Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986) (1095423), страница 15
Текст из файла (страница 15)
В системах <: цифровой обработкой исходный континуальный сигнал преобразуется в дискретный сигнал (см. рис. 1.2, б). Выбор шага (темпа) Т дискретизации производится на основании теоремы отсчетов (см. 2 2.15). Процедуру дискретизации (взятие выборок), осуществляемую с помощью электронного ключа, удобно рассматривать как умножение функции з (Г) на вспомогательную периодическую последовательность уг (Г) достаточно коротких тактовых импульсов. В качестве таких импульсов обычно рассматривают прямоугольные импульсы с длительностью т„, малой по сравнению с Т.
Таким образом, дискретизованный с шагом Т сигнал можно определить выражением зг (г) О з (г) Уг ((). (2,120) Функции з (г), уг (г) и зг (Г) показаны на рис, 2.34, а. Для выявления требования к кмалости> величины та)Т рассмотрим сначала структуру спектра дискретизованного сигнала лг (Г). Спектральную плотность Ь (го) исходного континуального сигнала з (Г) будем считать заданной. Запишем периодическую функцию уг (Г) в виде ряда Фурье по формуле (2.39), в которой под ти будем подразумевать величину т„, а под го!, как и в (2.39), — частоту повторения го! = 2л)Т. тв 2 жч ! . Глгв,тОУ уг (() (/в + ~рн згп ( ~ соз пыт г и л и=- ! -Т гг~.Т 2Т УТ Та -Т 0 Т 2Т ЮТ у(Г) УгТ т 00 0 00:О ОО 00 00 00 0 00 00 гг) т -Т в Т 2Т Т Р Т 2ТЗТ 0 00 О 0 Т И т 2ТЗТ -Т ГГ Т 2Т ггТ ох Э Рис, 2д4 дискретивапии сигнала как умножение на последовательность тактовых нм пульсов конечной длительности (а) или на последовательность дельта.функпий (П) Учитывая, что тв, ты2=ипт,гТ, а также имея в виду равенство ! .
опто т„ — з!и — = — з!пс (пить Т) получаем пп Т Т у~ (!)= (!ь ™ 1 2 Ъ з)пс )соз пы, ! Тогда выражение (2.120) принимает вид .;у~-и~ — "(*щ ъдт.~ ~""") ° о . и=! 1)ервому слагаемому в правой части соответствует спектральная плотность $ (ьь) исходного континуального сигнала, а каждому из произведений в (!) соз пы,! — спектральная плотность Ч, 5 (со — п~о,) + Я (ы + пы,)] (см. теорему в п. 3 $ 2.8 о смещении спектра).
Следовательно, искомая спектральная плотность 5г (ы) =(l„— '! Я(го);- ~' з!пс( ' )8(ы — пы,)-1- и=-1 з!пс( ' 1Я (ы ' пы,) т л=1 Поскольку з(пс (О) = 1, последнее выражение можно записать в следующей окончательной форме: 5, (,) = Ць ' С' з;пс( — ппт"~ 3 (ь (2.121) ь Т: ' Т П= Графики функций 5 (гв) и Бт (гв) представлены на рис. 2.35. Итак, спектр 5т (ы) дискретизованного сигнала представляет собой последовательность спектров $ (ы) исходного сигнала в ((), сдвинутых один отн<хительно другого ни ы, - 2п'Т и убываюи!их по закону зш ~ — "~') l — ""т', Если шаг выборок в соответствии с теоремой отсчетов выбран из условия Т( 1'2(,н = п,ы„„отдельные спектры не перекрываются, как зто показано на рис. 2.35, а, и могут быть разделены с помощью фильтров.
В практике величину Т обычно берут в несколько раз меньшей чем 1 2)„, что необходимо для повышения точности воспроизведения сигнала и облегчения реализации фильтров. С уменьшением отношения т,'Т лепестки спектра убывают медленнее и в пределе, при т,'Т вЂ” О, спектр приобретает строго периодическую структуру (и, естественно, уровень лепестков стремится к нулю). Если одновременно с уменьшением т, увеличивать (ть так, чтобы площадь импульса (т<ть оставалась неизменной, то функции ут (!) и зт (() примут вид, показанный на рис. 2.34, б.
Приравнивая для упрощения (теть 1, приходим к следующему определению тактовой функции; ут (() = ~' 6 (г --йТ). Тогда выражение (2.120) переходит в в(!)=з(г) У' 6(! -йТ') = ~" вЯТ) 6(! йТ). (2.122) а за» ьыь' Последовательность временных отсчетов приобретает вид последовательности дельта-функций с весовыми коэффициентами, равными значениями сигнала э (!) в точках лТ (см. рис. 2.34, б). При этом выражение (2,121) принимает вид ! Бх (гп) — н $ (и>- — гни~). =т .х (2 123) Отметим, что энергия сигнала зг (!), выраженного через дельта-функции, бесконечно велика. Соответственно и энергия спектра Я» (ха), опреде. ляемого выражением (2.123), бесконечно велика.
При использовании же реальных тактовых импульсов с конечной энергией спектр Зг (ы) нри ы — оп убывает (см. рис. 2.35). Представление зг (!) в форме (2.!22) существенно упрощает спектральный анализ дискретных сигналов. Например, спектральную плотность Вг (ет) можно определить непосредственно по совокупности временных отсчетов (э (й!)), без обращения к спектру $ (ы) исходного континуального сигнала.
Действительно, применив обычное преобразование Фурье (2,4В) к выражению (2,122) для случая, когда /г = О, 1...., со. получим Ьг(ы) =~ .тг (г) е '"" г(г= ( ег ™ э з(нТ! 5(г !гТ) дl а 0 а — а = ~' з (йТ)~ е '"'! 5 (! --!тТ) с(! = эт э (АТ) е. "'"г, а=а а=а (2 124) По своей размерности функции В (ет) и Зг (ха) неодинаковы: первая име! снгнал 1 ет размерность ~ — ~, а вторая — просто (сигнал!. 1 частота ~ Переходя к комплексной частоте р = — о 4 (сн, получаем изображение по Лапласу дискретизованного сигнапа Ьг (р) =- 1- 1зг (()! = ~' ч ()еТ! е . ааг »=а (2, 125) Рис. 2.36. Спектры исходного (а! и дискретнапианного (6) сигналов 66 Оригинал, т.
е. функцию зг (1), можно определить по заданному изображению Вт (р) с помощью обратного преобразования Лапласа, записываемого в обычной форме: а,л- г« ат (1) =* — ~ Вг (р) ео' с(1 (2, )26) 2л1 с, )см. (2. ! 03) ). Выражение (2.!2б) определяет всю последовательность (з (йТ)) в форме. совпадающей с выражением (2.!22).
Для определения одного й-го отсчета з ((тТ) без множителя б (1 — ЙТ) можно применить более простое вы- ражение о, + Гн11 — 8 (р) еоа'г с()з 2л1 (2.(27) о, — глхт в котором интегрирование ведется в пределах одного частного интервала от — пгт до и'Тъ. Некоторые дополнительные характеристики дискретных сигналов, существенные при цифровой обработке, приводятся, в 6 )2,2. 2.!8. КОРРЕЛЯЦИОННЪ|Л АНАЛИЗ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ В„(т) = ) з (() ч* (1+ т) с(1, (2.
! 28) где т — временнбй сдвиг сигнала. ' Вычислим правую часть (2.126) после замены пределов интегрирования, подстановки 1 — тТ. где гл — любое нелое число, и подстановки Я (р) по формуле (2.125): «,--гл а, -Ь сл(Г 1 = — ) и с(оТ) е "т еа'а ар ч з(аТ) — ~ е" гос агг г(р. 2л1,) оы 2л!' о, глгг" 'о а-а о, -/лтт Учитывая, что в данном случае р=а, 1ы, и переходя к переменной интегрированна го, получаем а и 1 х1п(ос — а) л (ьТ) а со ) о ,л (гл — а)Т а о При гл = 1г 1 —.= з (аТУТ.
а при м ~ д 1= 0. Таким образом, для определения з ((тТ) достаточно заменить в (2,126) аг (11 на х (оТ) н пределы интегрирования о, — гсо, а,л-г'со на а,— 1л Т и, . 1л Т 67 Наряду со спектральным подходом к описанию сигналов часто на практике оказывается необходимой характеристика, которая давала бы представление о некоторых свойствах сигнала, в частности о скорости изменения во времени, а также о длительности сигнала без разложения его на гармонические составляющие.
В качестве такой временнбй характеристики широко используется к о рр е л я ц и о н н а я функция сигнала. Для детерминированного сигнала з (1) конечной длнтельности корреляционная функция определяется следующим выражением: -гга-г,) д й;-ту) < гг гг) Рис. 2.37. Построение корреляционной функции лля треугольного им- пульса Рис.
2.36. Построение корреля. ционной функции лля прямоугольного импульса В данной главе рассматриваются сигналы, являющиеся вещественными функциями времени, и обозначение комплексного сопряжения можно опустить: В„ (т) = ) к (!) з (г -,- т! 01. (2П29) Из выражения (2.129) видно, что В, (г) характеризует степень связи (корреляции) сигнала з (() со своей копией, сдвинутой на величину т по оси времени.
Ясно, что функция В, (г) достигает максимума при т = О, так как любой сигнал полностью коррелирован с самим собой. При этом В„(О) = ) ат(г) й=Э, (2П 30) т. е, максимальное значение корреляционной функции равно энергии сигнала. С увеличением т функция В, (т) убывает (не обязательно монотонно) и при относительном сдвиге сигналов з (т) и з (1 + т) на время, превышающее длительность сигнала, обращается в нуль.
На рис. 2.36 показано построение корреляционной функции для простейшего сигнала в виде прямоугольного импульса (рис. 2.36, а). Сдвинутый на т (в сторону опережения) сигнал з (Г + т) показан на рис. 2.36, б, а произведение и (() л (т + т) — на рис. 2.36, в. График функции В, (т) изображен на рис. 2.36, г. Каждому значению т соответствуют свое произведение з (Г) з (г+ т) н площадь под графиком функции а (г) з (г+ т). Численные значения таких площадей для соответствующих т и дают ординаты функции В„(т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
