Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987) (1095414), страница 24
Текст из файла (страница 24)
рис. 3.16, а) показаны на рис. 3,17, а, Для второго делителя напряжения (см. рис. 3.16, б) из второго равенства (3.73) аналогично получаем к( (= '(4 .(- 'с'а'. 0( (- — «(т са; (3.(7( Частотная и фазовая характеристики (3.77) показаны на рис. 3.17, б. Из формул (3.74) и (3.73) видно, что характеристики на рис.
3.17 относятся и к передаточным функциям по току для делителя тока (см. рис. 3.16, в). Входное сопротивление делителя напряжения (см. рис, 3. 16, а, б) Я = лет = И + 1/)(оС = (1 + !ьтСИ)/)(оС,. ' (3.?8) ' откуда полное сопротивление г( (= ( т(,(( = таа'.(. угс' г/Гг то кв а) г !/ (т Рнс, 3.! 7. Частотные н (ра. аовые характернстнкн ЯС. цепей !от т(е са( с, (3.79( а фаза (аргумент) сопротивления тр((о) = ага 2(ы) = ага(И вЂ” !/ыС) = = - агс 1я (1/п(СИ), (3.80) или согласно последнему равенству (3.78) (р((о) = ага(1 + !ц(СИ) — ага(!атС) = = а гс 1а соСИ вЂ” я/2. (3.81) Графики частотных функций (3.79) — (3.81) показаны на рис. 3.18, а. Входная проводимость делителя тока (см. рис.
3.16, в) У= УЕХ= а+!»С=(!+)ВмСИ)/И, (3.82) откуда полная проводимость г~ > = ~ г~ ) ! — зг с' л- 'с' = ,и Л. зсе'ге, ~з.ззЗ а фаза (аргумеит) проводимости х(оз) = агп У(оз) = агс 1п (лоС/6) = агс 1п пзС)е. (3.84) Частотные зависимости (3,83) и (3.84) показаны на рис. 3.!8, б, Входное сопротивление делителя тока находим из формулы (3.82): 7,„= Я,„е" — )т.„+ !Х,„= !/У = )х/(! + )озС)т).
(385) Отсюда можно определить модуль и аргумент входного сопротивления: г.(ы = ел,Г+ 'с'з'. злы= —.„зе са (з.зз) а также его диссипативную и реактивную (вешественную и мнимую) составлявшие: Я,„(вз) = йеУ „(пз) = Р/(! '+ оз,С,Я~), ( ) Хзз(оз) = !пт2„(ол) = — олС)т'/(1 + взгСв)зз~). л/2 а) ло Рис. ЗЛЗ, Графики входных сопротивдеиий и проводимостей Лс.цепей !оз Формулы (3.87) получены после освобождения от мнимости в знаменателе последней дроби (3.85).. Частотные зависимости (3.86) и (3.87) показаны соответственно на рис. 3.18, в, г. Фаза на рис. 3.18, а, в изменяется монотонно с ростом частоты.
Возможны также случаи немонотонного изменения фазы. Например, для йС-цепи, показанной на рис. 3.19, а, с учетом формулы (3.85) находим входное сопротивление г = й, + й /(! +1 Сй) = (й, + й, +1 Сййн)/(1 +) шсй). Отсюда находим частотную функцию ср(ш) = агц(й~ + йх + )шСй~йг) — агн (! + )шСйх) = = агс1д [шСй~йх/(й1+ йа)[ — агс1и шСйх. График этой функции приведен на рис. 3.19, б, где показаны также 'составляющие ср~(ш) = агс1ц [шСйЯх/(В + йх)] и срх(ш) = = агс1н шСй'. Я! й й с и а) я,'г ла Рнс. 339.
Схемы усхожнеиных йС.пеней н их характеристики В рассмотренных простейших цепях фазовые сдвиги 0 не превышают значения ~я/2 (см. рис. 3.17). В многоэлементных цепях могут получаться и большие значения 101 за счет наращивания фазового сдвига в отдельных участках схемы. Это можно показать на примере йС-цепи, изображенной на рис. 3.!9, в. Коэффициент передачи этой цепи можно определить тем же способом, что и для резистивной Т-образной схемы (см. рис, 3.13, а), заменив диссипативные сопротивления соответствующими комплексными сопротивлениями.
Можно и непосредственно использовать формулы (3.66), приняв в ннх й1 = йа = й и заменив сопротивления йх, й„ на сопротивление Я = 1/)ыС. Тогда получим комплексные коэффициенты передачи: 104 К1 = (71/!) = К ~ Р' = (1 + !тоС!()/(1 — о)оСоЯ' + 13ыСЯ), Ко ()э/(/1 Коеа 1/(! + 1ыс!7) откуда К = (),/() = К~о = Дч К, = 1/(1 — «'С')7'+ !З.сг), (3.08) Заметим, что в общем случаем модуль и аргумент произведения комплексных величин определяются соответственно как произведение модулей и сумма аргументов этих величин: К = К~Ко, 0 = 8~ + 9ь При этом не следует предварительно перемножать эти комплексные величины, поскольку такая операция усложняет вычисления и затрудняет анализ. Однако в данном случае произведено перемножение К1 и Ко, так как наличие сокращаемого множителя ! +!тоС!к приводит к упрощению выражения.
Как и в случае простейшей комплексной дроби (3.73), для найденного коэффициента передачи определяем его аргумент, вычитая аргумент знаменателя из аргумента числителя: 8 = агп ! — агп (1 — от'С'йо + 13отС!т) = 0 — 9о = — Оо, где О, = А 1и (З.сй/(! — Рос'Л')), 1и О, = Зыс)7/(! — о 'С'Я'). При построении графика этой частотной зависимости необходимо учесть, что прн ы ~ 1/т(С получается 1и Оо ) О, Оо ( л/2, а при то=1/!тС вЂ” соответственно 1пйо= ~со, Оо=п/2. Поскольку с ростом частоты фазовый сдвиг в рассматриваемой цепи изменяется плавно, при оо) 1/РС получается 1пйо(0, Оо) ~ и/2, а не 9о О, как это показывает, например, микрокалькулятор, определяющий главное значение аргумента в интервале ~п/2.
Поэтому прн оо- о получается !або Е У -а-О, Оо-~п, но не Оо- О. Соответствующая частотная зависимость показана на рис. 3.!9, г. У Из полученного графика видно, что в йС-цепи, составленной из двух Т-образных, звеньев, фазовый сдвиг 9 может превышать значение и/2, доходя в пределе до значения — 2 и/2 = Л. .а! В аналогичных и других и-звенных )гС-цепях сдвиг может доходить до значения ~ пп/2.
В общем случае с ростом частоты ы функция 1п 8(оо) = 7(то) может многократно проходить !~ ~ !г ~ через бесконечно большие и нулевые значения, изменяя при этом свой знак. Это означает последовательный переход угла 0(то) из о) первого во второй, из второго в третий квадрант и т. д.: 0(ы) = Агс1о!(оо) = агс1о!(оо)+ пко 3 2о. Сканн + чп, где й = О, 1, 2, ... изменяет значение татаокаогажоккак при !(оо) = ~- оо. тока 105 4. Цепи с иидуктивиостью.
Простейшие цепи с индуктивностями показаны на рис. 3.20. Они образуют индуктивные делители напряжения (рис. 3.20, а) и тока (рнс. 3.20, б). Из общих соотношений (3.67), (3.68) находим коэффициенты передачи индуктивных делителей: К,=й/и=Е,/(Е,+Ея)=К,, К,=й,/Е)=Е,/(Е,+Е,)=К,, (3.89) Ки = г1/т = Ея/(Е ~ + Ея) = Кн, Кн =! я/1 = Е ~ /(Е ~ + Ея) = Кяг. (3.90) Таким образом, аналогично параметрам (3.69), (3.?О) коэффициенты передачи (3.89), (3.90) являются вещественными величинами.
В !«Е-цепях, как и в !«С-цепях, коэффициенты передачи получаются комплексными. Например, для 1«Е-делителей (рис. 3.21) из формул (3.67), (3.68) находим (3.91) к )-~ я««я! яя «~ ~- яяяя'я 'я', 0(ея) = и/2 — агс18(яяЕ/Й) — для первого делителя напряжения (рис. 3.21, а), к~ ~-я«я-,я я~, «( )-яяятя'я -'Г, в< >= — ~яу яяяу (3.92) — для второго делителя напряжения (рис, 3.21, б), Кн(ы) = !яяЕ/(К+ !яяЕ), Ка = й/(К+)ыЕ) (3.93) — для делителя тока (рис. 3.21, в).
Г?г а? Рис. ЗДЕ Схемы Ях-цепей Частотные и фазовые характеристики, описываемые двумя последними уравнениями (3.91), (3.92), получаются такими же, как на рис. 3.17, а, б. Аналогичные характеристики получаются и для 1?Е-делителя тока, поскольку формулы (3.93) совпадают с первыми равенствами (3.91.), (3.92). Входное сопротивление делителей напряжения (рис. 3.21, а, б) определяется простыми соотношениями г~ ) = я ->; я, г[ ~ - хяя* я 'я*, я ) =, яя( яяяя (3.94) Отсюда находим входную проводимость: а=от=а~-~в=~ли<-( ц, т< )-~! Я'+ *с*, Х(оа) = — агс1д(а7|./К), 6(то) = )т/(1т'+ оьаЕ.'), (3.95) В(тп) = — Е/Л'+ 'Е').
Частоткые зависимости (3.94) и (3.95) показаны соответственно на рнс. 3.22, а — в. Существенно отметить, что зти зависимости качественно совпадают с графиками рис. 3.18, б, в, г. Входная проводимость делителя тока (рис. 3.21, в) т.=е~а<-~л с т..( )= й7а'+~7Л, (3.96) Х„„(со) *= — агс1п(й/ы1.), 1lй йзл Я 6Э Рис. 3.23. Характеристики параллельиой йЕ-цепи Рис.
3.22. Характеристики паследоиательиой ЯЕ.цепи !07 откуда его входное сопротивление Е,„= Я,„Ит'" = Я,„+1Х,„= 1/У,„=)го|.й/(Я+)саА), (3.97) к пт ХЛ |- Сктхк'4 'С', там= Д вЂ”. Кк( СД),(ЗХВ) Рвх(со) = от~1.зй/(17'+ со'Ет), Хвх(от) = отЕй'/Ях + со'Ех). (3.99) Частотные зависимости (3.96), (3.98), (3.99) показаны соот- ' ветственно на рис. 3.23, а — а. Поскольку структура комплексной величины (3.96) аналогична структуре величины (3.78), графики рис. 3.23, а и 3.18, а совпадают качественно, а при соответствуюших параметрах — и количественно, что характерно для дуальных цепей.
5. Реактивные цепи с индуктивиостью и емкостью. Схемы простейших цепей с нндуктивностью и емкостью показаны на рис. 3.24. При последовательном соединении реактивных элемен. тов (рис. 3,24, а) сопротивление н проводимость двухполюсника описываются соотношениями У = 1Х = !сои + 1/1юС = 1(соŠ— 1/юС), У = !В = 1/Л = = — 1/1(юŠ— 1/юС). (3.100) При параллельном соединении элементов (рис. 3.24, б) прово. димость и сопротивление двухполюсника 1' = 1В = 1 от С + 1/1 от В = 1(со С вЂ” 1/ау 1,), Х = 1Х = 1/ У = = 1/1(соС вЂ” 1/ый). (3.101) а) Рис. 3.25.
Частотные зависимости сопротивлений и проводимостей реактивных резонансных двухпо- люсников Рис. 3.24. Схемы реактивных резонансных двухполюс- ников 108 соп = 1/ фС (3.! 02) сопротивление (3.!00) и проводимость (3.!01) равны нулю. На остальных частотах. преобладает либо индуктивное, либо емкостное сопротивление (проводимость), так что для сопротивления (3.100) Х(„~ае «О, Х1„,~а, > О, (3.! 03) а для сопротивления (3.!О!) Х!...„н =. О, Х1„,~„м «О (3.104) Таким образом, в отличие от сопротивлений и проводимостей (3.16)'реактивных элементов реактивнеее сопротивления и проводимости (3.100), (3.101) обращаются в ниль или в бесконечность на отличной от нуля конечной частоте (3.!02).
Это явление называют резонансом, а частбти (3.102) — резонансной частотой. Цепи, обладающие описанными резонансными свойствами, соответственно назьевают резонансными цепями. Смысл этих названий разъясняется ниже. Резонанс, для которого выполняются условия (3.103), будем называть последовательньгм, а резонанс, для которого веаполняются условия (3.101), — параллельным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
