Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986) (1095423), страница 20
Текст из файла (страница 20)
стоит из тех же компонентов, что и спектр сообщения з (!), но с измененными амплитудами и фазами. Отвлекаясь от способа осуществления угловой модуляции — фазовой или частотной — и считая заданным спектр функции 0 ()), находим спектр модулированного колебания а (!). Для этого выражение (3.25) преобразуем к виду а(!) =-Аосозй(!)созооо! — А,з|п О(!)э|и гоо(=-а,(!) — а,(!). (3.26) Из (3.26) следует, что модулированное по углу колебание можно рассматривать как сумму двух квадратурных колебаний: кигинусного а, (!) = = А, соз 0 (!) соз ыо! и синуснаео а, (!) = А, з|и 0 (1) яи гоой каждое из которых модулировано только по амплитуде; закон АМ для косинусного колебания определяется медленной функцией соз 8 (!), а синусного — функцией яп 0 (!).
Но в Э 3.3 было установлено, что для определения спектра амплитудно-модулированного колебания достаточно сдвинуть на частоту гоо спектр огибающей амплитуд. Следовательно, для нахождения спектра колебания а (!), определяемого выражением (3.26), необходимо сначала найти спектры функций соз 0 (!) и з|п 0 (!), т. е. спектры огибающих квадратурных колебаний. Перенос этих спектров на частоту гоо можно затем осуществить таким же образом, как и при обычной АМ.
Из приведенных рассуждений следует, что при одном и том же передаваемом сообщении спектр колебания, модулированного по углу, значительно сложнее, чем спектр модулированного по амплитуде. Действительно, так как соз 8 ® и яп 0 (!) являются нелинейными функциями своего аргумента 0 (!), то спектры этих функций могут существенно отличаться от спектра функции 8 (г); возможно возникновение кратных и комбинационных частот, как это имеет место при обычных нелинейных преобразованиях спектра. Это обстоятельство, а также наличие двух квадратурных слагаемых показывают, что при угловой модуляции спектр модулированного колебания нельзя получить простым сдвигом спектра сообщения на величину несущей частоты оо„как это имеет место при АМ. При угловой модуляции связь между спектрами сообщения и модулированного колебания оказывается более сложной.
3.6. СПЕКТР КОЛЕБАНИЯ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОЙ УГЛОВОЙ МОДУЛЯЦИИ Используем полученные выше результаты для анализа колебания вида а (~) = Ао соз (ооо! + т яи й!) . (3.25') Это выражение совпадает с (3.23) и (3.23') при модуляции частоты по закону го (!) = ыо + оо„соз й!. Начальная фаза 8,, а также начальная фаза модулирующей функции у опущены для упрощения выкладок. При необходимости они легко могут быть введены в окончательные выражения. В данном случае 0 (() = т яп !)!. Подставляя 8 (!) в выражение (3.26), получаем а (!) = А, соз (т з|и оо!) соз гоо! — А, яи (оп яи !)!) яи ооог, (3,27) Учитывая, что множители соз (т з|и оо!) и яп (т яп И) являются периодическими функциями времени, разложим их в ряд Фурье. В теории бесселевых функций доказываются следующие соотношения: я и (т я и Й) - - 2l, (т) э| и й+ 2 оо (т) я и ЗЙ + 2/о (т) а| и 5Й + .,(3 28) соз(тяп И) =.lо(т)+2/о(т)сов 2й1-[-2/,(т) соз4И+ ..., (3 29) яп (т соз И) =-2l, (т) соз И вЂ” 2/о (и) соз ЗИ + 2оо(т) созбй! —...,(3 28') соз (т соз йг) = оо (т) — 2l, (т) соз 2й1+ 2У, (т) соз 4й! —...
(3.29') Здесь /„(и) — бесселева функция первого рода и-го порядка от аргумента гп. С помощью соотношений (3.28) и (3.29) уравнение (3.27) можно привести к виду а(!) -А,[/о(и) сов в„! — 2/1(т) Яп й1Яп во!+2/,(т)соз2йгсозво! — 2/о (т) яп ЗИ з[пв, !+ ...) (3.30) или в более развернутой форме а (!) = А, соз (во ! + т я п й!) =- т[о (оо (и) соз во 1+,У, (т) [соз (гоо+ й) !— — соз(в,— й) ![+l,(т) [соз(во+ 2й) !+сов(в,— 2й) !) + + lо(т) [соз(в,+ Зй) ! — сов йоо — Зй) !)+ ...). !3.31) Таким образом, при частотной и фазовой модуляциях спектр колебания состоит из бесконечного числа боковых частот, расположенных попарно симметрично относительно несущей частоты .во и отличающихся от последней на пй, где п — любое целое число.
Амплитуда и-й боковой составляющей А„ = о'„ (и) А,, где А, — амплитуда немодулированного колебания, а т — индекс модуляции. Отсюда следует, что вклад различных боковых частот в суммарную мощность модулированного колебания определяется величиной и. Рассмотрим режимы угловой модуляции при малых и больших значениях т.
Если т (( 1, так что имеют место приближенные равенства яп(из!пИ) жта!пй(, соз(ияпИ) ж 1, то выражение (3.27) переходит в следующее: а (!) ж А, (соз в, ! — т з! п И з1 п в, !) =- Ао ~ сов в„! + — соз (в, + й) !— 2 + — соз (в„— й) !1. 2 (з,зз) Из сравнения (3.32) и (3.33) видно, что при малых значениях т спектр колебания, как и при АМ, состоит из несу!цей частоты во и двух боковых частот: верхней в, + й и нижней в, — й. Единственное отличие заключается в фазировке колебаний боковых частот относительно несущего колеба- — — соз (в,— й) !], (3.32) 2 Сравним зто уравнение с уравнением для амплитудно-модулированного колебания, у которого модулирующая функция (т.
е. передаваемое сообщение) такая же, как и при ЧМ. Так как выражение (3.32) получено из (3.25') для модуляции частоты по закону в (!) =- в, + в соз йй то для удобства сравнения зададим модуляцию амплитуды по аналогичному закону А (!) = = А, (1+ Л4 соз И). Тогда амплитудно-модулированное колебание запишется в форме а,„(!) =-А,(1+М соя й!) созв,! =- А, ~созво!+ — соз(в,+ й) !+ М 2 ау Рис. 3.)6. Векторная диаграмма (а) и спектр колебания (б) при угловой модуляции с инлексом т(! у„,(е о,8 ага ааа и) бг Рис. 3,)6.
Спектры колебания прн угло вой модуляции: а)~и пб)т 2 87 ния. При АМ фазы колебаний боковых частот симметричны относительно несущей частоты, а при угловой модуляции фаза колебания нижней боковой частоты сдвинута на 180' [знак минус перед последним слагаемым (3.32)1. Это положение иллюстрируется векторной диаграммой, показанной на рис.
3.!5, а. Направление вектора ПСа при АМ обозначено штриховой линией. Изменение направления этого вектора на !80' приводит к тому, что вектор модуляции ))Р всегда перпендикулярен к направлению вектора Ог), изображающего несущее колебание. Вектор 0г, изображающий результирующее колебание, изменяется как по фазе, так и по амплитуде; однако при пч = 8 „к (( 1 амплитудные изменения настолько малы, что ими можно пренебречь и модуляцию можно в первом приближении рассматривать как чисто фазовую. Спектральная диаграмма для угловой модуляции при т (( 1 показана на рис.
3.15, б. Равенство амплитуд колебаний боковых частот сохраняется, а фаза колебания нижней частоты сдвинута на 180'. Амплитуды колебаний боковых частот равны тАе)2, и поэтому в данном случае индекс модуляции гп совпадает по значению с коэффициентом М, характеризующим глубину изменения амплитуды при АМ. Заметим, что ширина спектра при т (( 1 равна 2аа, как и при АМ. Этот результат показывает, что при очень малых девиациях го (по сравнению с 11) ширина спектра от год не зависит. При увеличении фазового отклонения, т.
е. при возрастании гп, уравнение (3.32) и диаграмма на рис. 3.15, г) не дают правильного представления о действительной картине явлений при частотной или фазовой модуляции. Это объясняется тем, что с помощью колебаний несущей частоты и всего лишь одной пары боковых частот невозможно, представить колебание, частота или фаза которого изменяется в широких пределах, а амплитуда остается строго постоянной. Для получения правильной картины необходимо учитывать боковые частоты высших порядков в соответствии с выражением (3.3!). При значениях индексов аа от 0,5 до 1 приобретает некоторое значение б)а вторая пара боковых частот, ввиду чего ширина спектра должна быть приравнена 4Й.
Далее, при 1 (т(2 приходится учитывать третью и четвертую пары боковых частот и т. д. Спектральные диаграммы для гп = ! ггг и;Г2 2 (т (м! 2(г (м1 2 "г(Ю 2У (и! 2(г (лб о (ло ,' (л» аг Рис. 3.(7, Фазировка нолебаннй боковых частот в различные моменты времени и тп = 2 приведены на рис. 3.16. Фазы колебаний на этих рисунках не учи- тываются, однако следует иметь в виду, что при нечетных и амплитуды ниж- них боковых частот следует брать со знаком минус. Амплитуды всех состав- ляющих спектра представлены на этих рисунках в виде вертикальных от- резков, длины которых равны 2„ (т), а расстояния от отрезка (а (т), соот- ветствующего амплитуде колебания несущей частоты, равны п(2, где ьз— частота модуляции, а и — порядковый номер боковой частоты. Амплитуда результирующего колебания принята за 100 '.а, т.
е. А, = 1; обозначенные на рисунках величины е„определяют амплитуды колебаний соответствую- щих частот в долях от амплитуды результирующего колебания, Векторные диаграммы для различных моментов »1( при т = 1, построен- ные по выражению (3.30), представлены на рис. 3.17, а — г. При и ) 2 .7„(1) (( 1, поэтому учтены только,/„1, и Рассмотрим теперь большие значения т. Вопрос сводится к выяснению зависимости бесселевой функции l„(т) от порядкового номера и при боль- ших значениях аргумента т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
