Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987) (1095414), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Такая упорядоченная нумерация отмечена на рассмотренном графе (см. рис. 2.3>) цифрами в скобках. При этом топологические матрицы (2.70) и (2.72) принимают вид и > !з) <з> (д) (з) гз) Пд <З) Сз> Ы> >з) йй )>ос о — ) >П1> (А) — ) о ) ) о о в~, (А„,)=~о о — ~ — « — ' д (л,> (л,) (л.) (л ) (2.74) В этих матрицах столбцы ветвей дерева образуют квадратные подматрицы дерева (А,), (А,)„„ а столбцы хорд — подматрицы хорд (А,), (А„)„„которые в общем случае не являются квадратными.
Подматрицы второй матрицы (2.74) будем называть подматрицами главных сечений. Важнейшей особенностью матрацы главньсх сечений ('2.74) является то, что ее подматрица дерева равна единичной матрице ('!) соответствующего порядка. В рассматриваемом случае )>> ! ) !з) /) о о)р> (А,)„= о > о !з> ')о о ) />з> Отмеченное свойство обусловлено самим выбором нумерации главных сечений, совпадающих с нумерацией ветвей дерева. С учетом этого обстоятельства матрицы (2.74) могут быть записаны в следующем общем виде: (Ау) =((А,)(А,)), (А„) =((!)(А.)„). (2.75) Использование подматриц узловой матрицы позволяет формализовать составление матрицы главных сечений без построения главных сечений.
Для этого достаточно вспомнить, что единичная матрица получается в результате перемножения обратных матриц: (А, ')(А,) =(А,)(А, ')=(!). Узловая матрица может быть умножена на (А, ) только слева, поскольку она имеет два функциональных столбца-подматрицы. Отсюда получаем (Ад ')(Ау) =(Ад ')((Ад)(А„))=((!)((Ад ')(А,))). (2.7б)' Сопоставляя матрицу главных сечений (2.75) с равенством (2.76), находим искомую матрицу и ее подматрицу хорд: (А,„) = (А, ')(А,), (А„)„ = (А, ')(А„). (2.77) Справедливость этих общих выражений легко устанавливается и в приведенном примере.
Для этого рассмотрим подматрицу дерева о о( (Ад)= — ) а — >/. о — ) о 73 узловой матрицы (2.74). Определение обратной матрицы произ- водится в четыре этапа. Сначала находим определитель подмат- рицы дерева о о — Π— ! о — ! о — !)'+'~ о — !) ( — !)'+' — ! — ! — о~ о о ( — 1)' "! — 1 о о — ! -« ° / о Π— ! о о о о — 1 о о о — ! — 1О ! оо! 010 Теперь находим взаимную матрицу дерева путем траиспонирования дополнительной матрицы: / — ! о 01 (А,)=(А„)'= ~ о о!). 11О Наконец, определяем обратную матрицу дерева: (1 О О! (А, ') =(А,)/)А,) = о о — 1~.
— — о Умножая эту матрицу на узловую матрицу (2.74) и на ее подматрицу хорд, получаем соответственно матрицу главных сечений (2.74) и ее подматрицу хорд. Этот результат совпадает с общими выражениями (2.77). Матричные уравнения (2.7!), (2.73) остаются справедливыми и для упорядоченных матриц (2.75), поскольку при упорядочении нумерации ветвей графа соответственно изменяется нумерация токов. Читатель может убедиться в этом на примере матриц (2.70), (2.72) и (2.74).
7. Топологическая форма второго 'закона Кнрхгофа. Матричное уравнение (2.73) не позволяет определить токи всех ветвей, поскольку общее число ветвей (2.58) превышает количество главных сечений, соответствующее числу ветвей дерева (2.59). Однако недостающее число алгебраических уравйеиий можно составить для напряжений ветвей по второму закону Кирхгофа, учитывая, что напряжения и токи ветвей взаимосвязаны. Такой ненулевой определитель присущ так называемым неособенным матрицам. Обратные матрицы существуют именно в случае неособенных матриц. Затем определяем дополнительную матрицу, которая образуется из подматрицы дерева заменой ее элементов на их алгебраические дополнения: Из формулы (2.58) следует, что недостающее количество уравнений по второму закону Кирхгофа соответствует числу хорд (2.6!).
Чтобы можно было использовать это обстоятельство, вводят понятие главных контуров графа. Главным называют контур, составленный из ветвей дерева и одной (и только одной) хорды. Например, для графа мостовой схемы рис. 2.31 с деревом, показанным на рис. 2.32, получаются три главных контура, составленных из ветвей 2, 4, 6 с хордой 2, ветвей 3, 6, ! с хордой 3 и ветвей 6, ), 6, 4 с хордой 6. Из определения главных контуров следует, что их количество определяется числом хорд (2.61). Таким образом, уравнения по второму закону Кирхгофа следует составлять только для главных контуров. Эти уравнения можно записать в матричной форме, введя понятие матрицы главных контуров (матрицы контуров); каждая строка которой описывает состав того или иного главного контура.
Для составления такой матрицы каждый главный контур обходится в направлении входящей в него хорды. При этом ветви, входящие в контур, считают положительными при совпадении их ориентации с направлением обхода и отрицательными— в противном случае. Положительным ветвям приписывают коэффициент +1, отрицательным — коэффициент — 1, а ветвям цепи, не входящим в главный контур; — коэффициент О. Из этих коэффициентов, расположенных в порядке нумерации ветвей цепи, образуется строка главного контура. Эти строки, расположенные в порядке нумерации 'главных контуров, образуют исйомую матрицу.
Например, для рассмотренных главных контуров мостовой схемы матрица главных контуров имеет вид 1 23 «5 е о~о-~о (А,„)= — ~ о ~ оо ~)з ~оо (2.78) 75 Здесь строки главных контуров пронумерованы в соответствии с номерами входящих в них ветвей-хорд. Как и матрица главных сечений, матрица главных контуров может быть получена формализованно, без выделения главных контуров. Формализованное составление матрицы главных контуров заключается в комбинации столбца хорды с соответствующими столбцами ветвей дерева матрицы инциденций нли узловой матрицы.
Признаком необходимой комбинации является получение нулевой матрицы столбца при алгебраическом сложении столбцов искомых ветвей. При этом ветвям, столбцы которых суммируются со знаком «+», приписывают коэффициент +1, ветвям, столбцы которых суммируются со знаком « — », — коэффициент — 1, а ветвям, не входящим в искомую комбинацию,— коэффициеит О. В основе указанного признака нужной комбинации ветвей лежит то обстоятельство, что в любом замкнутом контуре каждая ветвь направлена от одного узла к другому. Поэтому ее инцидентные коэффициенты в искомых столбцах матриц (Ан) и (А,) фигурируют дважды с противоположными зна- ' ками. Описанное правило составления матрицы ~лавных контуроа можно проверить иа частном примере матриц (2.78) и (2.б3), (2.70), что предоставляется читателю сделать самостоятельно. Если матрицу (2.78) умножить на матрицу напряжений (2.64), то получим матричное уравнение, описывающее второй закон Кирхгофа в топологической форме: (А „,) (и) = (0).
Это соотношение эквивалентно трем алгебраическим уравнениям, составленным для мостовой цепи по второму закону Кирхгофа (2.43): и7 — и4+ ие = О, — и4 + из+ из=О, и~ + и4+ из — из= О. В общем виде матричное уравнение (2.79) справедливо для произвольной цепи. 8. Свойства матриц главных контуров. Рассмотрим подробнее основные свойства матриц (А„.). Как и для матриц главных сечений, примем новую нумерацию ветвей, обозначенную цифрами в скобках на рис. 2.3!. Тогда матрица (2.78) преобразуется таким образом: (г) (з)(4) (з) йй (2.80) (А„.),. (А„),„.
Здесь столбцы ветвей дерева образуют подматрицу дерева главных контуров (А,)пп а столбцы хорд — подматрицу хорд главных контуров (А„)„„. Подматрица (А„)„. имеет в общем случае разное число строк и столбцов, а квадратная подматрица хорд (А„),„всегда равна единичной матрице соответствующего порядка. Последнее обстоятельство обусловлено упорядоченной нумерацией ветвей, при которой нумерация главных контуров совпадает с нумерацией хорд.
Таким образом, в общем случае матрица главных контуров разбивается на две подматрицы: (А-) = «А,),.(!)) (2.8!) Матричное уравнение (2.79) остается справедливым и для упорядоченной матрицы главных контуров (2.8!). Читателю полезно убедиться в этом на примере упорядоченной матрицы (2.80) . Сравним подматрицу дерева главных контуров с подматрицей хорд главных сечений. В первой из них число столбцов, а во второй число строк равно количеству ветвей дерева. Число же строк 76 в подматрице (А,)„„и число столбцов в подматрице (А,)„равно числу хорд.
Поэтому при транспонировании одной из этих подматриц количество ее строк и столбцов становится таким же, как и в другой подматрице. Такие матрицы можно складывать. Покажем, что сумма указанных подматриц равна нулю: (А„)„„ + (А„)), = (0), (А,У„ + (А,)„, = (0), (2.82) где (О) — нулевые матрицы с соответствующими числами строк и столбцов. На пересечении некоторого л-го столбца и (-й строки подматриц (А,)„„(А„),", стоят коэффициенты й-й ветви дерева и (-й хорды, входящих или не входящих в состав соответственно (-го главного контура и й-го главного сечения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
