Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986) (1095423), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Корреляционную функцию' в данном случае можно получить усреднением произведения х (!г) х ((а) по множеству без обращения к двумерной плотности вероятности 1см, общее выражение (4.8)1. Подставляя в (4.8) х (1,) х (у,) = соз (гве(, + О) соз (ыа!т + О) = '!, (соз ото (!т — !,) + соз! го, (!т + (а) + 201) а также учитывая, что первое слагаемое соз гое (!т — !т) является детерминированной величиной, а второе слагаемое при статистическом усреднении с помощью одномерной плотности вероятности рв (О) = !/2п 1см. (4.22)1 обращается в нуль, получаем )7х (!г !а) = М (х (!т) х (га)1 = lг соз отак.
[4.27) Такой же результат получается и прн усреднении произведения хк (!) хк (! + т) по времени для любой реализации процесса. Независимость среднего значения от (г и корреляционной функции от положения интервала т = !а — !т на оси времени позволяет считать рассматриваемый процесс стационарным.
Совпадение же результатов усреднения по множеству и времени (для любой реализации) указывает на эргодичность процесса. Аналогичным образом нетрудно показать, что гармоническое колебание со случайной амплитудой и случайной фазой образует стационарный, но не эргодический процесс (различные реализации обладают неодинаковой дисперсией). 3. ГАУССОВСКИЙ СЛУЧАЙИЪ|Й ПРОИЕСС Нормальный (гауссовский) закон распределения случайных величин чаще других встречается в природе.
Нормальный процесс особенно характерен для помех канала связи. Он очень удобен для анализа. Поэтому случайные процессы, распределение которых не слишком сильно отличается ог нормального, часто заменяют гауссовским процессом. Одномерная плотность вероятности нормального процесса определяется выражением (4. 28) р (х) — ехр В данном параграфе рассматривается стационарный и эргодический гауссовский процесс. Поэтому под т, и ав можно подразумевать соответственно постоянную составляющую и среднюю мощность флуктуационной составляющей одной (достаточно длительной) реализации случайного процесса.
Графики плотности вероятности при нормальном законе для некоторых значений ах изображены на рис, 4.7. Функция р (х) симметрична относительно среднего значения. Чем больше о„, тем меньше максимум, а кривая становится более пологой 1площадь под кривой р (х) равна единице при любых значениях а„!, Широкое распространение нормального закона распр деления в природе объясняется тем, что при суммировании достаточно бояа(ьшого числа независимых или слабо зависимых случайных величин распределение суммы близко к нормальному при любом распределении отдельных слагаемых.
Это положение, сформулированное в !90! г. А. М. Ляпуновым, получило н азвание центральной предельной теоремы. Наглядными физическими примерами случайного процесса с нормальным законом распределения являются шумы, обусловленные тепловым дви- г Коварнациониая функция рассматриваемого процесса совпадает с корреляционной функцией, так как М !х (г)1 = О. !!6 ча й 2 а -Юа ар Рис. 4.7.
Одномернаи плотность вероятности нормального распределе- ния Рис. 4.8. Случайные функнии с одинаковым распределением (нормальным), но с различными частотными спектрамн р (и х ~ Ь) ~ е " гаохг(х ( е ~ 1токс(» '1/2п он '1 )/2л оа 3 чго И Ыта га е ~ "с(х= )/2~ н„ "о 1 ., 1 е — и*уз г(г7 — — ( е — иы' агу = (4,29) Функция Ф(и) = ~ е — м1зс(у ! )/2 2о (4.301 называется интегралом вероятностей. В математических справочниках приводятся таблицы этой функции. !17 жением свободных электронов в проводниках электрической цепи илн дробовым эффектом в электронных приборах (см.
2 7.3). Не только шумы н помехи, но и полезные сигналы, являющиеся суммой большого числа независимых случайных элементарных сигналов, например гармонических колебаний со случайной фазой или амплитудой, часто можно трактовать как гауссовские случайные процессы. На основе функции р (х) можно найти относительное время пребыва. ния сигнала х (1) в определенном интервале уровней, отношение максималь ных значений к среднеквадратическому (пикфактор) и ряд других важных для практики параметров случайного сигнала.
Поясним это на примере одной из реализаций гауссовского процесса, изображенной на рис. 4.8, а для т, =- О. Эта функция времени соответствует шумовой помехе, энергетический спектр которой простирается от нулевой частоты до некоторой граничной частоты. Вероятность пребывания значения х (1) в интервале от а до Ь определяется выражением (4.!). Подставляя в это выражение (4.28), при тл =- 0 получаем Таблица 4.! Вероитность оребываиня в интсрвале Вероятность оребывання вне интервала Интервал янаяеиня 2 0,3413 — 0.6826 2 0,4772 =- 0,9544 2 0,49865 = 0,9973 0,317 -0,046 0,003 ( — ах, ах) ( — 2ох, 2ох) ( зон вот) Подставив в (4.29) Ь(о„-- 1, 2, 3 и соответственно а)пх = — 1, — 2, и — 3, нетрудно найти вероятности пребывания х (!) в полосах шириной20„, 4о„и 60„, симметричных относительно оси !.
В рассматриваемом частном случае ()а) = Ь) формулу (4.29) можно упростить на основании симметрии функции относительно оси ординат (рис. 4.7). Таким образом, о/о Р( — Ь(х(Ь)=-2 — ~- ! е — р*!рду=2Ф( — 1 о 4.3. СПЕКТРАЛЪНАЯ ПЛОТНОСТЪ МОЩНОСТИ СЛУЧАР(НОГО ПРОЦЕССА Подразумевая под случайным процессом множество (ансамбль) функции времени, необходимо иметь в виду, что функциям, имеющим различную форму, соответствуют различные спектральные характеристики.
Усреднение комплексной спектральной плотности, введенной в 9 2.6 или 2.1, по всем функциям приводит к нулевому спектру процесса (при М [х (!)) =- О) из-за 118 Результаты вычислений сведены в табл. 4.1. В последней графе приведены величины, равные 1 — 2Ф (Ь)ох). Из этой таблицы следует, что ширину шумовой дорожки (рис. 4.8, а) нормального шума можно приравнять (4 ... 5) и„. Если принимать во внимание пики функции к (!), вероятность которых не менее 1 %, то пикфактор шума (отношение пика к пх) можно оценить значением -3. Напомним, что для гармонического колебания пикфактор равен )т'2. Отношение времени пребывания х (!) в заданном интервале к общему времени наблюдения (достаточно большому для эффективного усреднения) можно трактовать как вероятность попадания х (!) в указанный интервал.
На такой трактовке основан принцип построения различных приборов, используемых для экспериментального нахождения одномерной плотности вероятности случайного процесса. Можно отметить, что приведенные выше данные о распределении вероятностей не дают никаких представлений о поведении функции х (() во времени.
На рис. 4.8, б показана реализация гауссовского процесса со спектром, сосредоточенным в узкой полосе частот с центральной частотой тио. По своей пло!ности вероятности )т (х) и, следовательно, по значениям т„ и и „этот процесс не отличается от низкочастотного, показанного на рис. 4.8, а. Для описания временных характеристик функции х (!) необходимо привлечь двумерную плотность вероятности, позволяющую найти ковариационную функцию (см. (4.7)1.
Другой способ — нахождение спектра мощности случайного процесса. Ои рассматривается в следующем параграфе. случайности и независимости фаз спектральных составляющих в различных реализациях. Можно, однако, ввести понятие спектральной плотности среднего квадрата случайной функции, поскольку значение среднего квадрата не зависит от соотношения фаз суммируемых гармоник. Если под случайной функцией х (1) подразумевается электрическое напряжение или ток, то средний квадрат этой функции можно рассматривать как среднюю мощность, выделяетлую в сопротивлении 1 Ом. Эта мощность распределена по частотам в некоторой полосе, зависящей от механизма образования случайного процесса, Спектральная плотность средней мощности представляет собой среднюю мощность, приходящуюся на 1 Гц при заданной частоте м.
Размерность функции В' (м), являющейся отношением мощности к полосе ч астот, есть [[ут(х)) —. ~ ~~ с 1: —..[Мощностьх время! [Энергия[, [ Полоса частот 1 Спектральную плотность случайного процесса можно найти, если известен механизм образования случайного процесса. Применительно к шумам, связанным с атомистической структурой материи и электричества, эта задача будет рассмотрена в 5 7.3.
Здесь же мы ограничимся несколькими определениями общего характера. Выделив из ансамбля какую-либо реализацию х„(2) и ограничив ее длительность конечным интервалом Т, можно применить к ней обычное преобразование Фурье и найти спектральную плотность Хат (оо). Тогда энергию рассматриваемого отрезка реализации можно вычислить с помощью формулы (2.66): т12 Эат;. ~ хаат (1) Й вЂ” — ~ ! Хат (м) [а Йо. (4.31) 2л — тта Разделив эту энергию на Т, получим среднюю мощность й-й реализации на отрезке Т вЂ” [х„( ) [а хаат И) Ноп 2л ~ Т (4.32) Г!ри увеличении Т энергия З,т возрастает, однако отношение З„т,'Т стремится к некоторому пределу. Совершив предельный переход Т вЂ” оо, получим х[(1! =- — ~ 1пп с . [Хат(м)[а с[от = — ~ [[т„(о>) иоп 2л О а, Т 2л где ! Хат [м) [а !!' л (ао) —.
1йп т Т (4,33) 119 представляет собой спектральную плотность средней хнлЧности рассматриваемой )т-й реализации. В общем случае величина Ж'а (от) должна быть усреднена по множеству реализаций. Ограничиваясь в данном случае рассмотрением стационарного и эргодического процесса, можно считать, что найденная усреднением по одной реализации функция %'л (то) характеризует весь процесс в целом.
Опу- ская индекс К получаем окончательное выражение для средней мощности случайного процесса х'Щ = — ( У'„(ы)йя, 2я где )Р„(аз) = |'пп ) — г — 1- . г Т (4.34) (4,35) где )р' (м) — сплошная часть спектра, соответствующая флуктуационной составляющей х, а 6 (ы) — дельта-функция.
При интегрировании по 7" = ю~2п первое слагаемое в правой части дает (х (г))~, т. е. мощность постоянной составляющей, а второе — мощность флуктуационной составляющей, т. е. дисперсию П„"- = — ! ))2 (м) Й» =о„'. 2я (4.36) Для процесса с нулевым средним х'р)=|7„= ~ ( %',,(м)йо= ~ Ф',(йп()сЧ, 2я (4.37) Из определения спектральной плотности (4.33) очевидно, что (Р„ (а) является четной и неотрицательной функцией ы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
