного видеоимпульса (см. 3 2.18, рис. 2.36, г). Для иллюстрации применения общего выражения (3.99) к амплитудно- частотной модуляции найдем корреляционную функцию импульса, изображенного на рис. 3.19, и. При обозначениях формулы (3.37) и рис.
3.19 аналитический сигнал запишется в виде (3.104) га (1) =. Ае е)Р) ° 1з е)м ) 7'е72 «» Е (~ 7„/2, 104 Вычисление интеграла для сложных сигналов требует громоздких выкладок. Задача существенно упрощается при переходе от колебания а (1) к аналитическому сигналу г, (1) = А(1) е' ° ', Основываясь на соотношениях, выведенных в предыдущем параграфе, рассмотрим сначала чисто амплитудную модуляцию, когда а (1) =- А (1) соз юе1, 0 (1) = 0 и, следовательно, А(1) = А* (1) = А (1).
Тогда формула (3.97') принимает внд Применяя формулы (3.94) и (3.97'), получаем таус В (т) а Яе ~ е!!ми+В!*Iс1 е — с!о~1!ет)+З!!+т>'1а1 с(1 (3 106) Аа а — тсуи Пределы интегрирования взяты с учетом условия одновременного существования функций а (1) и а (1+ т) (рис. 3.31). С помощью несложных преобразований выражение (3.106) приводится к виду / йтс бт' ') Аа а1п~ т — ) сиама т 2 2 / йт при (т): — с 2 0 при ) т( Т,уй. В, (т)— (3.106) Используя введенный в з 3.7 параметр и (см. (3.38)1 и учитывая, что ()Т6 = — 2м„Т, = 2пт, приводим выражение (3.106) к более общему виду 51п~ им ~ ! — ) ) В,(т) = — Ао Т, спасо т. 2 пмт (3.! 06') тс Рис.
3.32. Коррсляпиоииаи фуикпия ЛЧМ импульса 105 Множитель таАоТ, = В, (О) = — Э равен полной энергии рассматриваемого радиоямпульса (как и при импульсе с постоянной частотой заполнении, см. рис. З.ЗО, б). Таким образо м, а|п ~ — ~ 1 — — )1 соз оэа т, В. (0) Э пшт (3.107) График этой функции построен на рис. 3.32 для параметра т = 100 в предположении, что гпаТс очень велико (масштаб выбран произвольно). Огнбаи щая корреляционной функции образует весьма острый пик (при т )) !), а частота заполнения постоянна и равна центральной частоте сна исходного радиоимпульса.
Рассмотренный здесь сигнал с большой базой нт и его корреляционная функция представляют большой практический интерес для современной радиотехники. 3.12. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ УЗКОПОЛОСНОГО СИГНАЛА Пусть задан сигнал а (() = А (/) соз ар (Г) = А (/) соз [оэ,/+ 0 (/)), (3. 108) лат 1 Рис. 3.33. Спектр уэкополоснаго радиосигнала (а) и комплексной огибающей этого сигнала (б) (06 спектр которого заключен в узкой полосе частот от со, до оэа так, что модуль спектральной плотности 5, (гп) имеет вид, представленный на рис. 3.33, а, причем в пределах полосы Анто спектр не обязательно симметричен относительно центральной частоты гоа = (ю, + юа)/2. Под узкополосностью сигнала подразумевается условие Агпа/гна = Ь|а//а с(; 1, где Ь|а = аргон/2п =- = /а — /, — полоса частот, Гц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
