Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986) (1095423), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Требуется установить связь между спектром модулированного колебания и спектром модулирующей функции, т. е. спектром исходного сообщения 5 (г). Проще и нагляднее всего это можно сделать для тональной (гармонической) модуляции, когда огибающая А (() =- А„1! О М соз ((1(+ у)1, а модулированное колебание определяется выражением (3.6). Перепишем выражение (3.6) в форме а (() — Л, [соз (ы,(+ О,) )- М соз ((2(-! Т) соз (о,(+ О„)1. 6„. Мгновенное значение несущего колебания в момент ( равно проекпии вектора А, на ось времени (отрезок ОК).
Для представления на этой же диаграмме колебания с частотой «ч„ -« Й, превышающей угловую частоту вращения оси времени на величину Й, необходимо воспользоваться вектором, вращающимся с угловой частотой й против часовой стрелки (вектор ОС,). Для изображения колебания с частотой «э, — Й потребуется вектор, вращающийся с такой же частотой Й по часовой стрелке (вектор ОС,). Поэтому колебания боковых частот — верхней и нижней — изображаются двумя векторами длиной ЯА,!2, вращающимися во взаимно противоположных направлениях. Начала этих векторов перенесены из точки О в точку О. Их фазы симметричны относительно вектора несущего колебания А,.
Это следует из выражения (3.8), которое для большей наглядности целесообразно записать в несколько измененной форме «и~а а (() = Л, соя (ы„ « т- 6,) = †' ' сох ((ь«„ г -'- 6„) « ь(Я( ' у))+ " соэ ((««««««Ь 6„) — (()(+7)). 2 Из этого выражения видно, что при любой начальной фазе огибающей у векторы ОС, и ОС„соответствующие колебаниям верхней и нижней боковых частот, занимают симметричное относительно вектора 00 положение, причем векторы колебаний боковых частот образуют с вектором несущего колебания углы, равные -Ь(()г + у).
Равнодействующий вектор Ог", являющийся геометрической суммой векторов ОС, и ОС, и называемый вектором модуляции, всегда располагается на линии 00, вследствие чего сумму всех трех колебаний — несущей и двух боковых частот — можно рассматривать как колебание с постоянными начальной фазой и частотой, но с модулированной амплитудой. Попутно заметим, что если в результате прохождения через электрические цепи нарушается равенство амплитуд колебаний боковых частот нли симметрия нх фаз относительно фазы несущего колебания, то возникает качание вектора, представляющего результирующее колебание, относительно направления 00, Это равносильно возникновению паразитной ФМ, Остановимся на вопросе о фазе огибающей амплитуд при чисто амплитудной модуляции.
Допустим, что начальная фаза высокочастотного колебания 6, =- 90 . Тогда векторная диаграмма примет вид, показанный на рис. 3.5. Если при ()( = 0 векторы боковых частот ОС, 'н ОС, направлены вверх (положение ! на рис. 3.6), то огибающая амплитуд проходит в этот момент через свое максимальное значение А, (! + «У(). Этот случай соответствует начальной фазе огибающей у =: 6 )см. (3.6)), а уравнение огибающей буде« А (() = А, (! -'г М соз й().
Если же в момент !)( == 0 векторы ОС, и ОСз занимают горизонтальное положение, то огибающая проходит через значение, равное Л„. В этом случае начальная фаза огибающей у = — и:2 и уравнение для огибающей будет А (() =-. А„(! + «)( з«п ()(). Положение векторов боковых частот ОС, и ОС, при !)( - и!2, и и Зп/2 для у =- О обозначено на рис. 3.6 соответственно цифрами !1, )П и )Ч. Спектральная диаграмма колебания при тональной модуляции показана на рис. 3.7, Ширина спектра в этом случае равна удвоенной частоте мо- 77 о (!) — Яз соь г)з! Р 8., соз (1а!.
По аналогии с выражением (3.5) получаем Л (!) =Аа ( АЛеы сох Я, ! АЛм. соз Я., !=Аз (! г-М, соч с2,! .+ Мя соз (ге !) Подставляя это выражение в уравнение (ЗЛ) и используя тригонометрические преобразования, аналогичные тем, которые были проведены прн получении уравнения (3.8), приходим к следующему результату (начальные фазы несущего и модулирующих колебаний здесь для упрощения опущены): гнг.4а Мг Л» а (!) = Ла соз оге (+ соз (сои+ Йг) ! -( — '-" соз (Ф, — ()г) ! )- + ' ' 'сох(гоа -Ыт) ! —. ' " соз(го„— -Йа) ! 2 2 Из полученного выражения следует, что каждой из частот зог и (2а соответствует своя тональная модуляция, сопровождающаяся возникновением пары боковых частот, причем этот процесс является линейным в том смысле, что амплитуды и фазы колебаний боковых частот от различных модулирующих напряжений взаимно независимы (последиее свойство сохраняется при условии, что суммарное изменение огибающей «вниз» не превышает 100 айа).
Из приведенного примера нетрудно вывести правило построения спектральной диаграммы амплитудно. модулированного колебания а (!) по заданному спектру модулирующей функции о (!). Пусть последний имеет вид, Ог 0 0 Ао ,0 а 1 Ч аь Л: 0г0 Ог 0,00, ко ло 0,0 Рис. З,б. Фазы колебаний бокоиык частот н рамгичные моменты премеин Рис. З.Ь.
Векторная зиаграмма АМ при на ~альной фазе несущего колебания я=но' дуляцин 2ь), а амплитуды колебаний боковых частот не могут превьпнать половины амплитуды немодулированного колебания (при М ( (). Аналогичные результаты можно получить при модуляции любым сложным сигналом. Картину образования спектра амплитудно-модулированного колебания проще всего пояснить сначала на примере, когда модулирующее сообщение з (!) является суммой колебаний двух тонов: 8 л) ) Пма а)маа )) Ф Рис. 3.8.
Лискретные спектры: а) сложной модулнрущщей функции: б) модулмронанного по амплитуде коле- бание Рис. 3.7. Спектр колебании при тональной (гармонической) АМ представленный на рис, 3.8, а. Через 5,, 5а ..., 5„, ... обозначены амплитуды гармонических колебаний, входящих в спектр сообщения 3 ((), а через ь)щ)„и ьд„,„н — граничные частоты спектра.
Спектральная диаграмма высокочастотного колебания, промодулированного по амплитуде сообщением д ((), изображена на рис. 3.8, б. Коэффициенты модуляпии М,, М„,..; Мн пропорциональны амплитудам 5„5го ... ..., 5н соответствующих тонов, входящих в сложное сообщение э ((). Перейдем к общему случаю, когда спектр сообщения б (() не обязательно дискретный. Будем исходить из общего выражения (ЗА). Передаваемое сообщение б ()) содержится в законе изменения огибающей А ((). Не предрешая вида функции б ()), составляем выражение для спектральной плотности 5, (а)) модулированного по амплитуде колебания а ((), рассматриваемого как произведение огиГ>ающей А (г) на гармоническое колебание соз (е)ог -)- + оо).
Основываясь на соотношении (2.38), в котором положим б (г) — А ()), получаем 5о (то) = ~ А (!) сон (о|,1+ 0„) е-'ем г(7= ) = — еич 5„(ы - ы„) + — е. '"* 5а (со — топ). (3.9) В этом выражении 5л обозначает спектральную плотность огибающей, т. е. модулирующей функции. Следует подчеркнуть, что спектр медленно меняющейся функции времени А (() концентрируется в области относительно низких частот. Поэтому функция 5д (ы — о)о) существенно отличается от нуля лишь при частотах ы, близких к ги,, т. е. когда разность о) — о)о = (а относительно мала.
Аналогично слагаемое 5л (о) + ыо) существует при частотах, близких к — о)о. Таким образом, спектральная плотность модулированного колебания 5„(го) образует два всплеска: вблизи о) =- о)о и вблизи о) -: — о)а. Поэтому для узкополосного сигнала можно считать, что в области положительных частот (зло) 5о (со) ','де'н 5л (о) — и),), а а области отрицательных частот 5л(,) ) е 'и»5 (,) г,,) (ЗА О') Поясним правило построения спектра 6„(о)) на следующем примере. Пусть огибающая высокочастотного колебания имеет вид ! (сам Ла В соч ыо т при . -тн)2(( тя)2, (О при г ( — т„(2 и ! > тн/2.
(3.! 2) В данном примере под сообщением б (!) следует подразумевать видео- импульс (рис. 3.10, а). Спектральная плотность подобного сообщения 1см. (2.66)) $ (12! В з)п (г)тю 2) (3.! 3) Ятн! 2 Огибающая амплитуд колебания а (7) А (!) /га Л, б (!), а спектральная плотность этой огибающей $л (ьа) =/гам Ао 3 ((а) = й„, А В "" Итн'2 ) та) 2' и!т) ) а 2 )у) ) отл аа Рнс. 3.!О. Импульс прямоугольной формы (и) н тот же импульс с высокочастотным чаполненнем а)а (б) Рнс. 3.9.
Спектральные плотности: а) огибающей: б) амплнтулно.молулароааааого аолебана» т Как отмечалось в сноске на с. 72, текущая частота спектра модулнрующей функпнн обозначается через П. 80 А (!) = — А, (1+ йа„з (!)1, (3.! !) где я (() — передаваемое сообщение, имею)цее спектральную плотность Б (ь)), а коэффициент )там имеет тот же смысл, что и в выражении (3.5)'. Спектральная плотность огибающей А (!) изображена на рис. 3.9, а. Дискретная часть этого спектра, равная 2лА,6(() ), соответствует постоянной величине А„а сплошная часть Й„„АоЗ (!а) — передаваемому сообщению 3 (!).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
