Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986) (1095423), страница 22
Текст из файла (страница 22)
3.23, б. Симметрия спектра нарушается в данном примере нз-за неодинаковых амплитуд колебаний верхней и нижней боковых частот. Лсимметрия спектра при амплитудно-угловой модуляции может рассматриваться как показатель неправильной работы устройства, осуществляющего ЛМ; перекос спек. тра указывает на то, что полезная ЛМ сопровождается паразиткой угловой модуляцией. 3.9.
ОГИБАЮЩАЯ, ФАЗА И ЧАСТОТА УЗКОПОЛОС)!ОГО СИГНАЛА Современное состояние радиотехники характеризуется непрерывным совершенствованием способов передачи информации. Изыскиваются новые виды сигналов и новые способы их обработки. Рассмотренные в предыдущих параграфах модулированные колебания являются лишь простейшими видами радиосигналов. Часто приходится иметь дело с радиосигналами, получаемыми в результате одновременной мо- 93 1. Обе функции, как А (1), так и 0 (1), четные относительно П А (1) = Аз(1+ М созЯ1), 0(1)= тсозЯЛ Мь, 1; и~1.
Выражение (3.52) принимает вид а (1) = А, (1 + М соз Я1) соз [ьз1+ т соз Я1]. Полагая, как и в 5 3.3, справедливыми приближенные равенства соз (т соз Яг) ее = 1, з1п (и соз Я1) ж т соз Яг, приводим это выражение к виду, аналогичному (3.32): /М М а (1) =Ар ~(1+М соз Я1) соз ь, 1 — т ~ — +сов Я(+ — соз 2Я1) ) з(п ма 1~ = 2 М ГМ = 4е ~созыв 1+ — [сов(ьз+Я) !+сов(ьз — Я) 1] — т ~ — з!п ь,1+ — з!п (ь,+ 1 аМ + Я) 1+ — з(п (ье — Я) ! ! — — [з)п (ьз+ 2Я) 1+ з[п (ьз — 2 Я) 1]), Суммируя квадратурные составляющие соз ьзг и (тМ/2) з!п ьзг, получаем для амплитуды результирующего колебания на частоте ьа следующее выражение: к'1 + (глМ!2)з при Аз = 1, Лналогичным образом находим амплитуду грув' ~-Э м ей *,.~-Й нь«2Й. Спектр колебании а (1), представленный на рис.
3.23, а, симметричен. 2. Функция 0 (1) — четная, а А (1) содержит четную и нечетную составляющие: А (1) = Аз (1 + М Мп Я1), 0 (1) = и соз Яб М < 1, т ~ 1. дуляции амплитуды и частоты (или фазы) колебания по очень сложному закону. В любом случае предполагается, что заданный сигнал а (1) представляет собой узкополосный процесс.
Это означает, что все спектральные составляющие сигнала группируются в относительно узкой по сравнению с некоторой центральной частотой оо, полосе. При представлении подобных сигналов в форме а (1) = А (1) соз ф (О) (3. 57) возникает неоднозначность в выборе функций А (~) и ф (1), так как при любой функции ф (1) всегда можно удовлетворить уравнению (3.57) надлежащим выбором функции А (1). Так, простейшее (гармоническое) колебание а (1) = А, соз соо( (3.58) можно представить в форме а (1) = А (1) соз со1, (3.
58') где со = соо + асс. В выражении (3.58') огибающая А (() в отличие от А является функцией времени, которую можно определить из условия сохранения заданной функции а (1) Ао соз соо1 = А (1) соз (ООО + бОО) й откуда ЛО со» ООО 1 ЛО СО» ООО ~ А (1) со» ЬмГ со» и, г' — Мо ЛмГ Мя со, ! с05 (ОЗО+ ЛОО) 1 АО (3.59) со» ЛООГ-Мп ЬОП Гдьо ! Из этого примера видно, что при нерациональном выборе ОР (() (Оог' вместо соо() очень усложнилось выражение для А ((), причем эта новая функция А (() по существу не является «огибающей» в общепринятом смысле, так как она может пересекать кривую а (1) (вместо касания в точках, где а (1) имеет максимальное значение). Оперирование подобной »огибающей» не имеет смысла, а в некоторых случаях и недопустимо, так как может привести к ошибочным практическим выводам (например, при рассмотрении работы амплитудного детектора).
Неопределенности можно избежать при представлении А (1) и Ор (г) с помощью следующих соотношении: А(1) =-)/а»(1)+ а," ((), со(1) =агс(ц(а, Ярд(1)), (3.60), (3,61) где а, (() — новая функция, связанная с исходной соотношениями О п,(1) = — — 1 "(1 дт, а(1) =- — С вЂ” "' с(т. (3.62), (3 63) и 3 т — Г и 3 Эти соотношения называются преобразованиями Гильб е р т а, а функция а, (() — функцией, сопряженной (по Гильберту) исходной функции а (1). Для выяснения смысла выражений (3.60), (3.61), а также требования, чтобы а, (1) являлась функцией, сопряженной по Гильберту исходной функ- ции а (1), рассмотрим сначала некоторые свойства А (1), вытекающие непосредственно из выражения (3.60) и справедливые при любой функции а, (1).
Прежде всего мы видим, что в точках, где функция а, (1) равна нулю, имеет место равенство А (() = а (1). Дифференцируя (3.60), получаем дА «и «а А — =а — +а,— Ж Ж Хг Отсюда видно, что при а, =- О, когда А (1) = а (1), имеет место дополнительное равенство «л «а щ,й Следовательно, в точках, в которых а, (~) =- О, кривые А (1) и а (~) имеют общие касательные. Этих условий, однако, еще недостаточно для того, чтобы можно было рассматривать А (1) как «простейшую» огибающую быстро осциллирующей функции а (~).
Необходимо потребовать, чтобы кривая А (г) касалась кривой а ф в точках, в которых последняя имеет амплитудное или достаточно близкое к нему значение. Иными словами, в точках, где а, (1) обращается в нуль, функция а (1) должна принимать значения, близкие к амплитудным. Это условие как раз и обеспечивается, если функция а, (1) является сопряженной по Гильберту функции а (1). Это свойство преобразований Гильберта нагляднее всего иллюстрируется на примере гармонического сигнала.
ПУсть а (1) = соз о»о(, — со ( ( со. Найдем сопРЯженнУю фУнкцию а, (1). Применяя общее выражение (3.62) и переходя к новой переменной х = т — (, находим 1 1' со»о»от 1 Сао О»о Х ао (г) = 5(т = соз ооо г 1 «(х+ х + — 5!по»1 ~ дх. 1 . ' Г 51п 55» х и х Известно, что «о х о (в смысле главного значения) и Ю Мах — 5(Х=П.
х следовательно, функции а (г) = соз ао«1 соответствует сопряженная фУнкциЯ а, (() = 5!и оо«1, котоРаЯ пРохоДит чеРез нУль в моменты, когДа исходная функция проходит через максимум. Аналогичным образом нетрудно убедиться, что функции а (1) = 51п ао«1, — «х» ( (( оо, соответствует сопРЯженнаЯ фУнкциЯ а, (1) = — соз ао»1. Подставляя а (1) = соз оо«1 и а, (1) =- яп го»1 в выражение (3.60), получаем для огибающей гармонического колебания общепринятое выражение А (() = )х соз' ыо1+ 51п' оо«1 — — П Аналогичный результат получается и для а (~) = 51п ао»1, а, (о) = — СО5 55«Г.
Как видим, выражение (3.60) определяет огибающую в виде линии, касательной к исходной функции в точках ее максимума и в случае гармонического колебания соединяющей два соседних максимума кратчайшим путем. Таким образом, выражение (3.60) определяет «простейшую» огибающую.
Это свойство выражения (3.60) сохраняется и для сложного сигнала, если выполняется условие медленности изменения огибающей, т. е. если речь идет об узкополосном сигнале (см. (3.2), (З.З)). Если исходный сигнал представляет собой сумму спектральных составляющих а (1) = ~~З~ (а„соз ы„(+ Ь„з(п «в„(), (3.64) » то сопряженная функция а, Я= ~~Р~(а„з(вы„( — Ь„сов«о„(). (3.65) Ряд (3.65) называется рядом, сопряженным ряду (3.64). Если сигнал а (1) представлен не рядом (3.64), а интегралом Фурье а(() — -- — ~ (а(«а) сов«в(+Ь(«а) з(п«в(] Йо, г » (3.66) (3.70) 96 то функция а, (() может быть представлена в виде интеграла а» (1) —.—. — ~ [а (ы) гбп «»1 — Ь (ы) соз М) «(ы, 1 (3.67) сопряженного интегралу (3,66). Нетрудно установить связь между спектрами функций а (() и а, (().
Так как при преобразовании гармонического колебания по Гнльберту его амплитуда остается неизменной, то очевидно, что по модулю спектральная плотность $, (ы) сопряженной функции а, (() не может отличаться от спектральной плотности 8 (ы) исходной функции а (1). Фазовая же характеристика спектра 5, (ы) отличается от ФЧХ спектра $ («в).
Из сопоставления выражений (3.66) и (3.67) непосредственно вытекает, что спектральные составляющие функции а, (7) отстают по фазе на 90' от соответствующих составляющих функции а ((), Следовательно, при ы- 0 спектральные плотности 5, (ы) и $ (ы) связаны соотношением 5, («в) = — 1$ (ы), ы ~ О. (3.68) В области отрицательных частот соответственно получается 5,(ы) = Ю («в), «а(0. (3.69) Вследствие изменения ФЧХ сопряженная функция,а, (() по своей форме может силы«о отличаться от исходной функции а ((). После того как найдена сопряженная функция а, ((), можно с помощью выражений (3.60), (3.61) найти огибающую А (г), полную фазу ф (1) и мгновенную частоту узкополосного сигнала ы (() — == — ~агс1д — ' Ф~(«1 И г а, О) 1 а(1)а( («) — а, 10 а' О) Ж Л а (1) а«(О+а( («) Выделив в найденной таким образом часюте «а (() постоянную часть «о,, можно написать выражение (1) = — «ао( + О (1) + 6«, (3.71) в котором 0 (1) не содержит слагаемого, линейно зависящего от времени.
Тем самым устраняется произвол в выборе «средней частоты» сигнала юо и соответственно функции 0 ((). В заключение следует отметить, что в некоторых случаях выражения (3.60) — (3.69) используют также и для широкополосных сигналов, когда понятие «огибающая амплитуд» теряет свой обычный смысл, При этом отказываются от требования, чтобы огибающая А (() касалась кривой а (1) вблизи точек, в которых а (() имеет амплитудное значение.
Поясним применение преобразования Гильберта для определения огибающей, фазы и мгновенной частоты сигнала на следующем примере. Пусть задан сигнал в виде суммы двух гармонических колебаний с близкими частотами' шэ н эоз а(1) А, соз шэ[+ Аз соз ш»1 (3.72) Применяя далее формулу [3.70), после несложных алгебраических и тригонометрических преобразований приходим к следующему выражению для мгновенной частоты: й-нсоз Ьоэ! оэ (1) =!о, + Ьоэй = ээээ -~- Ьшч (1), ! + й'+ 2Ф соз Ьоэ1 й -!.
соз Ьэ»1 и (!) =й !+до + 2й соз Ьш! (3. 76) (3. 77! Так как постоянная составляющая функции Ч (1) равна нулю, то входящие в выражение (3.7!) средняя частота оэо и функция О (1) будут оэо=ш,, О (!)=Ьоэ [ й [х) э1х. (3 . 78), (3. 79) 'о Иэак, на оснозанив (3,74), (3.76) и (3.78), (3.79) выражение (3.73) приводится к виду ! а (1) =А, )/1 +йе+2й соз Ьш[ сов оэ, э+ Ьоэ [ Ч (х) э[х й (3. 80) где Ч (1) определяется выражением (3.77). При этом исключаются произвол и неопределенность в выборе огибающей и фазы суммарного колебания. Графики функции ч (1), характеризующие изменение частоты, приведены на рис. 3.24 для некоторых значений л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
