Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986) (1095423), страница 25
Текст из файла (страница 25)
предполагается, что функция А (/) является простейшей огибающей, т, е. что А (!) и ф (/) отвечают соотношениям (3.80) и (3.61). Если при дискретизации подобного сигнала исходить из ряда (2.114), то интервал между выборками должен быть не больше чем !/2/„где /а— наивысшая частота в спектре сигнала.
Непелесообразность такого подхода А (/) = У с„ <р„ (/), о = — »» (3,110) где базисная функция <р„(/) определяется выражением (2.115). Подставив этот ряд в (3.109), получим г, (/) = ( о; с„<р„(/) е"'»<, (3.1 1 1) ~о=в после чего исходное колебание а (!) определим как действительную часть функции г, (!): <»<-О Я и .».<»<] "ць') Как видим, задача дискретизации высокочастотного колебания свелась к задаче дискретизации комплексной огибающей А(/). При определении наибольшего допустимого интервала между выборками в разложении (3.110) необходимо исходить из наивысшей частоты в спектре функции А(/). Из определения о<о как средней частоты в полосе Ь<оо очевидно, что эта частота, отсчитываемая от Я = О, равна Л<оо/2 или в герцах Л/о/2.
Следовательно, интервал между выборками не должен превышать Л! = !/(2/</о/2) = 1/Л/о» (3.113) а функция <р„(!) должна иметь вид мп (л<оо/2) (< — плб о<п пл/ (/ — пл0 <ро() (Ь<оо/2! (/ — пап па/о (< — и<!О От аналогичной функции, использованной в 2 2.15, <р„(/) отличается только заменой е< на Л<оо/2. Следовательно, спектральная плотность Ф(Й) функции <ро (/) равна 2п/Ь<оо =- 1/Л/о в полосе частот )!)! =, Ь<оо/2 (рис. 3.32), а спектральная плотносеь функции <р„(!) (3.112) 2 д)~ 4~>о 2 е "о<п при ~ <«оо/2 Ф„(Й) = (3, 115) 0 при ) Квадрат нормы функции ч<„ (!) на стр. 60, ))Ч.(! = и/0,5бмо =~/б/о.
по аналогии с выражением, приведенным (3.116) !07 очевидна, так как информация о сигнале заложена не в частоту / (илн /<), а в огибающую А (/) или в фазу 0 (/), которые изменяются во времени медленно с относительно низкими частотами модуляции. Желательно поэтому так преобразовать выражение (2.114), чтобы интервалы между выборками определялись фактической шириной спектра, т. е. величиной Л/о, а не верхней частотой /о. Для этого перейдем к аналитическому сигналу, соответствующему заданной функции а (/): г (/) =А(/) е/э<=А(/) е<е<б е<о»,< А(/) е<»ч< (3.109) где комплексная огибающая А(/) = А (/) е'о<О представляет собой низкочастотную функцию, спектр которой 5о (!!) примыкает к нулевой частоте (рис.
3,33, б). Разложим комплексную функцию А(/) = А (/) е'"<О по ортогональной системе Далее по формуле (2.9) с учетом (3.116) с„ =- — ! А (/) <р„ (/) д/ = Л~о ( А (/) со„ (/) й. 1!'г»1!' 3 (3А 1Т) Используя формулу (2.63), в которой заменяем щ на ь«', получаем ь«ь/2 е~ — Мо — ~ 8л (Ы) Ф„( — Й) д!1 = — Ьо«/2 Ьо«/2 =- Л/о — ( 8л (Я) — е/"та д!1 = А (пЛ/) = А (пЛ/) е/в! "л//, (3,118) ,1 д/« — ьоц/» В выражении (3.118) Ял — спектр комплексной огибающей А(/), а А (пЛ/) — ее значение в отсчетной точке / = пЛ/.
Итак, коэффициенты ряда (3.110) являются выборками функции А(/), взятыми через интервалы Л( = — 1/Л/ь. Подставляя (3.118) в (3.111), получаем г,(/) -= У А(пЛ/) со„(/) ен "+в<"в//1 и по формуле (3.112) определяем а (/) = ~' А (пЛ/) гр„(/) соз (со« /+ 0 (пЛ/)! =— «=в па/„(/ — лб/) (3А !9) Поскольку здесь рассматриоас«ся саектр огибающей. !08 При заданной длительности сигнала То число отсчетных точек Т,IЛ/ = =- Того, причем в каждой точке должны быть заданы два параметра: А (пЛ/) и 0 (пЛ(). Следует иметь в виду, что при несимметричном (в полосе Люо) спектре введенная в данном параграфе частота що = (со, + /в»)/2 может не совпадать со «средней частотой» в выражении (3.73). Иными словами, фаза 0 (1) может содержать слагаемое, линейно-зависящее от времени, Проиллюстрируем выражение (3.119) на примерах колебания, промодулированного по амплитуде или по частоте. При АМ исходим из колебания а (/) == А (/) соз юо/, в котором А (/)— вещественная функция со спектром 8л (со), ограниченным наивысшей частотой !) = 2пр .
В этом случае ширина спектра модулированного колебания а (/) равна Л~,„= 2Р, причем в пределах этой полосы спектральная плотность 8« (со) симметрична относительно соо. Интервал между выборками в соответствии с формулой (3.113) должен быть не больше чем Л/ = = 1/Л/, = 1/2г , т, е. таким же, как и при дискретизации исходного сообщения (модулирующего напряжения).
Так как фаза высокочастотного заполнения при чисто амплитудной модуляции постоянна, то передавать ее нет необходимости. Отсюда вытекает очевидный результат: амплитудно-модулированное колебание вполне определяется значениями своих амплитуд, взя/ными через инпгервал 1/2Е,„, где Р,„— верхняя частота в спектре модулируюгцей функции (т. е. в спектре передаваемого сообщения). Иными словами, при чисто амплитудной модуляции число степеней свободы модулированного колебания такое же, как и число степеней свободы модулирующей функции. Рассмотрим теперь частотно-модулированное колебание а (Г) = А» соз (ыо/+ 9 ®), когда мгновенная частота «О (/) = ы» + «/9/Ж модулирована тем же сообщением, что и в предыдущем случае, причем максималы«ая девиация частоты велика по сравнению с г", так что ширину б/„и полосы частот модулированного колебания можно приравнять к 2/я [см.
случай «шнрокополосной» частотной модуляции, (3.34)!. Интервал между выборками должен быть взят Л( ( 1/б/„я =-!/2/». Так как при ЧМ амплитуда колебания неизменна, то передавать ее нет йеобходимости. Следовательно, для однозначного представления частотно-модулированного колебания достаточно задавать фазу 9 (и/1/) этого колебания в отсчетных точках, отстоящих одна от другой на время б/ ~ 1/2/ . При одной и той же длительности сообщения Т, число выборок фазы при ЧМ б/„„Т, = 2/ Т„а число выборок огибающей прн АМ б/,„Т, = 2Г Т,.
Отсюда видно, что при одинаковом передаваемом сообщении (при одинаковом количестве информации) частотно-модулированный сигнал обладает числом степеней свободы в / /Е = и раз большим, чем амплитудно-модулированный. Это является результатом расширения спектра сигнала при ЧМ. На приемной стороне канала связи после частотногодетектирования модулированного колебания выделяется напряжение, которое имеет спектр н число степеней свободы такие же, как и исходное сообщение. Из приведенного примера следует, что при одной и той же ширине спектра информационная емкость радиосигнала различна в зависимости от вида модуляции.
При смешанной модуляции — амплитудной и угловой — в каждой отсчетной точке нужно брать две выборки: амплитуды и фазы. Глава 4. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАИНЫХ СИГНАЛОВ 4.1. ОБЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Информация, передаваемая по каналу связи или извлекаемая в результате измерения, заключена в сигнале. До приема сообщения (до испытания) сигнал следует рассматривать как случайный процесс, представляющий собой совокупность (ансамбль) функций времени, подчиняющихся некоторой общей для них статистической закономерности. Одна нз этих функций, ставшая полностью известной после приема сообщения, называется р е а л и з а ц и е й случайного процесса.
Эта реализация является уже не случайной, а детерминированной функцией времени. Важной, но не исчерпывающей характеристикой случайного процесса является присущий ему одномерный закон распределения вероятностей. На рис. 4.! изображена совокупность функций х, (1), х, (1), ..., образующих случайный процесс Х (г). Значения, которые могут принимать отдельные функции в момент времени 1 = (м образуют совокупность случайных величин х, (1), х» (1), Вероятность того, что величинаа хл (г,) при измерении попадает в какой-либо заданный интервал (а, Ь) (рис.
4.1), определяется вы- ражением (4.!) Функция р (х; 1ч) представляет собой дифференциальный закон д распределения случайной величины х (1,): р (х; 1,) называется одномерной плотностью вероятности, а рнс. 4.1. совокупность функций, ойрнлун,. Рп — интегральной вероятностью. н1нх случайный процесс Функция р (х; 1,) имеет смысл для случайных х непрерывного типа, могущих принимать любое значение в некотором интервале. При любом характере функции р(х; 1,) должно выполняться равенство «хнах р(х; 1х) с(х= 1, (4.2) х~п!и где х,„и х „— границы возможных значений х (г,). Если же х является случайной величиной дискретного типа и может принимать любое из конечного числа дискретных значений, 'то (4.2) следует заменить суммой с (4.2') т„(Г)=М(х(Г)1= ) хр(х;1)41х; дисперсия (4.3) 11„(1). М((х(1) — т„(1))е); среднее квадратическое отклонение о„(Г) =) 'М ([х (1) — т (1)!') =10~„~4. (4.4) (4,5) Одномерная плотность вероятности недостаточна для полного описания процесса, так как она дает вероятностнре представление о случайном процессе Х (г) только в отдельные фиксированные моменты времени.
Более 110 где Р; — вероятность, соответствующая величине х;. Задание одномерной плотности вероятности р (х; 1,) позволяет произвести статистическое усреднение как самой величины х, так и любой функции 1 (х). Под статистическим усреднением подразумевается усреднение х по множеству (по ансамблю) в каком-либо «сечении» процесса, т. е. в фиксированный момент времени. Для практических приложений наиболыпее значение имеют следующие параметры случайного процесса: математическое ожидание и олной характеристикой является двумерная плотность вероятности' р (х„х,; 1„12), позволяющая учитывать связь значений х, и х„принимаемых случайной функцией в произвольно выбранные моменты времени 11 и Исчерпывающей вероятностной характеристикой случайного процесса является и-мерная плотность вероятности при достаточно больших и. Однако большое число задач, связанных с описанием случайных сигналов, удается решать на основе двумерной плотности вероятности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
