Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986) (1095423), страница 28
Текст из файла (страница 28)
4.4, СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТЪ|О И КОВАРИАЦИОННОЙ ФУНКЦИЕЙ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА С одной стороны, скорость изменения х (|) во времени определяет ширину спектра. С другой стороны, скорость изменения х (|) определяет ход ковариационной функции. Очевидно, что между )г'„(га) и К,„(т) имеется тесная связь. Теорема Винера — Хинчина утверждает, что К„(т) и )2'„.
(м) связаны между собой преобразованиями Фурье: )Р„(ы) =- ) К„(т) е.-а"'Нт, (4.38) (4.39) Если рассматривается случайный процесс с ненулевым средним значением х (|), то спектральную плотность следует представить в форме Рис. 4тп Широкополосный и узкополосный спектры случайного процесса (примеры 1, 2, 3); границы центральной полосы ~!ч с, б! гегг 1е У/ Для случайных процессов с нулевым средним аналогичные выражения имеют вид )уг (<о) ~' )з (т) е — пчтйт (4.38') Я (,) ' ~' )р (,о) с!нейсе 2п (4.39') ! )с„(т) = (й' — ~ е'"' с(аз= )Р' б ( ), (4.40) где 6 (т) — дельта-функция.
Для белого шума с бесконечным и равномерным спектром корреляционная функция равна нулю для всех значений т, кроме т = О, при котором )са (0) обращается в бесконечность. Подобный шум, имеющий игольчатую структуру с бесконечно тонкими случайными выбросами, иногда называют дельта-коррелированным процессом. Дисперсия белого шума бесконечно велика. Поясним применение приведенных выше соотношений на примерах. 1. Пусть заданы следующие параметры напряжения шума (гауссовский стационарный процесс с нулевым средним): среднеквадратическое значение исн =- 2 В и энергетический спектр (Рт (2п)), равномерный в полосе частот от — Д, до~! (сплошная линия на рис.
4.9), при ~, = 10 МГц. Шум с подобным спектром обычно называют широкополосным. В данном случае ))т, (2п)) =- иа„!2), =(2)з!2 10' ==- 2 10-' Вз!Гц. Корреляционная функция рассматриваемого процесса [см. (4.39)) 1 о ы 24! (т) = 2 Г ~',(о!) е!"т йоз.==: 2 5 )Р~(цт) созозт йьз = 2п 2п н~ — Э~ ! 2 Мп гоз т 51п сот т 51п ыз т =- 2 10 ' — = 2 1О-' 2~, = о', 2п т т оз,т ' со г (4.41) 12! Из этих выражений вытекает свойство, аналогичное свойствам преобразований Фурье, установленным в гл. 2 для детерминированных сигналов: чем шире спектр случайного процесса, тем меньше интервал корреляции, и соответственно чем больше интервал корреляции, тем уже спектр процесса.
Большой интерес представляет белый шум, когда спектр равномерен на всех частотах — со ' оз ~ оо. Если в выражение (4.39) подставить )Р'а (оз) = К'о = сопз1, то получим (см. (2.93)] Дисперсия шума Р, =-,'„- — 1(д(0) = — 4В'. Нормированная корреляционная функция (рис. 4.10, а) гд(т) =)дд(т)/о( .=.-51пвдт/в т. о (4.42) 2. Вырежем из спектра исходного шума полосу от / = — г"д до /' = г"„ обозначенную на рис.
4.9 штриховкой, и найдем /со (т), га (т) и Р,, соответствующие этому ограниченному по полосе шуму. При г"д = 2 Мрц Р, =--.2г"д ((/д(в) = 2 2 10'.2 1Π— ' =0,8Во, а(пЯд т а(п()от Йа (т) = 2. 1Π— '2/тд = 0,8 г, (т) = йод (т)/од = (гйп Йд т)/Йд т. Сужение спектра привело к растяжению графика г, (т) по оси т (рис. 4.10, а). Интервал корреляции увеличился в /д/гд = 5 раз. 3.
Найдем аналогичные характеристики для шума, спектр которого обозначен на рис. 4.9 двойной штриховкой. От предыдущего этот случай отличается положением спектральной полосы на оси частот. Шум с подобным спектром называют узкополосным (при 11(/во с5 1). Дисперсия этого шума Р„очевидно, не отличается от Р,. Корреляционная функция — (но — й /дд 1 а,+й,/д /(а (т) =- — ( )Г/д(в) е(мт ((в+ — ) (!/д (в) е/мт ((од = 2л — (но+аз /2> и,— й~/ йл 2 ! мо+й~/2 — 1(/д (од) соз вт ((в = ао — й,/2 =210 ' 1 Гпп(ото+ Яд/2) т а1п (во — д)д/2) т! л т т =-2 1Π— ' — 25йп ' соз(о,т=2 10 ' 2Е' созв,т. (4.43) 1 . !! г о Мп (),т/2 лт 2 и,т/2 Рис.
4.10. Нормированная кор. реляционная функция случайного процесса со спектром, равномерным в полосе: «) !м(< и, и (ы! <йо 61 и*— — й/д < (и! < м тй/д !22 Нормированная корреляционная функция (рис 4.10, б) х иге) гз (т) = ' соз гпат. (4.44) Й,т(2 Огибающая функции г, (т) (штрихо- р вая линия) по форме подобна огибаю- т щей функции гз (т), однако эта функция имеет вдвое большую протяженность. Высокочастотное заполнение функции г, (т) имеет частоту гоа, равную центральной частоте спектра шума (см, рис,4 9), рнс.
411. Прнмерный внд реализации ] рафик нормированной корреля слУчайного пРоцесса, коррелнцвоннаЯ функцня которого показана на ционной функции, показанный на рнс. 4.)О, б (масгптабы по осям 1 н г рис. 4.10, б, позволяет составить пред- разные) ставление о характере шумового колебания с узкополосным спектром. Осцилляции корреляционной функции с частотой соа указывают на то, что и мгновенное значение шумового колебания изменяется в среднем с частотой оза. Напомним, что корреляционная функция гармонического колебания является также гармонической функцией той же частоты (см. 2 2,18). Изменение же огибающей корреляционной з ]пРгт/2 функции по закону ' указывает на то, что огибающая шумового ьагт/2 колебания, являющаяся случайной величиной, изменяется во времени относительно медленно, подобно функции времени, спектр которой ограничен наивысшей частотой ь)ы Примерный вид шумового колебания, соответствующего корреляционной функции (4.44), представлен на рис.
4.11 (в измененном масштабе времени). Итак, шумовое колебание с узкополосным спектром следует представлять высокочастотным колебанием с медленно (по сравнению с частотой оза) изменяющимися амплитудой и фазой: (4.45) где гоа — центральная частота спектра шума, Следует подчеркнуть, что все параметры этого колебания: амплитуда, фаза и частота — являются случайными функциями времени. Статистические характеристики этих параметров рассматриваются в 2 4.6. 4.5.
ВЗАИМНАЯ КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ И ВЗАИМНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ ДВУХ СЛУЧАР]НЫХ ПРОЦЕССОВ В данном параграфе рассматриваются стационарные процессы с нулевым средним, поэтому связь между процессами х (1) и у (1) оценивается с помощью взаимной корреляционной функции, определяемой выражениями' ]тая(т) =М]х(1)у((+т)], )свл(т) =М]у(1)х((+т)]. (4.46) г Подразумевается, что не только сами процессы л (1) н у (1), но н связи между ними стацнонарны. 123 Кроме того, имеются в виду эргодическпе процессы, поэтому вместо (4.46) можно применять временнбе усреднение: 1 т1р )схр(т) =х(1) 9(Г+т) =1!ш —, ~ х(1) у(!+т) (1, (4.47) г — г!р ! т~р Я ух (т) = у (1) х (г+ т) =-:11гп —.
~ у (1) х (! + т) й. (4. 48) т Как и для детерминированных колебаний, взаимная корреляционная функция не изменяется, если сдвиг на т одной из функций х (г) или у (!) заменить сдвигом в обратном направлении другой функции. Поэтому можно написать следующие равенства; )с„р(т) =х(1)у(1+т) =х(! — т) у(1), (4.49) Йр„(т) =у(1) х(! — т) = у(à — т) х(Г). (4. 50) Из последних выражений вытекают следующие соотношения между )схр (т) и )т„(т), аналогичные выражениям (2.135) и (2.!35'): йху (т) ~ух ( т) ° )ррх (т) — )~ху ( т) (4.51) Соотношения (4.49) — (4.51) не следует смешивать с условиями четности функций. Каждая из функций )с„р (т) и )су„(т) не обязательно четна относительно т (см.
3 2,18). В итоге корреляция между значениями функций х (1) и у ф в два различных момента времени, разделенных интервалом т, задается корреляционной матрицей ~)~хх(т) )~ху (т)1 ~~р.(т) ~рр(т)! (4 52) где рс'х„(т) и )т у (т) — корреляционные функции соответственно процессов х (1) и у (1).
Пусть, например, рассматривается сумма двух эргодических процессов х (1) и у (1) с нулевыми средними (х = у = 0) и требуется определить корреляционную функцию случайного процесса р (р) = х (1) + у (г) (при условии, что взаимные корреляционные функции стационарны). Используя формулу (4.16) и учитывая равенства (4.47), (4.48), олучаем !с,(т) =р(г)з(г+т) =(х(1)+у(1)11х(г+т)+р (г+т)1= =х(~) х(1+т)+х~Е) у (Г+т) +у (Г)х (Г+т) +у (1) у(1+т) = )Р (т) + й у 1т) + 1РУ (т) + 1уур (г) При т =0 )с„„(0) =о,* н )трр(0) =ор', а )р„р(0) =)ту„(0). Следовательно, Р,=й,(0) =Р~+Рр+Мху(0)+верх(0) =Рх+Ру+2йхр(0).
(4.53) (4.53') Если процессы х (1) и у (1) статистически независимы, то дисперсия (средняя мощность) суммы будет Р, = Рх + Ру. В противном случае в зависимости от знака )т„р (0) мощность процесса э (1) может быть больше или меньше суммы дисперсий Р, и Ру.
Для разности р (р) = х (1) — у (1) получается выражение, аналогичное (4.53). Необходимо лишь знак плюс перед членом 2)с хр заменить минусом. При независимости процессов х (!) и у (!) дисперсия процесса а (г), как и при суммировании, будет П,=П„+П„. (4. 54) Применим теперь к Я, (т) соотношение Винера — Хинчина (4.38): [Р', (сэ) = ~ 1с, (т) е-'"' пт = [г'„(м) + [Р„(м) + [Р,„(еэ) + У'„„(м). (4 55) В этом выражении Ит„а(м)= ~ И„т(т)е-' йт, Ю'э„(м)= ~' я„„(т)е-'"'Йт (4.56) имеют смысл взаимных спектральных плотностей случайных процессов х (!) и у (!).
В отличие от спектральных плотностей %'„(в) или [Р'„(м), которые являются действительными функциями ы и не могут принимать отрицательные значения, взаимные спектральные плотности [р„„(м) и [г'„„(м) могут быть комплексными функциями. Это связано с тем, что функции йх„(т) и )с„„(т) не обязательно четные относительно т, Подстановка в (4.56) соотношения (4.51) приводит к равенству [р т (м) =)г тх (м) (4.57) откуда следует, что [Р„„(м) + [У'„„(м) = 2Ке[Ю„„(м)[ = 2Ке [[у„„(м)], Таким образом, выражение (4.55) можно записать в форме Ю", (ы) = 1Г„(еэ) + [Рэ (ел) + 2Ке [ [У'„„!а) [.
(4.58) (4.59) 125 31о выражение поясняет физический смысл взаимной спектральной плотности [Р„т (ы). Если случайные процессы х (1) и у (г) статистически независимы, то [р'„„(а) = 0 и спектр суммы з (Г) = х (1) + у (() равен сумме спектров [г', (<о) и [Рт (м) и, следовательно, мощность процесса з (1) равна сумме мощностей процессов х (!) н у (!).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
