Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986) (1095423), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Если действительная часть взаимной спектральной плотности положительна, то !р', (а) ) [л'„(<о) + [у'„(м) н, следовательно, корреляция между процессами приводит к возрастанию средней мощности суммарного процесса (о,' ) о,* + о„*). Очевидно, что прн отрицательной действительной части [р,„(м) средняя мощность суммарного процесса меньше, чему)„+ Ою Если В, = Р „+ В„то процессы х (() и у (1) являются иезависимымй, аддитивными (см.
з 2.18). В практике часто встречается случай суммирования процесса х (г) с процессом Кх (г — Т), т. е. с тем же процессом, задержанным на время Т и усиленным в К раз (рис. 4.!2). Составим матрицу (4.52) для процессов х (г) и у = Кх (! — Т). В обозначениях (4.52) получаем )с„, (т) й„(т); Р„э (т) = х (!) у (1+ т) =- Кх (!) х (г — Т +. т) = КР„(т — Т), Рэ„(т) =у(!) х(г'+т) = — Кх(( — Т) х(1+т) =К(т„(т+Т), )с„„(т) =й„(т) =у(1)у((+т) =К х(1 — Т) х(à — Т+т) =Кт)С,(тп Рис, 4.12.
К определению корреляционной функции суммы двух случайных процессов с одинаковыми энергетическими спектрами Таким образом, корреляционная матрица процессов х (г) н у (1) = =Кх (! — Т) принимает вид И„(т) Кй„(т — Т) 1 "'"'- К~,(,+Т) К ~.(,) Найдем теперь корреляционную функцию процесса з (г) = х (г) + у (1) на выходе сумматора (рнс, 4.12). Подставив в (4.53) элементы матрицы Я (т), получим Я, (т) =.
Ага (т) + КК„(т — Т) лг КК, (т+ Т) + К'Ял(т). Приравнивая т =- О, находим дисперсию процесса О,=-Ва+ ККл( — Т)+КК„(Т)+КеО =(!+К) Вл+2К)тг„(Т) = = 0„11 + Ка + 2Кгл (Т)1, где г„(Т) = )с „(Т)ބ— нормированная корреляционная функция процесса х (1) (напомним, что в данном примере М (х (1)] = 0). При замене сумматора вычитающим устройством знак плюс перед слагаемым 2Кга (Т) должен быть заменен минусом. Если задержка Т значительно больше интервала корреляции процесса х (1), что г„(Т) -э 0 и Оа = 0„(1 + К'). 4.6.
УЗКОПОЛОСНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС Краткое описание свойств гауссовского шума, сформированного из белого шума вырезанием относительно узкой полосы частот, было дано в в 4.4. Там отмечалось, что каждая из реализаций подобного случайного процесса имеет вид почти гармонического колебания х (1) = А (1) соз Ьау + 6 (1)! = А (1) соз ф (Г), (4. 60) все параметры. которого — огибающая А (г),. фаза 6 (1) и частота оэ (1)— являются случайными медленно меняющимися функциями времени. При представлении шума в форме (4.60) предполагается, что огибающая А (1) отвечает соотношению А (г) =)г хв (1) +ув (г), (4.61) где у (г) — функция, сопряженная по Гильберту исходной функции х (1), а юа выбрана таким образом, что фаза О (1) не содержит слагаемого, линейно- зависящего от г.
В этом смысле нет различия между случайным и детерминированным процессами (см. 2 3.9). Дополнительно этот вопрос рассматривается в 2 4.7. Дальнейшее рассмотрение основано на допущении, что спектральная плотность шума х (1) сконцентрирована в узкой по сравнению с величиной юа полосе, причем функция )эт„(ю) в указанной полосе симметрична относительно точки гоа (рис.
4,13, а), Рассмотрим стационарный эргодическнй процесс с нормальным законом распределения вероятностей. Здесь необходимо подчеркнуть, что указанное распределение характеризует физическое колебание х (1), т. е. мгновенное значение колебания (в любой момент времени 1). Параметры же колебания: 126 А (г), 0 (г) и о) (7) = б()))/с(г — обладают законами распределения, существенно отличающимися от нормального'.
Для полного описания свойств узкополосного процесса требуется знание законов распределения, а также корреляционных функций всех параметров колебания. !. ОГИБАЮЩАЯ Представим высокочастотное колебание х (Г), определяемое выражением (4.60), в виде двух квадратурных колебаний: х (Г) = А (Г) соз 0 (!) соз о)аà — А (!) яп 0 (7) яп о)о! = А, (7) соз в)а!— — А, (Г) яп мой (4.60') Здесь, как и в 0 3.5, А, (7) =- А (!) соз О, А, (() = А (() яп 0 (4.62) представляют собой амплитуды соответственно косинусной и сннусной составляющих колебания х (г), причем А (Е) = УА,' (!) -)- А,' (с), 9 (!) . агс10 А„А4,. (4.63) Для отыскания плотностей вероятности рл (А) и ра (9) требуется знание соответствующих плотностей р (А,) и р(А,), а также совместной плотности вероятности р (А„А,).
Плотности 7) (А,) и р (А,) можно определить, сопоставив случайную функцию А, (7) [или А', (1)1 с функцией х ((): х (г) = А (7) соз (<оа! + 0 (с)1, А, (() = А (!) соз 0 (г). Отличие А, (() от х (7) заключается в исключении слагаемого о)о1 из аргумента косийуса. Как и для детерминированного колебания, это означает сдвиг спектра каждой из реализаций случайного процесса на величину о) (в направлении к нулевой частоте при сохранении структуры спектра). При этом сохраняется и закон распределения случайной функции х (!). Поэтому, если процесс х (с) гауссовский, то и процесс А, (г) гауссовский (оба процесса с нулевым средним).
Спектр )1тА (а)) (рис. 4.13, б) случайной функции А, (г) можно получить из спектра функции х ()) сдвигом на о)б левого лепестка и на — о)о правого лепестка спектра (р', (о)) (рнс. 4.13). В результате получается спектр )улс ()4) == 214" х (о)а+ Й), (4. 64) Рис. 4.)3. Спектры: л) узкополосного процесса с центральной частотой юг; б) косннусной состанлнющей конплексной огибающей т Это вытекает из нелинейной зависимости параметров А, О и ез от х н у. !хт группирующийся вблизи нулевой частоты. Коэффициент 2 учитывает' сложение мощностей, приходящихся на оба лепестка )Г„(ш).
Аналогичные рассуждения используем для случайного процесса А, (1) н его спектра ))тд (ь)) = 2)к'„(шэ+ ьх). Из этого выражения и рис. 4.!3 вытекает, что площадь под кривой )р'„(ш) (в двух лепестках) совпадает с площадью под кривой (к'А (ь)) (или )ГА (ьэ)). Следовательно, дисперсии случайных функций А, (1), А, (1) н х(1) одинаковы: оэл = ал = а„'.
При учете первого выражения (4.63), из которого вытекает равенство А' (1) = А,' (1) + А,' (1), приходим к следующему выражению для среднего квадрата огибающей (из-за некоррелированности квадратур): <Аа> =Ав(1) =- 7)д,+Е>л =2О„=2о„'. (4.66) Итак, одномерные плотности вероятности случайных функций А, (1) и А, (1) можно определить выражениями р(А,) = ехр ~ —— 1 .4» )Г 2п о» 2ох (4.66) -(/ 2п- о 2охх Кроме того, взаимная корреляция между функциями А, (1) и А, (1) равна нулю при т = О. Действительно, возводя выражение (4.60') в квадрат и усредияя по множеству, получаем М (ха(1)) =М (4»(Г) созшаГ А,(1) з(пшэ1)э=М(А» (1))созашэ1+ +М(А,'(1)) з)п'ш»1 — 2М(А,(1) А,(Г)) з1пшэ1созе,1. Но левая часть этого выражения равна Р, (0) = хх„, кроме того, М (А', (1)) = М (А,' (1)) = 7)» = РА (0), а М (А, (1) А, (1)) = РА д, (О) является взаимной корреляционной функцией случайных процессов А, (1) н А, (1) при т = О.
Следовательно, предыдущее равенство приводится к виду Рх (0) =- Рл (0) — Рл л (0) з)п 2соэ 1 = о„* — Рлс л (0) ейп 2со, 1, (4.67) из которого вытекает, что Р,1,1 (0) = 0 (поскольку процессы х (1) и А, (Г) стационарны, равенство (4.67) должно выполняться в любой момент времени! . Итак, А, (1) и А, (г), отсчитываемые в один и тот же момент времени,— статистически независимые величины'. Поэтому совместную плотность вероятности р (А„А,) можно определить выражением р (А „А,) -- р (А,) р (А,) = — ехр ~ 2пох Х 2ах (4.68) х В случае детерминированного АМ колебания (рис.
3.9) при переходе от спектра 5» (ю) к спектру 5л (ы) удваивается спектральная плотность напряжения (или тана), что приводит к учетвереиию спек~ральной плотности энергии, пропорциональной 5'4 (ы). В данном случае мощность случайного процесса всего лишь удваиваешься иэ-эа некогерентного суммирования спектров от обоих лепестков 1Р'» (ы). э Это положение вытекает также иэ соотношения (4.68), показывающего, что средний квадрат огибающей А (г), т, е, 0л, является аддитивной суммой средних квак.
рахов функций Ас (т) и Я (1), 128 Рис. 4.15. К определению двумерной плотности вероятностей модуля и аргумента комплексной огибающей Рнс. 4.14. К определению двумерной плотности вероятности квадратурных составляющих комплексной огибающей узкополосного процесса Вероятность того, что конец вектора А (1) лежит в элементарном прямоугольнике г(Асг(А, (рнс, 4.14), равна произведению вероятностей пребывания А, в интервале г(Ао н А, в интервале г(Аа: Р (Ас) г(А,Р (А,) г(А, = —, ехр ( — —, г(А, г(А,, 1 / Аз 2лахе ( 2азк ! Прн переходе от прямоугольных координат к полярным площадь заштрихованного на рнс. 4.15 элемента будет Аг(йг(А, а вероятность пребыва- 1 Ае ння конца вектора в этом элементе равна — э ехр ( — —, ) Аг(йг(А. 2лаэ 2а'„ Из этого выражения следует, что двумерная плотность вероятности А ! Ае р(А, О) = — ', ехр( —, ), 2лаа~ .
2а', (4.69) Интегрируя по переменной О, получаем одномерную плотность вероят- ности А Аз Рл(А) = ~ Р(А,О)НО=, Ехр( 2ае ) 0(А~со, (4,70) М(А) = ~ А рл (А) 41А = о Ф -гга = — ~ А'ехр~ — —,) дА = аз у, угн-, (4.71) Рис. 4.16, Распределение Рэлея г л " о„. 5 зак. ~зго 129 Обоснование пределов интеграла приводится в следующем пункте данного параграфа.
Распределение огибающей, характерпзуемое плотностью вероятности (4.70), называется р а с и р еде лен нем Р э л е я (рнс. 4.16). Максимальное значение функции Рл (А) получается прн А = а . Это означает, что А = ол является нанвероятнейшнм значением огибающей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
