Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987) (1095414), страница 15
Текст из файла (страница 15)
В каждом из. этих узлов действует закон (2.35). Поэтому справедливо тождество о, У 6, + и ~'„1~+ ... + о!ь ~; 6 = О, й=ь й=! ' А=ч где пь пм ..., и,„— количество токов !» (ветвей), сходящихся в соответствующих узлах. Каждая из и, ветвей цени соединяет два узла. Поэтому любой ток ветви оттекает от одного узла и притекает к другому узлу. По правилу знаков этот ток для первого из указанных узлов является положительным, а для другого — отрицательным.
Таким образом, в уравнение (2.5!) любой из токов ц входит в два слагаемых, причем с противоположными знаками. Объединив этн слагаемые, перепишем это уравнение в виде ч У, (о и — оех)м = О. т=| Здесь ом — потенциал узла, из которого вытекает ток )м а ом— потенциал узла, в который втекает этот ток. Поскольку ток ц проходит по )т-й ветви, разность их = ом — ом (2.53) (2.52) бо Смысл закона (2.49) становится особенно наглядным, если от напряжений ветвей перейти к сумме напряжений на элементах этих ветвей в соответствии с формулой (2.44). Тогда напряжения на идеальных источниках напряжения можно заменить их задающими напряжениями ем а соответствующнс слагаемые перенести в правую часть равенства, как это было сделано в уравнении (2.48).
Одновременно следует перенести в правую часть равенства слагаемые, содержащие множителями задающие токи )х =пн как в уравнении (2.36). При этом закон (2.49) представляется в виде является напряжением этой ветви. Поэтому соотноц~ения (2.52) и (2.53) тождественны равенству (2.49). Таким образом, закон сохранения энергии (2.49) вытекает из первого закона Кирхгофа, которыи, следовательно, обладает определенным энергетическим смыслом.
Однако приведенное доказательство позволяет рассматривать уравнение (2.52) в более широком смысле. В исходном тождестве (2.5!) на потенциалы узлов оь не накладывается никаких ограничений. Поэтому в равенстве (2.52) под величинами ем и им можно понимать потенциалы узлов не в рассматриваемой цепи, а в некоторой другой цепи, имеющей такие же узлы, как и заданная цепь. Например, при заданной цепи с четырьмя узлами, показанной на рис.
2. !7, е, потенциалы узлов а, б, в, г могут быть взяты из мостовой схемы (см. рис. 2.!9). Тогда в равенстве (2.52) под разностью потенциалов иь = оп е2Ф (1.54) следует понимать напряжение ветвей, соединяющих соответствующие узлы не в заданной, а в другой цепи с такими же узлами.
Эти новые напряжения (2.54) должны, разумеется, удовлетворять второму закону Кирхгофа, поскольку они относятся к реальной электрической цепи. На основании равенств (2.52) и '(2.54) приходим к теореме Телледжсна, которая гласит, что произвольные напряжения иь(!) и токи !ь(!) связаны соотношением ы ~' иь(!)ц(!)=О, А= ~ (2.55) 61 если они удовлетворяют второму и первому законам Кирхгофа. В отличие от закона сохранения энергии (2.49) равенство (2.55) лишено энергетического смысла.
Однако из этого равенства выте- ' кает закон сохранения энергии, когда величины (2.54) приобретают смысл напряжений (2.53). Закон сохранения энергии (2.49) может быть доказан также на основе второго закона Кирхгофа. При таком доказательстве теорема Телледжена (2.55) и закон сохранения энергии (2.49) распространяются и на такие цепи, которые не содержат ветвей, а состоят из одних контуров.
Кроме того, отсюда следует, что и второй закон Кирхгофа обладает определеннсчм энергетическим смыслом. Справедливо также обратное утверждение. Не только закон сохранения энергии можно рассматривать как следствие законов Кирхгофа, но и законы Кирхгофа могут быть полученьч как следствие закона сохранения энергии. Рассмотренные здесь основные законы токопрохождения являются общими для линейных, параметрических и нелинейных цепей. Следует лишь иметь в виду, что параметрические и нелинейные элементы могут являться источниками электрической энергии. Это необходимо учитывать при использовании, например, уравнений (2.36), (2.48) и (2.50).
К числу основных законов токопрохождення для линейных и параметрических цепей относится также рассмотренный ранее закон суперпозицни, который в гл. 3 применяется в математической форме. 4 22ь ГРАФЫ элехГРичесхих цепей 1. Элементы графов. На графе любой элемент-двухполюсник отображают отрезком линии, который называется ребром. Зажимы элемента обозначают точками, которые называются вершинами графа (рис. 2.26). Ребра соединяются своими вершинами, которые сливаются при этом в одну вершину. Таким образом, граф представляет собой совокупность вершин, которые соединены друг с другом ребрами. Эти соединения производятся для тех или иных сочетаний вершин, соответствующих структуре цепи.
Например, на рис. 2.27, а, б, г, е, з изображены графы цепей, показанных соответственно на рис. 2.16, а, б, 2,!7, а, е и 2.19. Если вершина и ребро соприкасаются, «сталкиваются» друг с другом, то их называют инцидентными (от слова «инцидент» — «столкновение»).
Например, на рис. 2.27, а вершина б ннцидентна ребрам Е 2 и неинцндентна всем остальным ребрам. 2. Матрицы инциденций. СтРУктура графа может быть описана в алгебраической форме. Для этого вводят понятие коэффициентов инциденций, которые принимают равными единице для инцндентных элементов графа и нулю — для остальных элементов. Затем составляют прямоугольную таблицу инни))ент- Вершинэг Рис. 2.26.
Элементы графа элект. рической цепи б~ОО г) д) 2 а4 э а 99 а4-о6'а 7 )-7 7 9 да е г м) б г е) о а а ) да 9 а у бз г г49 и) к) г у) Рис. 2.27, Графы электрических цепей Структура электрических цепей определнетсн способом соединении элементов, но ае зависит от типа элементов. Поэтому указанную структуру можно изучать по абстрактным графическим схемам цепи, на которых ме отображаетсн тип элементов.
Такие схемы называют графами электрических цепей. ! 000 ! е Индексы (нлн камера) О 1! О О „ВеРшин 00110 г 00011 л (2.56) (А) = Матрица инциденций графа, изображенного на рис. 2.27, з, имеет вид !234ббт О! О ! ОО е 110000! б (А)= О!01100,е (2.57) 00!!010г 000001 ! г Матрицы (2.56) и (2.57) имеют по две единицы в каждом столбце. Это справедливо для любых инцидентных матриц, поскольку каждое ребро инцидентно двум вершинам. Пользуясь этим свойством, можно легко построить граф цепи по его матрице инциденций. При этом следует учитывать, что расположение вершин при изображении графа является произвольным и может не соответствовать привычному изображению электрической цепи. Такое построение графа цепи н соответственно определение се структуры может быть произведено с помощью ЭВМ, в память которой заложена матрица инциденций.
Если при этом машинное описание цепи содержит также параметры элементов, отображаемых ребрами графа, то по заданной программе ЭВМ может производить любые расчеты для цепи заданной структуры. 3. Составные части графа. Если вершина инциденгна трем и более ребрам, то ее называют узлом графа, 'который соответствует узлу цепи. Например, узлами являются вершины а, б, в, г графов на рнс.
2.27, е, з и вершина а графа на рис. 2.27, г. Все остальные вершины этих графов инцидентны только двум ребрам. Если вершина инцидентна только двум ребрам, то эти ребра называют последовательно гоединеннь!ми, что соответствует последовательному соединению двух элементов цепи. Отдельное ребро, инцидентное двум узлам, или совокупность последовательно соединенньех ребер называют ветвью графа, которая соответствует ветви цепи.
63 ных коэффициентов, строки которой соответствуют вершинам, а столбцы — ребрам графа. При этом строки и столбцы нумеруют или индексируют в соответствии с нумерацией (индексацией) вершин и ребер. Полученную таким образом таблицу называют ' матрицей инциденций (А). Например, граф, изображенный на рис. 2.27, а, имеет такую инцидентную матрицу: Номера (нлн индексы) ребер ! 2 3 4 3 Например, графы на рис. 2.27, е, э имеют соответственно ветви ! — 2, 3, 4 — 5 — 6, 7, 8, 9 — !О и 1, 2, 3, 4, 5, 6 — 7, Такие же ветви имеют цепи с этими графами, изображенные на рис. 2.17, е и 2.!9. Совокупность ребер и ветвей, по которым можно переместиться иэ одной вершины графа в другую, не проходя движды через какую-либо вершину, ветвь ихш ребро, называют путем графа. Вершины, лежащие на пути, могут являться и узлами графа.
В частности, ветвь графа является путем между двумя его узлами, соединенными этой ветвью. Если любые две вершины графа соединены путем, то граф ниэывают свяэныл~ (связанным). В противном случае граф назьсвают несвязным (несвязанным). Несвязные графы имеют, например, цепи, содержащие идеальный трансформатор. Вершины (или узлы), соединенные путем графа, называют концевыми вершиними этого пути. Если обе концевые вершины совпадают; сливаясь друг с другом, то образуется замкнутый путь, называемый контуром графа.
Контур графа соответствует контуру цепи. Например, графы на рис. 2.27, а, б являются контурами, как и сами цепи на рис. 2.!6, а, б. Два контура графа на рис. 2.27, г соответствуют двум контурам цепи иа рис. 2.17, а. Аналогично, все контуры графов на рис. 2.27, е, з и контуры цепей на рис. 2.17, е и 2.19 соответствуют друг другу. - 4. Сжатие графов.
Вершину, инцидентную только двум ребрам, называют устранимой. Устранимые вершины можно не отмечать на графе, если они ие влияют на его изучаемые свойства. При таком устранении, т. с. изъятии устранимой вершины, инцидентные ей ребра объединяются в одну линию. В частности, при изъятии (удалении) всех устранимых вершин из ветви ее, как и ребро, изображают на графе одним отрезком линии. Удаление всех устранимых вершин в графе называется его сжатием.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
