Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000) (1095420), страница 65
Текст из файла (страница 65)
При х > 0 обратная функция имеет вид х = у/а и, таким образом, ( йх/йу( = 1/) а(. Поэтому нэ / у' ( Рь ь(у) = ~хр( 2 г )/2яо )а( 2а о„ у/с/ при у > О. Любому отрицательному значению х соответствует единственное значение у = О. Чтобы обеспечить нормировку плотности вероятности на выходе, следует считатгч что плотность вероятности р,„„(у) при у = 0 имеет дельта-особенность с коэффициентом, равным !/2: 0 при у<0, — б(у) ч- ехр~ — з, ) при у> О.
(гс2яо,(а( (с 2азоз,г Принпипиально важно, что, подав на вход нелинейной системы гауссов сигнал, мы наблюдаем на выходе случайный процесс негауссового вида. Мгновенные значения выходного сигнала неотрицательны; в среднем с вероятностью 0.5 сигнал на выходе равен нулю. Применив обратную функцию х = р(у), получим = й Ос! ) ха = Х (Уз) ° ° х = Х (У ).
(11.67) Тогда многомерная плотность вероятности на выходе Р иь (Ус Уз. ° ° Уь) = Рьз (л (Уз) л (Уз) л (У )л ()з ( ( оо) где .0 — якобиан преобразования (11.66). Формула (11.68) решает поставленную задачу в самом общем виде. Среднее значение сигнала на выходе нелинейной системы. Простейшая статистическая характеристика стационарного случайного процесса — его среднее значение, получающееся путем усреднения по ансамблю реализаций или, если процесс эргодический, по одной достаточно протяженной реализации. Чтобы вычислить среднее значение сигнала после нелинейного безынерционного преобразования, нужно располагать одномерной плотностью вероятности Р,„„(у). На Если обратная функция много- значна, следует просуммировать вклады в якобнан от всех ветвей этой функции Глава 11. Преобразования сигналов в нелинейных цепях 302 основании принципа усреднения (см.
гл. 6) У=т,= ) ур..(у)с()ч (11.69) Таким образом, данная задача сводится к квадратуре. С равным успехом можно найти среднее значение преобразованного сигнала, усреднив функцию )'(х) с помощью одномерной плотности вероятности входного сигнала: у = ( у(х)рт(х)с(х. и (11.70) Пример 11.7. Найти среднее значение выходного сигнала для системы, описанной в нримере 1!лх По формуле (11.70) у — ~ х ехр( — — з) дх = ао„ф 2я = 0399ао . )гг2яо " .~ 2оз о Отсюда следует возмохгность измерять дисперсию стационарных гауссовых процессов с помощью нелинейного преобразователя н каскадно включенной линейной инерционной цепи, выполняющей операцию усреднения по времени. Вычисление функции корреляции выходного снпеала.
В соответствии с общим правилом функция корреляции сигнала у(г) на выходе безынерционного нелинейного преобразо- вателя Я,(т) = у(г) у(г + т) — (у)— и ('(х) 1'(х,) р,„(х, х„т) бх е(х, — 1) (х)1з. (11.71) Для того чтобы можно было воспользоваться формулой (11.71), необходимо располагать функцией р,„(х, х„т)— двумерной плотностью вероятности входного сигнала для двух сечений, разделенных промежутком времени т. Вычисления по формуле (11.71) могут оказаться весьма сложными. Окончательный результат в более или менее обозримом виде удается получить лишь для нормального процесса на входе, когда где г„(т) — коэффициент корреляции сигнала на входе. 11,7. Воэлепствие случаяных сигналов на нелннеаные цепи Выполнив замены переменных х х, о„(гс2 (1 — г',) о„)/2 (1 — гг) где А решите задачи б н 7 Нелинейные преобразования узкополосных случайных процессов.
Предположим, что входной сигнал нелинейного безынерционного преобразователя является узкополосным случайным процессом с гауссовым законом распределения. Его реализации имеют вид квазигармоническнх случайных колебаний с центральной частотой во. Функция корреляции входного сигнала Яь(т) = о',г„(т) = о'„р(т) соз вот. (11.76) Найдем функцию корреляции выходного сигнала применительно к конкретному виду нелинейного элемента с Интеграл У проще всего вычислитьэ перейдя к полярным координатам: г, = рсоа гр, г,„= = ряп гр Пример 11йн Вычислить функцию корреляции выходного сигнала применительно х условиям, сформулированным в примере !!.б. Основная трудность заключается в нахождении ковариацнонного момента запишем среднее значение произведения: (2/х) агог (1 гг)згз! 2 []ьб ехр( рг !г +2г Ц)бу,бр оо Опуская несложные, но громоздкие выквадки, приведем ре- зультат: л = )ь(1 — г„) ~~[(с! — гг + г„атосов( — г„)] омл э во Отсюда, используя формулу (11.71)ьэьнаходим функцию корре- ляпви выхолного сигнала: ы! а'о', Я (т) = — *[)I! — гг + г„агссоь(-г„); 1], 2я Поскольку прн т = 0 величина г„(0) = 1, дисперсия сигнала на выходе ог = В (О) = агоь (я — 1))(2л) = О.54!ага~.
(11.74) Поэтому коэффициент корреляции случайного процесса на выходе безынерционного нелинейного преобразователя с кусочно-линейной характеристикой описывается формулой 1 гь(т) = — [)' 1 — г + г„ягссов( г ) 1]. (11.75) я — 1 Можно видеть, что при больших сдвигах т коэффициент корреляции выходного сигнала стремится к нулю.
Глава 11. Преобразования сигналов в нелинейных цепях 304 кусочно-линейной характеристикой, который изучался в предыдущих примерах. Непосредственная подстановка г, из (11.76) в (11.75), хотя и приводит к требуемому результату, но такой путь лишен наглядности. Целесообразно не- сколько преобразовать выражение (11,75), разложив его правую часть в бесконечный ряд по степеням величины г„(г). Для этого воспользуемся тем, что =и г агссоз(-г ) = — + г + — + ..., к=2*б г — г„ '(г 1 — г„= 1 — — — —— 2 8 Поэтому г„(т) = — у'„(т) + '/ггг(т) + '/ггг„(т) + .... (11.77) Воспользовавшись формулой (11.7б), находим, что Г г„(т) = — — р(т)созегст+ и — 1~ 2 + '/ р'(т)соз'еьгт+ '/ггр (т)сов~агат+ ....
(11.78) Поскольку соз еэет = '/г + '/г сов 2егст созг егот = '/з + '/г соз 2егот + '/з соз 4геет из (11.78) следует, что г„(т) - 0 117 р' (т) + 0 007 р' (т) + 0 73 3 р ( ) сов егст + + ~0117рг(т) + 001р4(т)~соз2егст+ 0002р4(т)соз4егст. (11.79) О ес О его гас 4св бсгс Интенсявности высокочастотных спектральных составляющих, как правило, быстро уменьшаются с ростом их номера Отсюда с помощью теоремы Винера — Ханчина можно установить вид спектра мощности гг(ег) выходного случайного процесса. Оказывается, что спектр колебаний на выходе нелинейного преобразователя Разбивается на бесконечную сумму составляющих, каждая из которых отображает индивидуальный узкополосный случайный процесс.
Максимумы спектральных плотностей мощности этих составляющих наблюдаются на частотах ог„2егс, 4егс,... Помимо этого в спектре выходного сигнала возникает низкочастотная составляющая в окрестности нулевой частоты, которую можно рассматривать как результат амплитудного детектирования входного сигнала. Интересно отметить, что в данном случае спектр выходного сигнала не содержит составляющих с частотами Загс, 5ег„... Безусловно, что «ри других видах характеристики нелинейного элемента можно ожидать появления всех без исключения гармоник центральной частоты входного случайного колебания.
305 Результаты Результаты Ф<> Для агтроксимации реальных вольт-имперных характеристик безынерционных нелинейных двухполюсников используют раэличиые функции простого види. Наиболее распространены кусочно-линейная, степенная и показательнач (эксяоненциальная) аппроксимации. Ф<> Ток в нелинейном безынерционном двухяолюснике при гармоническом внешнем воздействии содержит в общем случае постоянную составляющую и бесконечное число гармоник — колебаний с частотами, кратными частоте входного сигнала. гзгз Напряжение на выходе резонансного усилителя, работающего в нелинейном режиме, синусоидально из-за частотно-избирательных свойств контура, несмотря на негармонический характер токи, протекающего через колебательный контур. Ф<-> При большой амплитуде входного сигнала в резонансном усилителе возникает перенапряженный режим.
Воздействие на нелинейный элемент суммы гармонических сигналов с различными частотами приводит к возникновению на выходе колебаний с комбинационными частотами. ~>гз Фильтрация соответствующих комбинационных колебаний позволяет осуществить амплитудную модуляцию, а также детектирование АМ-сигнала. При безынерционном нелинейном преобразовании гауссова случайного процесса возникает случайный процесс с негауссовой плотностью вероятности. <>Ф Для того чтобы вычислить . функцию корреляции случайного процесса на выходе нелинейного преобразования, необходимо знать двумерную плотность вероятности входного сигнала.
Вопросы Задачи 1. Вольт-амперная характеристика нелинейного двухполюсника имеет вид Пи) = = 1Ои', мА. Какова аналитическая запись этой характеристики в окрестности рабочей точки Уе = 2 В? 2. Резонансный усилитель гармонических колебаний создан по схеме, приведенной на рис. 11.6. Характеристика транзистора (мА) аппроксимирована отрезками двух прямых: 50(иьэ — 0.2), икэ ы 0.2 В, О, икэ < 02 В.
Сопротивление колебательного контура при резонансе йвп = 0.8 кОм. Напряжение источника питания Е„ю = 9 В. Рабочая точка совпадает с точкой излома характеристики. 1. При каком условии нелинейное цреобразование сигнала можно считать безынерционным? 2. Можно ли так выбрать положение рабочей точки на ВАХ нелинейного двухполюсника, что в составе тока будут отсутствовать гармоники нечетных номеров? 3. Иэ каких соображений выбирают угол отсечки тока в резонансном усилителе, работающем прн больших уровнях входного сигнала? 4. Каков физический принцип работы нелинейного умножителя частоты? Почему трудно добиться высокой кратности умножения? 5. Из каких соображений выбирают параметры нагрузки детектора АМ-колебаний? б.
В чем состоит отличие между линейным и квадратичным детектированием? 7. Чем определяется угол отсечки тока в диодном детекторе? 8. На чем основан принцип детектирования ЧМ- и ФМ-сигналов? 9. Как вычисляются одномерная н многомерные плотности вероятности случайного процесса после нелинейного безынерционного преобразования? 1О. Чем характеризуется нелинейное преобразование узкополосных случайных процессов? 30б Глава 11.
Преобразования сигналов в. нелинейных цепях виде балансного Д При какой амплитуде входного сигнала в усилителе возникает перенапряженный режим? 3. Нелинейный безынерционный элемент имеет вольт-амперную характеристику вида ! (и) = ае + а,и ч- лзпч. К элементу приложено напряжение и(г) = (/ы созе!,г+(Г зсозызг. Найдите амплитуды и частоты всех комбинационных составляющих тока.
4. К нелинейному резистору с характеристикой вида !(и) = 25п+ 4и', мА, приложено напряжение и = 5+ 2созйг+1.5созсзег, В. Найдите амплитуду несущего колебания и глубину модуляции тока. 5. В днодном детекторе применен полупроводниковый диодскрутизной Я = !0 мА/В, сопротивление резистора нагрузки' йч = = 20 кОм. На вхол детектора подано напряжение АМ-сигнала и(г) = 5(! ж + Обсозйг)созыв!, В. Найдите амплитуду сигнала низкой частоты П, выделяемого на нагрузке детектора. У к аз ание. Прн накожденин коэффициента детектирования воспользуйтесь юм, что для выбранных параметров схемы безразмерное произведение 58„ » 1.
Более сложные задания 8. Исследуйте свободные колебания в нелинейной системе, представляющей собой параллельный колебательный ВС-контур, зашунтированный диодом. Характеристика циода задана в л < (гн 5(и — И„), и > (Гч. 9. Проанализируйте работу модулятора: б. Нелинейное устройство представляет собой ограничитель, характеристика у(х) которого имеет внд На входе устройства действует стационарный гауссов случайный процесс Х(г) с нулевым математическим ожиданием и лисперсией оз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
