Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987) (1095414), страница 21
Текст из файла (страница 21)
3.5. Частотные зависимости сопротивлений и проводимостей реактивных злементов ) й 1Х Рис. Зли Эквивалентные схемы комплексного сопротивлении и комплексной проводимости (3.19) ксным сопрого двухполюс- Х = й +)Х = ! /У, У = 0 + )В = 1/2. (320) Последние равенства в этих формулах означают, что двухполюсники, на рис. З.б являются эквивалентными (взаимозаменяемыми) при равенстве их комплексных сопротивлений или проводимостей. Эти параметры не являются векторами, как комплексные'амплитуды гармонических колебаний.
Поэтому их комплексность отмечается не точкой сверху, а чертой снизу. Как любые комплексные величины, они могут быть выражены в показательной форме: 2 =Ы', У= Уез', (3.21) где г-~г~ =-га*.гг*=гГг, г=~ г~-теза*= ~Ге (зее1 — модули Л и У, называемые соответственно полным сопротивлением и полной проводимостью двухполюсника: ф= агре = агс1я — = — Х, к= агу У = агс1я — = — ф (3.23) в — аргументы 2 н У, которые будем называть фазой соответственно сопротивления и проводимости двухполюсника. Их физический смысл рассматривается ниже.
Закон Ома (3.19) справедлив для произвольного двухполюсника с любым количеством диссипативных и реактивных элементов, соединенных друг с другом в различных сочетаниях. При этом формулы (3.20) — (3.23) сохраняются, но формулы (3.20) приобретают обобщенный смысл. В них )7 =- Ке2 = Я соз гр = 6/ У", 6 = не У = У соз Х = В/Я' (3.24) — вещественная, или реальная часть Л и У, называемая по- прежнему диссипативным сопротивлением и диссипативной проводимостью; Х = !пав = 2 з!пчр = — В/У', В = !щ У = Уз!пХ = — Х/Е' (3.25) — мнимая часть Л и У, называемая по-прежнему реактивным сопротивлением и реактивной проводимостью.
Последние равенства в формулах (3.24) и (3.25) получены путем освобождения от мнимости в знаменателях дробей Х = = 1/(6+ !В), У= 1/()С+)Х), соответствующих последним ра- венствам в формулах (3.20). Следует подчеркнуть, что мнимость реактивных составляю- щих сопротивления и проводимости обусловлена множителем 1 в формулах (3.20). Поэтому В и Х, а также 6 и В не могут скла- дываться непосредственно.
!1х надо суммировать либо с учетом мнимой единицы 1, как в равенствах (3.20), либо квадратично, как в формулах (3.22). Численное сложение актионых и реактивных сопротивлений или проводимостей возможно только в квадратичной форме. Это наглядно видно нз треугольников сопротивлений и проводимо- стей (рнс. 3.7), которые геометрически интерпретируют количест- венные соотношения (3.20) — (3.25). Например, при В=3 Ом и Х = 4 Ом полное сопротивление двухполюсннка равно не 7 Ом, а 5 Ом.
Поэтому абсурдными являются выражения В+ Х и 6+ В1 Таким образом, е отличие от арифметического сложения диссипативных сопротииленнй (проводимостей) и алгебраического сложения реактивных сопротивлений (проводимостей) У диссипативные и реактивные со!гр! !"! )т! ь! противления (проводимости) скла!й дываются геометрически, ь" Из формул (2.45), (2.38) и (3.18), (3.20) вытекают правила Рис. З.7. Треуголыыки сапрьтиьль- сложения комплексных сопротивнна и проводимостей лений и проводимостей соответст- Таким образом, соотношение между амплитудами напряжения и тока определяется полными сопротивлениями или проводимостями (З.22). Фазовый сдвиг, т. е. разность (сдвиг) фаз между напряжением и током (током и напряжением) определяется фазой сопротивления или проводимости (З.2З). Как видно из двух последних равенств (3.27), при ~р) О напряжение опережает по фазе ток (см. рис.
3.4, г), т. е. ток отстает по фазе от напряжения, а при Х ) О ток опережает по фазе напряжение (см. рис. 3.4, д), т. е. напряжение отстает по фазе от тока, Поскольку Х = Х(ы), 'В = В(ы), фаза и модуль сопротивления являются функциями частотьи ~р = гр(ы), 2 = Л(ы). Это непосредственно вытекает из формул (3.22) и (3.23). Из формулы же (3.24) видно, что у двухполюсника, содержашего реактивные элементы, являются функциями частоты также дйссипативное сопротивление и диссипативная проводимость: )7 = В(ы), 6 = = О(ы). 5. Комплексный коэффициент передачи.
При использовании комплексных амплитуд не только сопротивления и проводимости, но и другие параметры цепи являются комплексными величинами. Например, если на входе некоторого четырехполюсника (рис. 8.8) действует э. д. с. с комплексной амплитудой с = с де', а выходное напряжение имеет комплексную амплитуду () = 0 е'"", то свойства этого , четырехполюсника могут характеризоваться комплексным коэффициентом передачи: ~т ~уы 'К = У /Й = Ксга, Рае. З.а. Схема чехырехполюсаика К=().7В., Е= р.— ф,.
(3.28) вз венио при их последовательном и параллельном соединениях: ы е 2= 2„'Д, У= ~ Уь х=! а=! Эти соотношения означают, что несколько последовательно или параллельно соединенных двукполюсников зквивалентнье одному двухполюснику с сопротивлением Л или проводимостью У. Попеременное использование двух формул (3.26) позволяет рассчитывать сопротивление и проводимость двухполюсника со смешанным соединением диссипативных и реактивных элементов, а также двухполюсника, составленного из других двухполюсников с комплексными сопротивлениями и проводимостями при смешанном соединении этих других двухполюсников.
Из закона Ома (3.!9) определяют соотношения между амплитудами и начальными фазами напряжения и тока для двухполюсника с комплексным сопротивлением (комплексной проводи- мастью): () =27, I = У(l, ф„— ф,=ф, ф,— ф,=Х. (3.27) Величины К и О определяют соответственно отношение амплитуд и сдвиг фаз между всчходным напряжением и з. д.
с. источника. Будем называть их соответственно передачей и фазой четырехполюсника. Входящие в схему четырехполюсника реактивные элементы имеют частотозависимые сопротивления. Поэтому в отличие от вещественного коэффициента передачи, использованного в соотношении (1.25), параметры (3.28) являются функциями частоты: й'. = К(ы), К = К(ы), 8 = 0(ы), (3.29) Первую частотную зависимость (3.29) называют комплексной частотной характеристикой (КЧХ) четырехполюсника.
Ее можно изображать одним графиком на комплексной плоскости, как описано в $ 8.5.5. Вторую и третью частотные зависимости (3.29) изображают графически обычным образом в декартовых системах координат (ы, К) и (ы, 0). График частотной зависимости К(ы) называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) или частотной характеристикой четырехполюсника, график частотной зависимости 0(ы) — фаза-частотной или фазовой характеристикой (ФЧХ). Эти характеристики позволяют судить соответственно о частотных и фазовых искажениях сигналов в четырехполюснике. ' Аналогично коэффициенту передачи (3.28) можно рассматривать коэффициент передачи не по напряжению, а по току, если сравнивать выходной ток 1„ = ! е'"' в некоторой цепи с задающим током 1 = .( е" на ее входе: К=).У2.=К,д", К,=).~~., О,=ф,— р,.
(3.30) Эти параметры цепи в общем случае также являются частотозависимыми. Любые функции, показывающие в комплексной форме соотношение между выходными и входными величинами цепи, называют ее передаточными функциями. Разновидностью передаточных функций являются входные и выходные функции, которые определяют в комплексной форме соотношение между напряжениями и токами, измеренными со стороны входных и выходных зажимов цепи.
Эти функции опи, сывают входные и выходные сопротивления или проводимости цепи. 6. Активная мощность. Рассмотрим мгновенную активную мощность (2.4) в диссипативном двухполюснике при гармоническом напряжении (3.5). Согласно закону Ома (2.!) или (3.!2) этому напряжению соответствует синфазный гармонический ток 1=! соз(ы1+ ф) (3.31) с амплитудой /, определяемой первыми двумя равенствами (3.13). Из соотношений (2,4), (3.5) и (3.31) находим рь А!ь соь (ы! + ф) — 6(/т соз (О)1 + ф).
эо Преобразуем эти равенства, воспользовавшись тригонометрической формулой для косинуса половинного угла: р,= Р+ р, (3.32) где а) Р = Н„ /2 = 6 (/и /2, (3.33) р = Рсоз2(го!+ф). (3.34) и,с Таким образом, мгновенная активная мощность ('З.З2) состоит из постоянной составляющей (З.ЗЗ) и переменной составляющей ("З.З4) (рис. 3.9, а). Переменная составляющая изменяется с удвоенной частотой и имеет амплитуду, е) равную постоянной составляюРис 3.9. График мгновенной активиой моизиости ири гермоиичесиии венства мгновенная активная иоиевеииии мощность не принимает отриаательнык значений, а получается пульсирующей, обращаясь в нуль вместе с напряжением и током (рис.
3.9, б). Из формулы (3.31) и рис. 3.9, а видно, что за период гармонических колебаний (3.5), (3.31) переменная составляющая мгновенной мощности дважды имеет положительное значение и дважды — отрицательное. Соответствующие же площади на рис. 3.9, а получаются одинаковыми сверху (вертикальная штриховка) и снизу (горизонтальная штриховка). Это означает, что энергия, расходуемая эа период гармоническин колебаний переменной составляющей мгновенной активной мощности, равна нулю. В этом нетрудно убедиться, подставив мощность (3.34) в последнее равенство (1.5) и произведя интегрирование в пределах (О, Т). Таким образом, постоянная составляющая мгновенной активной мощности является средней за период мощностью Р = р= = шг/Т, где гвг — энергия, расходуемая в течение периода гармонических колебаний.
Поэтому расходование энергии при гармонических колебаниях в диссипативном элементе обусловлено фактически постоянной составляющей (3.33) мгновенной активной мощности. За счет же переменной составляющей (3.34) расходование энергии ускоряется (при р = О) нли замедляется (прн р„(0). Если при постоянном напряжении (/ через диссипативный элемент протекает постоянный ток г'= У/)т = 6(l, то активная мощность (!.7) имеет значение Р )7(2 6 (/т (3.35) 91 0 = (/6г', ) = Ыэ . (3.37) Использование комплексных действующих значений величин (3.37) вместо комплексных амплитуд напряжения и тока означает деление на у)2 соответствующих уравнений, например (3.9)— (3.!2) и (3.15), (3.19).
В формулах же типа (3.28), (З.ЗО) при этом делятся на -~Г2 числители и знаменатели дробей. Это позволяет не загромождать формулы индексом ш для амплитуды колебаний. Аналогично, векторные диаграммы напряжений и токов можно строить для их комплексных действующих значений (3.37) . 7. Реактивная мощность. Рассмотрим мгновенную реактивную мощность (1.6) в двухполюснике, имеющем чисто реактивное сопротивление л =)Х ()7 = О, Х = | Х |). Учитывая сдвиг фаз между напряжением и током на угол ~л/2, запишем их выражения в виде и= О соз(Ы+Ф), 1=)„з|п(ы)+Ф).
(3.38) Здесь в соответствии с законом Ома амплитуда тока 7. = (/./Х (3.39) может иметь и положительное (при Х= О, ~э = я/2), и отрицательное (при Х«-О, ц~ = — и/2) значение. Отрицательное значение амплитуды колебаний означает изменение их фазы на угол я. Из формул (3.38) и (1.6) можно определить мгновенную реактивную мощность: р = р, = (/„,)„, з1п(о>1+ ф)соэ(ш(+ ф), или, с учетом формулы для синуса двойного угла, р, = — О ! з|п 2(~1+ ф) = О! з!и 2(ы1+ ф). (3.40) Здесь последнее равенство написано с учетом формул (3.36).
92 Сравнивая формулы (3.33) и (3.35), приходим к выводу, что средняя мощность (3.33), расходуемая в диссипативном элементе, равна постоянной активной мощности (3.35), если ) = ( / 1Г2, О = О, / 1) 2. (3.36) Эти значения постоянного тока и напряжения называют действуюи(ими (эффективными) значениями гармонического тока и напряжения. Амперметры и вольтметры некоторых типов, предназначенные для измерений гармонических токов и напряжений, измеряют именно их действующие значения. С учетом формул (3.36) активная мощность (3.33) при гармонических колебаниях может быть записана в виде соотношений (3.35) для действующих значений тока и напряжения. Как и для комплексных амплитуд, для действующих значений величин (3.36) можно использовать комплексную форму записи: Графики изменения вели- р и,, чин (3.38) и (3.40) при Х '- 0 р и хг (0 показаны на рис.
3.!О. Из соотношения (3.40) и рис. 3.10 видно, что мгновенная реактивная мощность изменяется с удвоенной частотой, как и переменная составляющая мгновенной активной мощности (3.34). Однако и этом слу- рнс, з.)о. график мгноаенной реактивчае нет пОстОяннОЙ Составляю нан нанн[ната ннн Гааманнческнк наяещей мгновенной мощности. По- баннях этому изменение ее знака означает накопление энергии или возвращение в цепь накопленной энергии, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
