Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987) (1095414), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Стоящие здесь в скобках двучлены являются, по определению, напряжениями ветвей. Таким образом, последнее равенство выражает второй закон Кирхгофа, гласящий, что алгебраическая сумма всех напряжений ветвей в любом замкнутом контуре равна нулю: Х и»=- О. »=~ (2 АЗ) Для произвольной цепи с и„ контурами можно составить н, таких уравнений. Знаки слагаемых в равенстве (2.43) устанавливают в соответствии Рис. 2.24. Скема участка цепи в вике замкнутого контура у где знаки зарядов берут в соответствии с вы- 4 я г бранными положительными направлениями +й, ~к,Гй отсчета напряжений Е/» (рнс.
2.23). Уравнение (2.4 ! ) справедливо в случае, когда емкости, соединенные в узле, ие были лм' ~, ч й ', первоначально заряжены. Однако некоторые т Г~ ~ емкостей до их соединения уже могли быть и заряжены н иметь заряды с,»оц (гот, " (гом. Прн этом, как бы ни перераспределились заряды на емкостях после их соединения в изолированном узле, суммарный первоначальный заряд в этом узле не 'может измениться. Действительно, в изолированном узле заряды исчезнуть не могут, а новые заряды не могут появиться.
В этом случае соотношение (2.4! ) должно быть заменено более общим; (2.44) Таким двухполюсником может являться, в частности, любая ветвь произвольной цепи. На рис. 2.25, а обозначены потенциалы оь оз, ..., о ~ точек соединения элементов и потенциалы ов, и„ зажимов двухполюсннка. Для такого двухполюсника можно записать тождество (о1 — пв) + (оз — о1) + ... + (и — и ~) — (и — ое) '= (). с выбранными положительными направлениями отсчета напряжений ветвей ил и направлением обхода контура. При совпадении этих направлений знаки соответствующих слагаемых из должны быть положительными, а при встречных направлениях — отрицательными.
Например, на рис. 2.24 направление обхода контура показана круговой стрелкой. При таком направлении обхода слагаемые и~ и ип в уравнении (2АЗ) берут со знаком «+», а слагаемые из и и~ — са знаком « — ». 5. Сложение напряжений и параметров цепи. Аналогично второму закону Кнрхгофа мажет быть получено правило сложения напряжений: общее напряжение и на двухполюснике, составленном иэ т последовательно соединенных элементов, равно алгебраической сумме напряжений иь на этих элементах: и= 2„иь в=1 йл 57 Здесь последний двучлен представляет собой напряжение на двухполюсннке, а остальные двучлены — напряжения на элементах.
Поэтому последнее равенство равносильно соотношению (2.44). В формуле (2.44) величина и применительно к ветви является напряжением ветви, а величины ил — напряжениями на ее элементах. Отсюда следует, в частности, что напряжение и ток любой ветви однозначно связаны меж- и ду собой. Действительно, напряже- ч — ит ния на элементах н их токи связаны соотношениями (2.!), (2.6) и (2.! !), а токи в элементах являются током и ветви. и, и, В формулу (2.44] входят напря-, ! ~' л) + жения как на пассивных, так и на активных элементах двухполюсника. а! В частном случае двухполюсник может состоять только из пассивных и, иг элементов (рис.
2.25, б). Если все эти элементы, соединенные после- ь л« . с= — — — з ными сопротивлениями )(ь гхз, "., гс' "ю л) ЛИбО ИНДУКтнниаетЯМН ~ С-З "' С" н' рНС. Зад днуХПОЛЮСННК НЗ либо емкостями Сы Сь .:., Ссо то нз последоввтельно соединенных формулы (2.44) и первого равенства зленентов (2.1), либо первого равенства (2.11), либо второго равенства (2.6) находим Я~= ~ Кю 7.
= ~; 7м — = ~; — (245) ь ! й-! ь=! Таким образом, при последовательном соединении диссипативных или индуктивных либо емкостньгх элементов складываются соответственно их сопротивления или индуктивности либо величины, обратные емкостям. Если две индуктивности ь!, Сэ соединены последовательно и связаны между собой взаимоиндуктивностью М, то при и = и! + +иэ и й =!э=! из формул (2.22) определяется результирующая индуктивность й = !'.!+ Ст.+2М. (2.46) В формуле (2.46) верхний знак соответствует согласному, а нижний — встречному включению катушек.
Таким образом, и при последовательном соединении любые одноименные элементы могут быть объединены в один. элемент согласно формулам (2.45), (2.46). 6. Втором закон Кирхгофа для элементов контура. С учетом правила сложения напряжений ('2.44) второй закон Кирхгофа ('2.43) может быть переписан для напряжений на и, элементах, входящих в замкнутый контур: ~, иь=б.
(2.47) ь=! Этот закон Кирхгофа для элементов замкнутого контура и правило (2.44) сложения напряжений в разомкнутом двухполюснике являются тождественными. Это свидетельствует о возможности м ы с л е н н о г о образования замкнутого контура для разомкнутой.
цепи. Например, на рис. 2.25 можно обойти разомкнутую цепь по элементам двухполюсника и по стрелке и. Такой прием мысленного образования замкнутых контуров часто используют при анализе схем произвольных цепей. В частности, можно рассматривать входной и выходной контуры четырехполюсника (см.
рис. 2.1, б), замыкая их по стрелкам и! и иь Для цепи, изображенной на рис. 2.24, при выбранном направлении обхода контура напряжение и!, например, входит в уравнение (2.47) с отрицательным знаком. Однако для источников напряжения принято писать не значение напряжения на нх зажимах, а значение э. д.
с. е. Поскольку е!= и!, эта э. д. с. войдет в уравнение (2.47) также с отрицательным знаком. Это противоречит правилу установления знаков слагаемых в уравнениях (2.43) и (2.47), так как направление стрелки е! совпадает с направлением обхода контура на рис. 2.24. Во избежание этого противоречия задающие напряжения еь в уравнении (2!47) переносят в правую часть равенства.
Тогда второй закон Кирхгофа (2.47) для напряжений на элементах контура принимает вид л Хи~= Х ею (2.48) А-! й=! 58 где и„— количество пассивных элементов в контуре; и, — количество источников напряжения в контуре. Здесь слагаемые е, имеют знак «+» при совпадении направления обхода контура и направления стрелки е», а знак « — » ставится, если указанные направления являются встречными. Например, для рассмотренного контура (см. рис.
2.24) э. д. с. е~ в уравнении (2,48) имеет положительный знак, а э. д. с. е„— отрицательный. По смыслу своего доказательства второй закон Кирхгофа (2.43), где фигурируют напряжения ветвей и», применим лишь для цепей, которые содержат ветви, образующие замкнутый контур. Этот же закон в форме (2.47) или (2.48), где фигурируют напряжения и» на элементах, входящих в замкнутый контур, может применяться также для цепей, не содержащих ветвей. В частности, для контуров, показанных на рис.
2.16 и 2.17, а, б, вполне применимы уравнения (2:47), (2.48). Например, для контура, изображенного на рис. 2.16, а, с учетом основных законов (2.1), (2.6) н (2.11) уравнение (2.48) имеет следующий внд (при обходе контура по направлению тока): . 7. ~ +%+ — !- )161=е1 — еь ш с или после дифференцирования Отсюда определяется неизвестный ток ! при заданных э. д. с. е1 нем Из приведенного примера видно, что процессы в линейной цепи описываются линейными интегродифференциальными или линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.
Это является еше одним (четвертым) существенным свойством линейных цепей, которое дополняет рассмотренные свойства (см. $1.4.1, 1.4.2, 1.4,5). Линейность указанных уравнений является еи4е одним обоснованием наименования линейных цепей. 7. Закон сохранения энергии. В сложной цепи со многими ветвями их напряжения и токи связаны друг с другом рядом уравнений, которые составляются по законам Кирхгофа. Однако для сколь угодно сложной цепи с любым количеством ветвей можно составить лишь одно' уравнение, которое связывает все напряжения и токи ветвей.
Это уравнение выражает закон сохранения энергии для электрической цепи. Согласно этому закону в любой момент времени сумма мгновенных мощностей (1.6) для всех и, ветвей цепи равна нулю: » и, ~'„р»(!) = 2; и»(!)!»(г)= О, » =! » ! где им !» — соответственно напряжения н токи ветвей. 59 Н„ т' им = 2„' Ж+ ~ и~!'ь й=! й=~ й=.1 (2.50) где п„— полное количество пассивных элементов во всей цепи с напряжениями ит на них и проходящими через них токами ц; и„— количество источников э. д. с. ем через которые проходят токи ц; и, — количество источников тока )е с напряжениями иг на этих источниках.
Таким образом, уравнение (2.50), тождественное уравнению (2.49), показывает, что сумма мгновенных мощностей на всех пассивных элементах цепи в любой момент времени равна сумме л~гновенных мощностей, отдаваемых идеальнылси источниками напряжения и тока. 8. Закон сохранения энергии и законы Кнрхгофа. Равенство (2.49) можно доказать с помощью первого закона Кирхгофа, которому удовлетворяют токи ветвей, входящие в это равенство. Рассмотрим цепь, содержащую пг = т узлов с потенциалами оь ом ..., о„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
