Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986) (1095423), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Оказывается, что при т )) 1 величина (е'„(т) ! более или менее равномерна при всех целых значениях )и(, меньших, чем аргумент т. Прн !и1, близких к т, (з'„(т)! образует всплеск, а при дальней- шем увеличении !и! функция )У„(т)! быстро убывает до нуля. Общий ха- рактер этой зависимости показан на рис. 3.18 для т = 100.
Из рисунка видно, что наивысший номер и боковой частоты, которую еще необходимо принимать в расчет, приблизительно равен индексу модуляции т (в данном случае и = 100), Приравнивая это максимальное значение п,„,„величине т, приходим к выводу, что полная ширина спектра частотно-модулированного колебания 2 ) пмах ! й ж 2пЖ. Но т = озд/ьз, следовательно, при больших индексах модуляции ширина В(2 спектра модулированного колебания близка Вез к удвоенной девиации частоты 2 ) и,„! 12 ж 2шд. (3.34) вва Эта полоса частот обозначена в нижней части рис.
3.18. -йЮ в (авп Заметим, что в соответствии с определением т (см. (3,24)! выражение «модуля- ыл ед"л е~ ция с малым индексом» эквивалентно выражению «быстрая модуляция», а выражение «модуляция с большим индексом» эквивалентно выражению «медленная модуля- Рнс. 3.!8. Ширина спектра ЧМ колебания при больших значениях индекса модуляции 3.7. СПЕКТР РАДИОИМПУЛЪСА С ЧАСТОТНО-МОДУЛИРОВАННЫМ ЗАПОЛНЕНИЕМ При модуляции частоты колебания по закону, отличающемуся от гармонического, нахождение спектра колебания усложняется.
Выбор наиболее удобного метода анализа зависит от характера модулирующей функции. Поясним один из возможных методов на примере широко распространенного сигнала — импульса с линейной частотной модуляцией (ЛЧМ импульса). Подобный сигнал изображен на рис. 3.19, а, а закон изменения частоты заполнения импульса — на рис. 3.19, б. Мгновенную частоту заполнения оз (1) = 2п7" (1) можно определить вы- ражением оз(1)=сои Р(51, (1)н Тс!2, (3.35) где 1(5 ! —.-2озн/Те= 2 2п~з)Т, (3.35) есть скорость линейного изменения частоты внутри импульса.
Тогда мгновенное значение колебания, представленного на рис. 3.19, а, можно записать в виде а(1)=Ассов~~ со(1)йг~ =Ансон(соз1+ й ), — Тс)2к 1<. Тс)2. (337) !')роизвсдение полной девиации частоты на длительность импульса 2~и Тс=т (3.38) является основным параметром ЛЧМ сигнала. Напомним, что в 9 2.15 аналогичный параметр У = 27',„Тс был назван базой сигнала.
ПосколькУ )н определяет ширину спектра рассматр и вае мого сигнала, параметр т можно трактовать как базу 21ЧМ сигнала. С учетом (3.38) выражение (3.36) можно записать в форме ) (5 ! = 2пт~Т;. (3.39) При этом сигнал а (1) определяется при р ) 0 выражением а (г) = Ач сон(соя! ", ), Тс Гс г 2 со ге+ гад Га гд (3 40) Рис. 3.18.
ЛЧМ импульс (о) н изменение частоты его заполнения (б) 88 нияз. Поэтому можно сформулировать следующее положение: при быст- рой угловой модуляции (когда со (( Р) ширина спектра модулированного ко- лебания близка к значению 2и; при медленной угловой модуляции (когда сои >) 11) ширина глектпра близка к значению 2озн.
Определим спектральную плотность этого сигнала с помощью общего выражения (2.48): тс/2 т,/2 8(в) = А, ~ соз ~во(+ т, ) е-'о'<(1 — ~ ехр << ~ т, (. 1 ли</2 с т /с т /2 Т /2 — (в — ооо)11~<й+ —" Г ехР) — <'! —" 12 т-(в + <оо) 1]~<(1. (3.41) — Т„/2 Первое слагаемое в правой части полученного выражения определяет всплеск спектральной плотности вблизи частоты в -- в<о а второе— всплеск вблизи частоты в = — в,. При определении Ь (в) в области положительных частот второе слагаемое можно отбросить (см.
(3.10)). В первом же слагаемом показатель степени в подынтегральной функции целесообразно дополнить до квадрата разности (() считаем положительной величиной) оы)1= — - (<о -<оо11 <(2 - <(' =~ " — -<1 ) 2 (3. 42) ко</с — — (<о т; где д = йо — ом) Тс)2 )/ пт . Подставляя (3.42) в (3.41) и переходя к новой переменной у-- К и/а 1/Т, <(, 13.431 13.44) получаем 8(в)=.— е-< *= ~ е/о <(у, Ао М* Тс -р —.„, (3.
45) где пределы интегрирования определяются выражениями (3.46) С (х) = ~ соз — ~ <(у, 5 (х) = "з(п — ~ <(и. (3.47) к <яо' С (х) + Б (х) = ( е ' <(у. (3. 48! о Тогда выражение (3.45) с учетом (3.43) н (3.46) приводится к следующей формуле: 8(в) = — '" =ехр ~ — -1 ( в'1 1(С(и,) -' С(ио)+115(и<)-(-5(ио)1). 2 ')</о< ')/2 ( 20 (3.49) 90 / Используем известные из математики определения интегралов Фре- неля Аа ТТ а) ! ргм) Рис. 3.21. Амплитудно. и фаза-частотная характеристики спектра ЛЧМ импульса на всей оси ча- стот б)) Из (3.49) следует, что в области о) )О АЧХ спектральной плотности ЛЧЛ( сигнала АеТс 1 5 (о)) =,' — )с 2 )хдл )l 2 х )' (С (и,) ! С (ие) !' '- (5 (и,) -' 5 (ие))з, (3.80) а ФЧХ 6,(о))= — -, 'агс(и (ы — иы)х (, 2() Ь'(и,) -) 5(и,) т (ы с(,) с(и ) ! агс и 5 (и)) + 5(иы (3.8!) с(,) -с(,) Графики зависимости (2 )х"т .'А,Т,) 5 (о)) от (о) — о)а)1<ох (рис.
3.20, а, б и в) показывают, что прн больших значениях т форма 5 (ю) приближается к прямоугольной и ширина спектра близка к величине 2о)п. При этом характеристика (ф (ы)! принимает вид квадратичной параболы (рис, 3.20, в). Второе слагаемое в (3.8!), стремящееся к постоянной величине Ы4, опущено. При )о = )оа и, = ие =-- ')/'т'2, так что прн больших значениях и) и )о = о)а, когда С (и,) ж С (иа) ж О,б и 5 (и)) 5 (ие) ж 0,8, квадратный корень в выражении (3,50) обращается в )' 2, а 5 (о)„) -и АаТс)2 )' и Йа рис.
3.2! показана структура АЧХ и ФЧХ спектра ЛЧМ импульса при и ) 0 на всей оси частот. В области отрицательных частот ФЧХ по знаку обратна фазовой характеристике спектра при положительных частотах. При () ( О. т. е, при убывании частоты внутри радиоимпульса, знак минус перед правой частью выражения (3.5!) должен быть изменен на обратный. йо йв бг ба а-, й) д Рнс. 3.20.
Спектральная плотность ЛЧМ импульса при различных значениях базы т 2)дтд: д) и )с; б) т 60: д) т )сс 3.8. СПЕКТР КОЛЕБАНИЯ ПРИ АМПЛИТУДНО- ЧАСТОТНОЙ МОДУЛЯЦИИ Обобп)им выражения (3.25), (3,25), заменив в иих постоянную амплитуду А„ функпией времени А ()): а ()) = А ()) соз (ыд) -( 0 (/)! = А (1) сод 0 ()) соз ые) — А (П Мп 0 (О Мп ы,) =- = а, (Π— ад (!). (3.52) О! Как и в й 3,8, З.б, определение спектра ка;>ебания сводится к нахождению спектров функций Ав (1) = А (1) соз 0 (!) и А (В =- А (1) Ып О [1), т.
е. огибающих квадратурных колебаний, и к последующему сдвигу этих спектров на величину ыэ. Обозначим спектральные плотности функций А, (!) и А, (1) символами 5Л (ы) с и 5 (ы). Тогда 5„[ы) = [ Лс (!) е ««'>)1 [ Л В) сов о 0) е [3" 30 « 5л (ы) ) Аь (1) е "">>[1= — ~ Л (г) э!п О [1) е 1«и>)1. СпектРальнаЯ плотность косипУсного квадРатУРного колебаниЯ ас (1) - Ас (1) Х Х соз ы«1 в соответствии с выРажением (2.88) пРи Оэ = О бУдет 5«„(ы) - '1,[5Л (е> — юо)+5Л„(ыЛ-ыэ)[.
(3.84) ПРи опРеделении спектРа синУсного квадРатУРного колебаниЯ и, (1] =- Аа (1) Х х зш ыэ1 фазовый угол Оэ в (2.58) следует приравнять †'. Следовательно, > 5«, (ы) — — — [5л (ы — ыэ) -ь 5л [ы >- ыэ)[ 2 э з (3.54') В области положительных частот можно считать Вл (ы г «ю)=О, 5 (ы--ы) =О. е 3 Таким образом, окончательно спектральная плотное>ь нолебаиия и (1) — аа (1) определяется выражением 5«(ь>) — 5« (ы) 5«, (ы) т [5Л (ь> — >«о) т >5Л (ь> — «>«)~ «> )О. с 'ь Переходя к переменной [) =- >« — ь>„, получаем 5 («>э В) » [5л [[)) !5 (Я)[.
"с ОО (3 33) (3,.)6) Структура спектра колебания а (1) при аманн >удно-частотной чиху«янин зависи г от соотношения и аида функций А ОО и О (1). При АМ спектр колебания а (!) характеризуется полной симчегрией эчплигуд и фаэ колебаний боковьщ частот относительно несущего колебания; при угловой модуляции [А (В А„- сопзЦ фазы колебаний нижних боковых частот при нечетных и сдвинуты на )80" (см. й 3.6). С>дновремеиная модутяция по амплитуде и углу может при некоторых соотношениях между А (1) и О (1) приводить к асимметрии спектра 5«(ыз Я) относительно ы„не только по фазам, но и по амплитудам.
В частности, если О [1) является нече>ной функцией 1, то прн любой функции Л (1) спектр колебания а (!) несимметричен. Пример подобного спектра представлен на рис, 3.22. (По отношению к точке » — О модуль спектральной плотности симметричен при любых условиях.) Вля симметрии спектра 5, (ы) требуется четкость функции 0 (1) при одновременном условии, чтобы функция А (4) была либо четной, либо нечетной функцией 1 Если функция А В) может быть представлена в виде суммы четной и нечетной составляющих, то спектр 5„0«) несимметричсн даже при четной функции О (з). Например, импульс с линеиной ЧМ, рассмотренный в ьх 3.7, имеет симметричный спектр. В этом слу- 3 чае прямоугольная огибаю>цая при надлежащем выборе точек отсчета времени являет- 3!ш) ) ) 3(ь>) ся функцией, четной относительно >, как и функция 0 [1) = 01-'.
1 2 ) [ Наглядное представление о деформации спектра нолебания при смешанной модуля) ции — амплитудной и угловой — можно получить, рассмотрев случай, когда обе модуляции осуществляются гармонической функ- и ш цией с одной и той же частотой [). Вля упрощения анализа зададим эту функцию в виде гармонического колебания соз [)1 для угловой модуляции и в виде соэ Яг или Мп >)! для амплитудной. Рис. 3.22.
Пример асимметричного спектра при смешанной амплитудной и угловой модуляциях ггЯ2 з Т ьа-2Я агз-и ьз ото+и озз+2Я ь ад ьз щз+!) ьзтйо ь В Рис. 3.23. Спектр колебания прн одновременной модуляции амплитуды н частоты гар- монической функцией Выкладки, аналогичные предыдущим, приводят к следующим результатам: ам. плитуда равна 1 на частоте ь; 1/2 (М вЂ” т) на частоте ь, — Я; 112 (М + т) на частоте ье — Я; тМ/4 на частотах ьз ~ 2Я. Спектр колебания для рассматриваемого случая йредставлен на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
