Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (4-е издание, 1986) (1095423), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Среднее же значение (математнческое ожидание) огибающей Рис. 4,17, Ширина шумовой дорожки для узкополосного нормального шума при веро- ятности превышения границ около 1ть Аналогично средний квадрат огибающей М[А'[=) А'р (А)а!А = в Аз = — [ А'ехр ~ —,, ~ г(А =2а,'. в (4.72) Этот результат совпадает с (4.65).
Таким образом, средняя мощность огибающей равна удвоенной дисперсии шума. Это аналогично соотношению между квадратом амплитуды Ав и средней мощностью гармонического колебания а (г) = А, соз ша(, равной а' (г) = ЧтАй. Вероятность того, что огибающая А (!) превысит некоторый заданный уровень С, определяется формулой Р (А С) = ~ рд (А) г(А = 5 — ~ А ехр( — —,) г(А =..ехр~ — —,). с (4,73) а вероятность того, что огибающая А (!) будет ниже уровня С, — формулой Р (А ( С) .= ! — ехр ( — - СЯ!2аз).
(4.?4) (4.75) 130 Из этих формул видно, что уже при С = Зо, вероятность превышения уровня С составляет всего лишь около ! йо. Поэтому можно считать, что ширина шумовой дорожки, фактически наблюдаемой, например, иа экране осциллографа (рис. 4.!7), не превышает (5 ... 6) оя. Этот результат, естественно, близок к данным, приведенным в з 4.2 для шумовой дорожкк широкополосного гауссовского процесса (со спектром, примыкающим к нулевой частоте).
Ковариационная функция огибающей узкополосного нормального шума [[3[ определяется по формуле, которую приводим без вывода: Здесь г, (т) представляет собой огибающую нормированной корреляционной функции шума х (1), т. е. функции, определяемой выражением (при х=-0) Г„(т) = й»о (т)»а» — — Го (т) соз ооот (4. 76) Так как г, ( 1, то ряд (4.75) быстро сходится. Поэтому можно ограничиться первыми двумя членами: Кл (т) ла 1 + — гб(т)!. 2 ~ 4 (4.77) Применяя к Кл (т) преобразование Фурье !см. (4.38)1, находим спектральную плотность мощности огибающей о )1»л (1)) =. "2" 2лб(11) + л2 " — ~ г~о (т) е-'о' Ыт.
4 Из выражения (4.78) видно, что спектр огибающей примыкает к нулевой частоте. Первое слагаемое в правой части (4.78) соответствует постоянной составляющей огибающей, а второе — сплошной части спектра. Примеры применения формул (4.75) — (4.78) приводятся в 211.3 — 11.5. 2.
ФАЗА Интегрирование двумерной плотности вероятности р (А, 0), определяемой выражением (4.69), по переменной А дает одномерную плотность вероятности фазы Ао ро(О)= — о ~ Аехр( - — —,) с(А =- 2ла» 2а» о — ~ — ехр ( —, ~ й (А') = —, — л с' О ( л. 2лао 2 (,, 2а» 2л (4.79) Этот результат согласуется с пределами интегрирования в (4,70). Заметим, что из представления р (А, 0) !см. (4.69) ! в виде произведения А ' А' л (А, О) = —,, ехр ! — -, ) 2ла»» » 2а, =[ — оехр( — — о)1~ — 1=рл (А) ро(0) с»»о (т) — г (т) Ь го» (т) .', — го (т) + (4.80) о 13! непосредственно вытекает статистическая независимость случайных величин А и О.
Как и в отношении А, (1) и А, (1), это справедливо при отсчете А (1) и 0 (1) в один и тот же момент времени !см. замечание к (4.67)1, Соотношения (4.70) и (4.79) позволяют сделать следующее общее заключение: произведение вида х = А соз О, в котором А и 0 — независимые случайные величины, причем А распределена по Рэлею, а О равновероятна в интервале ( — л, л), обладает нормальной плотностью вероятности. Условие узкополосности процесса х (1) не обязательно; необходимо лишь, чтобы А н О были связаны соотношениями (4.63).
Корреляционная функция фазы О (1) определяется выражением !13! При т = 0 ряд сходится к пз(3, т. е. дисперсия фазы равна нз/3. Действительно, прн распределении (4.79) Рв 'ж ~ О'ра (0) дО = — ( — ) (4.81) 2п ( 3, 3 3. ЧАСТОТА Основываясь на выражении (4.60), мгновенную частоту шума можно записать в форме о)() =о)в + =о)э+0(() )(ф (г) 2(0 ()1 2(Г )(( откуда видна, что закон распределения мгновенной частоты определяется расп еделен нем производной фазы 0 . риведем без вывода 1 ! 4 ) выражение для плотности вероятности сл учайной величины О р)э) =[22 [) .).— (4.82) (Йоэк) . где Ло),„— эквивалентная ширина спектра узкополосного процесса, определяемая выражением (~.'«~эк)* =- ~'(о~-~~о)' )р (о)) (ы ( ~ )р (ы) (г' (4.83) 'о в Последнее выражение эквивалентно формуле )('гэ (т) 2(тк 12=о где г, (т) — огибающая нормированной корреляционной функции процесса, обладающего спектром (Р' (о)) !симметричным относительно центральной частоты нэ).
График функции р (0) изображен на рис. 4.18. Среднее значение абсолютной величины [О[ равно Лго,„. Рассмотрим в качестве примера случай, когда энергетический спектр У' (в)) равномерен в полосе частот -Етого при центральной частоте «)э. Нормированная корреляционная функция в соответствии с выражением (4.44) г„(т)= созе)эт, а г,(т) = з)п Ло)эг з)п Лэ)эт 2)ко эт Аэ)эт Дважды дифференцируя последнее выражение по т, находим го (т) = )'У.) = (Ло),) — у' Мну — 2уэ сок у+2у Мп у ук При т — «О и у -«.0 получаем го (0) = — — (Лгоэ)2, (4.83') 3 Ого,а =-)à — го(0) = Л)оэ/)2г 3 .
(4.83") 2 т а ( 2 глгкэк Итак, для шума со спектром, РавномеРным в полосе ( — Лги„Лгоэ) Рис. 4.(3. Плотность веуоитности (см. рис, 4.9) среднее значение (О! производной фазы гауссовского случайного пропесса равно Лгоэ)')г 3, (32 4.7. КОМПЛЕКСНЫЙ СЛУь(АР(НЫР( ПРОЦЕСС Пусть задан действительный стационарный случайный процесс х (() со спектром )р'„(<о). В теории случайных процессов доказывается, что если х (() дифференцируем в среднеквадратическом смысле так, что выполняется условие (' <оЧ<у„(<о) й<о -' оо, то к х (г) можно применить интегральное преобразование х<(1) = — — ~ йт, 1 е х(т) и <†< причем интеграл также понимается в среднеквадратическом смысле.
Определенный таким образом случайный (стационарный) процесс х, (<) по отношению к х (1) является сопряженным (по Гильберту), а процесс г (1) = х (<) + <х, (1) (4. 84) является- кдйплексным случайным процессом. Применение понятия комплексного случайного процесса особенно полезно при рассмотрении узкополосных процессов. Если х (1) можно представить в виде х (1) = А (<) соз (<оеу+ 0 (()1, где А (() и 8 (г) — случайные функции, то, как и для детерминированного аналитического сигнала ( . 43.10), х,(т) А (т)з)п(ы,(+ Е(т)) и г (1) А (<) Е< <н*< 4-О «11 (4.85) Поясним физический смысл этого понятия на модели (рис. 4.!9), аналогичной использованной в гл.
3 модели формирования детерминированного аналитического сигнала (см. рис. 3.29). Пусть узкополосный стационарный шум со спектром )Р'„(<о) поступает на выход по двум каналам: прямому и через фазосдвигающее звено с характеристикой <р (<о) = — 90' (в полосе шума). Различие между процессами х (1) и х, (<) обусловлено лишь влиянием фазосдвигающего звена. Амплитудно- частотная характеристика этого звена равна единице, следовательно, спектры мощности процессов х(<) и х, (<) одинаковы: ))рх<(<о) = )Рх(о<).
То же относится к корреляционным функциям )< (т) =Й„,(т) = — ~ Ю'х(<о)е"" й<о 1 и к дисперсиям о„' = о„', = й х (О) = — ~ Ю'х (<о) йон (Имеются в виду процессы с нулевым средним.) Найдем теперь спектральную и корреляционную функции совокупности процессов х (() и х, (г). С этой целью выделим одну из реализаций процесса х (() и обозначим через Х,г (<о) спектральную плотность отрезка й-й реализации с конечной хЮ гЖ-х<г1+<а<йд Рнс. 4.! Э. Формирование случайного аналнтнчесного процесса я<(т< !33 можно определить спектральную плотность отрезка гят (г) следующим образом: при го) 0 Хот(о1) =Хот(~о)+(1 — (Хот(оо)1=2Хот(ы); при о<0 Тот (ы)= Хот (го) +1!(Хит (оо)1 =О. На основании этих равенств можно утверждать, что х„т (г) является по отношению к х,т (г) функцией, сопряженной по Гильберту (см, э 3.9) и, следовательно, при определении спектра и корреляционной функции ана- литического случайного процесса (4.84) исходить из выражений, аналогич- ных (3.87) и (3.95), выведенных в 9 3.
!О для детерминированного аналитиче- ского сигнала Переходя в выражении (3.87) от спектральной плотности 8о (оо) колеба- ния (напряжение, ток) к спектральной плотности йтя (в)средней мощности исходного колебания х ((), получаем )Р, ро) = (4%'я(<о) при (о) О, (4.86) !О при ооо(0. Применяя теорему Винера — Хннчина (см. (4.39) 1, находим корреляционную функцию аналитического случайного процесса й,(т) = — ~ 4)р„(о>) е'"" йго =-4 — ~ Ф'я(ь) соз~отаго+ 1 о о ! я-(4 — ! Рия(оо) з(пеотгйо. 2Л о (4.87) Это выражение совершенно аналогично выражению (3.95).
Как и для детерминированного аналитического сигнала, Я, (т) — комплексная корреляционная функция. Действительная часть этой функии совпадает с удвоенной корреляционной функцией исходного процесса х ((), т. е. с 2)7„(т), а мнимая часть учитывает взаимную корреляцию процессов х (т) и х, (г).
Комплексный характер корреляционной функции Я, (т) обусловлен тем, что спектр (Р', (т) несимметричен относительно оси в = О, т. е. существует только в области го ) О. При т =- 0 мнимая часть в соотношении (4.87) обращается в нуль, что означает некоррелированность процессов х (г) и х, (г) в один и тот же момент й По аналогии с выражениями (3.96) можно написать й, (т) =- 2)7, (т) -г(2)7„,,(ть (4.88) где ! Кк,к (т) — — 2 — ~ Ю'я но) тйп <от йт. о (4.89) 134 длительностью Т (см.
9 4.3). Этот же отрезок й-й реализации на выходе канала со звеном ~р (го) = — 90' будет иметь спектральную плотность Х,дт (о) = = — Х„т (оо) е'Ф("'>= — (Хдт (го) прн в) 0 и +(Ххт (оо) при ы О. Рассматривая совокупность отрезков х,т (г) и х,„т (г) как сумму кеадритурных колебаний го т (() = хх т (() + (х ыт ((), Характер взаимной корреляционной функции )с„,„(т) определяется формой энергетического спектра пропесса (р' (м).
При т = 0 /с„„„(0) = 0 и, следовательно, средняя мощность аналити- ческого случайного процесса О, = а,' = /(, (О) = 2й, (О) = 20„. (4.90) Очевидно также. что средние мощности процессов х (1) и х, (1) одинако- вы: О„= О„,. Проиллюстрируем свойства корреляционной функции )с„,„(т), входя- щей в выражение (4.88), на примере, когда исходный узкополосный анали- тический процесс х (1) обладает спектром прямоугольной формы при централь- ной частоте <э, и полосе й, (( м,. Подобный спектр показан на рис. 4.9 (двойная штриховка).
Приравнивая в (4.89) Ю,, (м) =- )Р, (м) и интегрируя в пределах от ы„— (),/2 до ю„-!- йь/2 получаем /с, (т)=2 ' ' ' з(пь,т=0„' з(пм,т. !г~ г!, мп (и, т/2) . яп (г!,т/2! 2я п„ц2 .. '~ 0, т/З Здесь через Т1,. =- Ж',2Р, обозначена дисперсия исходного процесса х (1). В данном примере огибающая з(п (й,т/2)/((з,т/2) взаимной корреляцион- ной функции )с,з, (т) совпадает с огибающей корреляционной функции /т, (т) (см. (4.44)). Различие между двумя этими функциями заключается в фазах высокочастотного заполнения (соз иэт в /с, (т) и ейп о,т в /с „„(т)). При т = 0 )с„.,„(т) = 0 — процессы х, (1) и х (1) в один и тот же мо- мент времени некоррелированны. Однако при ы„т = и/2 т =и/2м, = (/41„— — функция /(.т,. (т) =- (/41,— О„з(пс ! — — ').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
